福建省南安市侨光中学2024-2025学年高一上学期第1次阶段考试（10月）数学试题

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命题者：谢真娜 审核者： 尤新兴
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。
1.给出下列关系：①12∈R；②2∈Z；③|-3|∉N*；④|- 3|∈Q其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.命题“∀m∈R，都有m2-2m+3>0”的否定是 ( )
A. ∀m∈R，都有m2-2m+3≤0B.∃m∈R，使得m2-2m+3<0
C. ∃m∈R，使得m2-2m+3≤0 D. ∃m∈R，使得m2-2m+3>0
3.函数的定义域为( )
A. -∞，5 B. -1，5
C. -∞，5∪5，+∞ D. -∞，-1∪-1，5
4.不等式x-2x≥2的解集为( )
A. [-2，0)B. (0，+∞) C. (-∞，-2]D. (-2，+∞
5.不等式x(x-2)<0成立的一个充分不必要条件是( )
A. x∈(0，2]B. x∈(0，2) C. x∈(0，1) D. x∈(-∞，0]
6.已知集合A={x|-2A. {m|m<3}B.
C.D.
7.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )
A. 1 B. -1C. 0，1 D. -1，0，1
8.若命题“∃x>12，x2-mx+4≤0”是假命题，则m的取值范围为( )
A. {m|m>-4}B. {m|m<4}
C. {m|-44}
9.已知-1A. -53C. -210.已知集合U=x∈N*x≤6，若A⊆U，且同时满足①若x∈A，则2x∉A；②若x∈∁UA，则2x∉∁UA，则集合A的个数为( )
A. 4B. 8C. 16D. 20
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.设A=xx2-8x+12=0，B=xax-1=0，若A∩B=B，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 16C. 12D. 2
12.中国古代重要数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二;五五数之，剩三;七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N*}，B={x|x=5n+3,n∈N*}，C={x|x=7n+2,n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则下列选项中符合题意的整数x 为( )
A. 8B. 23C. 37D. 128
13.已知x>0，y>0，且x+y=1，则下列说法中正确的是( )
A. xy有最大值为14B. 1x+4y有最小值为9
C. x2+2y2有最小值为34D. yx+1y有最小值为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.已知集合A={4，-2m}，B={4，m2}，且A=B，则m的值为 ．
15.已知函数 则 ．
16.若函数y=ax+1 ax2-4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
17.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题15分) 已知全集为R，集合A={x|1≤x<3}，B={x|(2x-3)(x-4)≤0}．
(Ⅰ)求A∪B，(∁RA)∩B;
(Ⅱ)若C={x|m+119.(本小题15分) 已知集合A={x||2x-1|<5}，B={x|(x-m)(x-m-1)<0}，a∈R．
(1)若2∈B，求实数m取值范围;
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
20.(本小题16分) 若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0；
(2)若关于x的一元二次不等式kx2-ax+k≤0的解集为R，求实数k的取值范围．
21.(本小题16分)
某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
据市场调查，若价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要使年销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当技术革新后，该商品的年销售量至少达到多少万件时，才可能使技术革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时该商品每件的定价．
侨光中学2024年秋季高一年第1次阶段考数学试卷（参考答案）
1-5：B C D A C 6-10：D D B A B 11：ABC 12：BD 13：ABD
14.【答案】0 15.【答案】7 16【答案】[0，12) 17【答案】或
10：解：由题意， U=x∈N*x≤6=1,2,3,4,5,6 ，
当 2∈A 时， 1∉A ， 4∉A ；
当 2∉A 时， 1,4⊆A ；
当 3∈A 时， 6∉A ；
当 3∉A 时， 6∈A ；
而元素5没有限制，
所以集合 A 可以为： 1,4,3 ， 1,4,6 ， 1,4,3,5 ， 1,4,6,5 ， 2,3 ， 2,6 ， 2,3,5 ， 2,6,5 ，共8个． 故选：B．
13：解：由x>0，y>0，且x+y=1， 可知x+y≥2 xy，即xy≤(x+y2)2=14，
当且仅当x=y=12 时取等号，故A正确；
1x+4y=(1x+4y)(x+y)=5+yx+4xy≥5+2 4=9， 当且仅当yx=4xy 即x=13,y=23 时取等号，故B正确；
由x>0，y>0，且x+y=1，可知0当x=23∈(0,1)时，x2+2y2=3x2-4x+2取得最小值为3×49-4×23+2=23 ，故C错误；
yx+1y=yx+x+yy=yx+xy+1≥2+1=3，当且仅当yx=xy，即x=y=12时取等号，故D正确， 故选：ABD．
17【答案】或
【解析】令，解得或.
当，即时，不等式的解集为，则，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式的解集为，则，
解得.
综上，的取值范围是或. 故答案为：或.
18.【答案】解：(Ⅰ)集合B={x|(2x-3)(x-4)≤0}={x|32≤x≤4}，
又集合A={x|1≤x<3}，∁ RA={x|x<1或x≥3}，
则A∪B={x|1≤x≤4}，
∴(∁ RA)∩B={x|3≤x≤4}，
(Ⅱ)由A∩C=C，可知C⊆A，
①当C=⌀时，2-m≤m+1，解得m≥12;
②当C≠⌀时，m<12，且m+1⩾12-m⩽3，解得0≤m<12．
综上，实数m的取值范围为[0,+∞).
【解析】本题主要考查了集合的运算以及集合关系的应用，属于基础题．
(Ⅰ)先化简集合B，进而利用交并补集的定义求解即可；
(Ⅱ)由A∩C=C可知C⊆A，分C=⌀和C≠⌀两种情况，求解即可．
19.【答案】解：(1)若 2∈B ，则(2-m)(2-m-1)<0 ，
解得 1即实数 m 的取值范围 {m|1(2)由题知， A={x||2x-1|<5}={x|-2 B={x|(x-m)(x-m-1)<0}={x|m因为“ x∈B ”是“ x∈A ”的充分不必要条件，
所以集合B是集合A的真子集，
即 m⩾-2m+1⩽3 ，解得 -2⩽m⩽2 ，
经检验，此范围内，两个集合并不相等，
故实数m的取值范围是 m-2⩽m⩽2 ．
【解析】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．
(1)把x=2代入(x-m)(x-m-1)<0，得到关于m的不等式，求解得答案．
(2)由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，得B是A的真子集，由此列关于m的不等式组求解．
20.【答案】解：(1)由题意可得a>1，且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0，
则可得-3+1=41-a且-3×1=61-a，解得a=3，
不等式2x2+(2-a)x-a>0化为2x2-x-3>0，
(x+1)(2x-3)>0，解得x<-1或x>32，
所以不等式的解集为xx<-1或x>32}；
(2)依题意，不等式kx2-3x+k≤0的解集为R．
当k=0时，原不等式的解集为xx≥0，不符题意；
当k≠0时，有k<0Δ=9-4k2≤0，解得k⩽-32．
综上，k的取值范围为k|k⩽-32．
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法和三个二次式的关系的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和三个二次式的关系是解答一元二次不等式问题的关键，属于基础题．
(1)由题意，求得a=3，则不等式转化为2x2-x-3>0，即可求解不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，分k=0和k≠0进行讨论，可求解实数k的取值范围．
21.【答案】解：（1）设每件商品的定价为t元，
依题意得，
整理得
解得
所以要使年销售的总收人不低于原收入，每件商品的定价最多为40元.
（2）依题意知，当时，不等式有解
等价于当时，有解.
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以
故当该商品技术革新后，年销售量至少达到万件时，
才可能使技术革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件的定价为30元.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用∈和∉的定义，逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于①，12为实数，而R表示实数集，所以12∈R，即①正确;
对于②，2为整数，而Z表示整数集合，所以2∈Z，即②正确;
对于③，|-3|=3为正自然数，而N*表示正自然数集，所以|-3|∈N*，所以③错误;
对于④，因为|- 3|= 3为无理数，Q表示有理数集，所以|- 3|∉Q，即④错误．
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得答案．
【解答】
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知：
命题“∀m∈R，都有m2-2m+3>0”的否定是∃m∈R，使得m2-2m+3≤0．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
利用函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域．
【解答】
解：对于函数fx=1 5-x+x+10，则有5-x>0x+1≠0，解得x<5且x≠-1，
所以函数fx的定义域为-∞,-1∪-1,5，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分式不等式的解法，转化成一元二次不等式求解，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
原不等式化简为x-2x-2≥0，即x+2x≤0，则x(x+2)≤0x≠0，即可得出答案．
【解答】
解：∵x-2x≥2，
∴x-2x-2≥0，即x+2x≤0，则x(x+2)≤0x≠0，解得-2≤x<0，
∴原不等式的解集为[-2,0)．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要条件的判定，考查了解不等式问题，是一道基础题．
先求出不等式的解集，再根据x的范围进行判断即可．
【解答】
解：不等式x(x-2)<0的解集为(0,2)，
所以B中x∈(0,2)为充要条件；
A中x∈(0,2]为必要不充分条件；
D中x∈(-∞,0]为既不充分也不必要条件；
因为(0,1)是(0,2)的真子集，所以C中x∈(0,1)为充分不必要条件．
故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题．
通过数轴画出集合所表示的范围，先求出A∩B=⌀的范围，即可得到A∩B≠⌀的范围．
【解答】
解：若A∩B=⌀，利用下图的数轴可得m+9⩽-2或m⩾3，

∴m⩽-11或m⩾3.
∴满足A∩B≠⌀的实数m的取值范围为{m|-11故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查子集的概念，解题时要认真审题，属于中档题．
若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意可得，集合A为单元素集，
(1)当a=0时，A={x|2x=0}={0}，此时集合A的两个子集是{0}，⌀，满足题意；
(2)当a≠0时 则△=4-4a2=0解得a=±1，
当a=-1时，集合A的两个子集是{1}，⌀，
当a=1时，集合A的两个子集是{-1}，⌀，
均满足题意．
综上所述，a的取值为-1，0，1．
故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定及真假判定，不等式恒成立问题，属于基础题．
由题意得到∀x>12，x2-mx+4>0恒成立，对m分离，由基本不等式可得m的取值范围．
【解答】
解：由题可知∀x>12，x2-mx+4>0恒成立，
只需m<(x+4x)min，
因为x+4x≥2 x⋅4x=4，当且仅当x=2时取等号，
所以m的取值范围为{m|m<4}．
故选B．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式基本性质的应用，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质并能够进行灵活的应用，属于基础题．
利用b的范围，结合a的范围以及不等式的基本性质求解即可．
【解答】
解：因为-1对于A，当a=4，b=12时，ab=8，故A错误：
对于B，-3-1=-4对于C，-1-1=-2对于D，b<0时，
①-1②0③a=0-3所以当b<0时，-15b=0时，-1b>0时，
-10a=00所以当b>0时，-1综上可得-1510.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的子集、真子集及其个数，是基础题．
由补集与子集的概念求解即可．
【解答】
解：由题意， U=x∈N*x≤6=1,2,3,4,5,6 ，
当 2∈A 时， 1∉A ， 4∉A ；
当 2∉A 时， 1,4⊆A ；
当 3∈A 时， 6∉A ；
当 3∉A 时， 6∈A ；
而元素5没有限制，
所以集合 A 可以为： 1,4,3 ， 1,4,6 ， 1,4,3,5 ， 1,4,6,5 ， 2,3 ， 2,6 ， 2,3,5 ， 2,6,5 ，共8个．
故选：B．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了含有参数的集合关系问题，属于基础题．
根据题意可以得到B⊆A，进而讨论a=0和a≠0两种情况，最后得到答案．
【解答】
解：由题意，A=2,6，因为A∩B=B，所以B⊆A，
若a=0，则B=⌀，满足题意；
若a≠0，则B=1a，因为B⊆A，
所以1a=2或1a=6，则a=12或a=16．
综上：a=0或a=12或a=16．
故选ABC．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查集合的应用，描述法的定义，交集及其运算，元素与集合的关系，属于基础题．
先从四个选择中的数分别开始进行检验是否满足 x∈(A∩B∩C)，进而可得结果．
【解答】
解：对于A，8=7×1+1，则8∉C，故A错误．
对B，23=3×7+2，即23∈A；又23=5×4+3，即23∈B；又23=7×3+2，即23∈C，因此，23∈A∩B∩C，故B正确．
对于C，37=3×12+1，则37∉A，故于C错误，
对D，128=3×42+2，即128∈A；又128=5×25+3，即128∈B；又128=7×18+2，即128∈C，因此，128∈A∩B∩C，故D正确．
故选BD．
13.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值以及二次函数的性质，属于中档题．
直接利用基本不等式，可求得xy的最大值，判断A;将1x+4y变为1x+4y=(1x+4y)(x+y)=5+yx+4xy，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将y=1-x代入x2+2y2，利用二次函数知识可判断C，将1=x+y代入yx+1y，利用基本不等式可判断D．
【解答】
解：由x>0，y>0，且x+y=1，
可知x+y≥2 xy，即xy≤(x+y2)2=14，
当且仅当x=y=12 时取等号，故A正确；
1x+4y=(1x+4y)(x+y)=5+yx+4xy≥5+2 4=9，
当且仅当yx=4xy 即x=13,y=23 时取等号，故B正确；
由x>0，y>0，且x+y=1，可知0故x2+2y2=x2+2(1-x)2=3x2-4x+2，
当x=23∈(0,1)时，x2+2y2=3x2-4x+2取得最小值
为3×49-4×23+2=23 ，故C错误；
yx+1y=yx+x+yy=yx+xy+1≥2+1=3，
当且仅当yx=xy，即x=y=12时取等号，故D正确，
故选：ABD．
14.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了集合元素的特征，属于基础题．
【解答】
解：因为A=B，所以m2=-2m，解得m=0或-2，又集合的元素具有互异性，所以m=0．
15.【答案】7
16【答案】[0,12)
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域的问题，考查不等式的恒成立问题，属于中档题．
由题意知ax2-4ax+2>0对∀x∈R恒成立，讨论a=0和a≠0，继而可求得结果．
【解答】
解：由条件知：ax2-4ax+2>0对∀x∈R恒成立．
①当a=0时，符合要求；
②当a≠0时，有a>0-4a2-8a<0，解得：0综上，实数a的取值范围是[0,12)．
故答案为：[0,12)．
17【答案】或
【解析】令，解得或.
当，即时，不等式的解集为，则，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式的解集为，则，
解得.
综上，的取值范围是或.
故答案为：或.