湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟满分：150分
得分_________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
3．若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（ ）
A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形
4．如图所示，为全集，，，为的子集，则阴影部分所表示的集合可为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若且，则
6．“”是“对任意的正实数，均有”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（ ）
A．1人B．2人C．3人D．5人
8．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知平面四边形，则“四边形是平行四边形”的一个必要条件是（ ）
A．四边形的两组对边分别相等B．四边形的两条对角线互相平分
C．四边形的四条边长均相等D．四边形的两组对边平行
10．不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A．且
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
11．对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．不等式的解集为_________．
13．已知正实数，满足，则的最小值是_________．
14．已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合，，．
（1）求，；
（2）若是的真子集，求实数的取值范围．
16．（15分）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本）
（1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式；
（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？
17．（15分）（1）设，，，为正实数，证明不等式：；
（2）若正实数，满足，求的最小值；
（3）若正实数，满足，求的最小值．
18．（17分）已知函数．
（1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
19．（17分）非空集合，是集合的真子集，且，如果，，，使得，其中，，则称，是集合的一组有序基底集，记为．已知由正整数构成的集合，其有序基底集的个数记为．
（1）时，写出所有符合条件的；
（2）时，是集合的一组有序基底集，求集合中含有元素4的概率；
（3）证明：．
长沙市第一中学2024—2025学年度高一第一学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一、二、选择题
1．C【解析】根据集合与元素、集合与集合的基本关系可知，选项A中，；选项B中，；选项D中，．故选项C正确．
2．D【解析】由题意可知，存在量词命题“，使得”的否定形式为全称量词命题“，使得”．
3．B【解析】根据集合中元素的互异性，以，，，为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可以满足要求，故选B．
4．D【解析】根据交、并、补运算可判断阴影区域为选项D．
5．C【解析】选项A，取，，，，则，A错误；选项B，当，时，，但，不成立，B错误；选项C，当时，，C正确；选项D，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D错误，故选C．
6．A【解析】对任意的正实数，均有，
对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，
，，
，即，
当时，一定成立；时，不一定成立．
“”是“对任意的正实数，均有”的充分不必要条件，故选A．
7．B【解析】如图，设只参加田径一项比赛的有人，只参加球类一项比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛且不参加游泳比赛的有人．
故可解得故只参加田径一项比赛的有2人．
8．A【解析】根据题意，，
则，即，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
当取得最大值时，，
分析可得，当时，取得最大值2．故选A．
9．ABD【解析】由四边形为平行四边形可推得，A，B，D均正确；选项C，满足条件的四边形是菱形，而由四边形是平行四边形无法推出其是菱形．故选ABD．
10．BCD【解析】对于A，，，1是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以A错误；
对于B，，由可得不等式解集为，所以B正确；
对于C，当时，，，所以C正确；
对于D，由题得，因为，所以，所以，
所以不等式的解集是，所以D正确．
11．ABD【解析】对于A，因为，所以，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；
对于B，因为，所以，
即与是相同的，所以，B正确；
对于C，因为，所以，所以，即C错误；
对于D，由于，
而，故，即D正确．故选：ABD．
三、填空题
12．【解析】不等式，移项得，即，可化为，解得，则原不等式的解集为．
13．7【解析】由可知，，
当且仅当，即，时，等式成立．
所以，，
当，时，的最小值是7．
14．【解析】可将当时，有解转化头至少有一个负数解，构造，，画出图形，如图：
当时，两个图象相交于点，要使其相交于轴左侧，则需满足，在的图象不断左移的过程中，若与左侧曲线相切，则有，对应的，解得，则，综上所述，．
四、解答题
15．【解析】（1），或，或．
（2）因为．
①当时，，即．
②当时，，即，且等号不能同时取得，解得．
综上所述，．
16．【解析】（1）依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元，
所以收益，．
（2）由（1）可知，，
其中，当且仅当，即时，取等号．
所以，
所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元．
17．【解析】（1），当且仅当时，等号成立．
（2），
当且仅当且，即，时，等号成立；
即的最小值是．
（3），所以，
当且仅当且，即，时，等号成立．
18．【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，则有解得．
故实数的取值范围是．
（2）不等式等价于，
即，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，．
当时，，此时不等式解集为；
当时，，此时不等式解集为；
当时，，此时不等式解集为；
当时，，此时不等式解集为．
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
（3）当时，因为，
令，当且仅当时，等号成立；
则关于的方程可化为，
关于的方程有四个不等实根，
即有两个不同正根，则
由②③式可得，
由①知：存在，使不等式成立，故，
即，解得（舍）或．
故实数的取值范围是．
19．【解析】（1），；，；，；，；，；，；，；，．
（2）时，集合的有序基底集有22个，分别是：
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，．
符合条件的有9个，故所求概率为．
（3）当，其部分有序基底集在时，仍可作为有序基底集；
当，其有序基底集中的集合中添加元素，可以作为时的有序基底集；
当，其有序基底集中的集合中添加元素，可以作为时的有序基底集；
时，有序基底集还有，；，．
从而证明：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
B
D
C
A
B
A
ABD
BCD
ABD