湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
得分______
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）
A.B.C.3D.5
2.无论为何值，直线过定点（ ）
A.B.C.D.
3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知，则（ ）
A.B.C.D.
5.直线关于对称的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
6.已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A.B.或C.8或2D.8
7.已知实数满足，则的范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A.若圆关于直线对称，则
B.点到直线的距离的最大值为
C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切
D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为
10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线的方程为
B.曲线的方程为
C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为
D.曲线上的点到直线的距离的最大值为
11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A.与所成角的余弦值为
B.过，，三点的正方体的截面面积为3
C.当在线段上运动时，的最小值为3
D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.通过科学研究发现：地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.
13.直线的倾斜角的取值范围是______
14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知两圆和.求：
（1）m取何值时两圆外切？
（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
16.（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.
18.（17分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
19.（17分）已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积，其中为坐标原点.
（1）证明：和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在三点D，E，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一、二、选择题
1.B 【解析】∵，∴. .故选B.
2.A 【解析】由得：，
由得
∴直线恒过定点.故选A.
3.A 【解析】设，则，，得.故选A.
4.A 【解析】，
又，
所以.故选A.
5.C 【解析】取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.
6.C 【解析】椭圆：的离心率为，
可得或，解得或.故选C.
7.A 【解析】表示函数图象上的点与的连线的斜率，
结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，
所以的范围是.故选A.
8.D 【解析】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，
对于A，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于B，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于C，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.
9.ABD 【解析】直线：过定点，
圆：，圆心，半径，
对选项A：直线过圆心，则，解得，故选项A正确；
对选项B：点O到直线l的距离的最大值为，故选项B正确；
对选项C：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得，故选项C错误；
对选项D：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，
解得，故选项D正确.故选ABD.
10.BCD 【解析】对A选项与B选项，由题意知圆与圆交于点，
则，，所以，
所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，
所以，所以曲线的方程为，故A选项错误，B选项正确；
对C选项，通径的长度为，故C选项正确；
对D选项，设与直线平行的直线为，，
将与联立得，
令，解得，此时直线与椭圆相切，
当时，切点到直线的距离最大，
直线的方程为，此时两平行线的距离为，
故曲线上的点到直线的距离的最大值为，故D选项正确.故选BCD.
11.AC 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
∴，
∴与所成角的余弦值为，故A正确；
取的中点，连接，，，
则，
故梯形为过点，，的该正方体的截面，
∵，，，
∴梯形的高为，
∴梯形的面积为，故B错误；
由对称性可知，，故，
又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确，
设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，
最小，
过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误.故选AC.
三、填空题
12.1000 【解析】由题知，.
13. 【解析】设直线的倾斜角为，
当时，直线为，；
当时，，当且仅当时取等号， ∴；
当时，，
当且仅当时取等号， ∴，综上可得.
14. 【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故.
又，在椭圆上，故有，.
设，则，，，.
在中，由勾股定理得，
解得，于是，，故.
四、解答题
15.【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，
，
则圆心分别为，，半径分别为和，
当两圆外切时，满足，解得.
（2）当时，有，
则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦所在直线的方程为：，
即，
圆心到直线的距离，
所以公共弦长.
16.【解析】（1）由正弦定理得，
所以，
所以，
化简得，
又，所以，因此.
（2）由，得，由余弦定理及，
又，得，解得，从而.
又因为，且，所以.
因此.
17.【解析】（1）因为平面，，平面，
所以，，又，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，
因为点为中点，所以，，
又，，
所以，
所以，，为共面向量，
则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.
（2）设，，，，
依题意可知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则令，则.
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，即，
解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.
18.【解析】（1）由题意得：，解得，
设第60百分位数为，则，
解得，即第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，
在的有人，设为a，b，c.
则样本空间为，.
设事件“两人分别来自和”，
则，，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题得：①；
②略
19.【解析】（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，
因为在椭圆上，所以，①
又因为，所以，②
由①②得，，此时，.
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意知，将其代入得，
其中，即，（*）
又，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以，
又，整理得，且符合（*）式，
此时，，
综上所述，，，结论成立。
（2）解法一：（ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知，，
因此，，
（ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知：，
，
，
，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
综上可得，的最大值为.
解法二：，
所以，，即，
当且仅当时等号成立.因此的最大值为.
（3）椭圆上不存在三点，，，使得.
证明：假设存在，，满足，
由（1）得，，，，，，
解得，，
因此，，只能从中选取，，，只能从中选取，
因此，，只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾.
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
A
A
C
C
A
D
ABD
BCD
AC