江西省抚州市第一中学2024届九年级上学期期中质量检测数学试卷(含解析)

这是一份江西省抚州市第一中学2024届九年级上学期期中质量检测数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列四个命题中，假命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B. 菱形的一条对角线平分一组对角
C. 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
D. 矩形的两条对角线相等
解析：解：A、两条对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，不是正方形，原命题是假命题，故此选项符合题意；
B、菱形的对角线平分一组对角，是真命题，故此选项不符合题意；
C、顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项不符合题意；
D、矩形的两条对角线相等，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 如图所示的工件的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
解析：解：根据题意可得：工件的俯视图是“ ”．
故选：C．
3. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
解析：解：，，
∴，，
∴，
故选：A．
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（ ）

A. B. C. D.
解析：解：设小明身高x，
，
解得：，
∴小明的身高约为，
故选：C．
5. 已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A. B. C. D.
解析：解：是关于的方程的一个根，
将代入方程得：，即，
可得（舍去）或，
则．
故选：C．
6. 已知正数a、b、c，且，则下列四个点中在正比例函数图象上的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
解析：解：∵，a、b、c为正数，
∴，，，
上式连加得，
解得，
将代入有，
A、把代入中可得，所以点在正比例函数图象上，故此选项符合题意；
B、把代入中可得，所以点不在正比例函数图象上，故此选项不符合题意；
C、把代入中可得，所以点不在正比例函数图象上，故此选项不符合题意；
D、把代入中可得，所以点不在正比例函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则______．
解析：解：关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得，，
故答案为：．
8. 如图，与位似图形，点是位似中心，若，，则______．

解析：解：，，
．
与是位似图形，，
．
，
．
故答案为：32．
9. 如图，在菱形c中，分别是边，对角线与边上的动点，连接，若，则的最小值是___．

解析：作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ．
∵四边形ABCD为菱形
∴ ，
∴
当E、P、Q’在同一直线上时，的值最小
∵ 两平行线之间垂线段最短
∴当 时，的值最小
∵
∴ ，
∴
∵
∴
解得
∴的最小值是 ．
故答案为：．

10. 已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积______．

解析：解：由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
，
几何体的体积是60．
故答案为：60．
11. 已知、是方程的两根，则_________．
解析：解：∵、是方程的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
所以，=．
故答案为：6．
12. Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．
解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD=，
∴AD=DP==1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32；
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8；
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，
故答案为3.6或4.32或4.8．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 解方程：
（1）
（2）
【小问1解析】
解：，
，
或，
，．
【小问2解析】
解：，
，
，
，
或，
，．
14. 如图，某一广告墙旁有两根直立的木杆和，某一时刻在太阳光下，木杆顶端的影子刚好落Q处．

（1）请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子；
（2）若米，米，到的距离的长为2米，求此时木杆的影长．
【小问1解析】
解：如图所示．
【小问2解析】
解：设的影长为x米 ，根据题意可得
，即，
．
答：木杆的影长是米．
15. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解析：（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
16. 第24届北京冬奥会开幕式的“二十四节气倒计时”节目，向全世界人民展示了中华文化的魅力．为了让学生了解二十四节气，某老师将每个节气的名称写在完全相同的不透明卡片上，将卡片洗均后背面朝上置于桌面，邀请同学随机抽取一张卡片，并让该同学介绍所抽取卡片上对应节气的含义．
（1）随机抽取一张卡片，上面写有“立春”概率为______；
（2）若老师将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华同学同时在其中各抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上的节气有相同的字的概率．
【小问1解析】
解：随机抽取一张卡片，上面写有“立春”的概率为；
【小问2解析】
解：画树状图为：（“立春、雨水、春分、谷雨”分别用A、B、C、D表示）
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上写有相同字的结果数为4，
所以两人抽到的卡片上的节气有相同的字的概率为：．
17. 如图，，且，试说明．

解析：解：∵， ，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∵．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长F交的延长线于点G．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【小问1解析】
证明：四边形为正方形，且，
，
，，
，
；
【小问2解析】
解：，为的中点，
．
在中，，
由（1）知，，
，
，
，
．
19. （本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）AE=CG；
（2）AN•DN=CN•MN．
解析：证明（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD， DE=DG， ∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG；
（2）∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN，
∴，
∴．
20. 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，求与的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元．
【小问1解析】
解：设，为常数）
将点，代入得
解得
与的函数关系式为：
【小问2解析】
解：由题意得：
化简得：
解得：，
（不符合题意，舍去）
∴．
答：销售单价为80元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 已知，关于x的一元二次方程（）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若y是关于m的函数，且，求这个函数的解析式；
解析：（1）证明：△＝…1分
＝
∵m>0 ∴>0
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：
∴
∵m>0 ∴>1 又
∴
∴＝＝
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
解析：解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，，即，解得；
②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，

∴，
即．
∴．
∴
．
∵，
∴S有最小值．
当时，S最小值=．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
六、（本大题共1小题，12分）
23. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．
定义感知】
（1）如图1，在中，，AB=BD．求证：AD是的“华丽分割线”．
【问题解决】
（2）①如图2，在中，，AD是的“华丽分割线”，且是等腰三角形，则的度数是________；
②如图3，在中，AB=2，AC=，AD是 的“华丽分割线”，且是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．
【小问1解析】
证明：∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠B=40°，
∴∠ADB==70°，
∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC，
又∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴AD是△ABC的“华丽分割线”．
【小问2解析】
①当AB＝BD时，得∠ADB＝67°，
∴∠ADC＝180°−∠ADB＝113°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝113°．
在△ABC中，由内角和定理得∠C＝21°；
当AD＝BD时，
∴∠ADC＝92°，
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝92°，
在△ABC中，由内角和定理得∠C＝42°；
综上分析可知，∠C的度数为21°或42°；
故答案为：21°或42°；
②∵AD是的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
即，解得：CD=1，
∴，
即，解得：．