山西省吕梁市柳林县2023届九年级上学期期中综合评估数学试卷(含解析)

这是一份山西省吕梁市柳林县2023届九年级上学期期中综合评估数学试卷(含解析)，共16页。
注意事项：
1．共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 一元二次方程一次项系数是（ ）
A. 2B. 6C. D.
2. 下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，是的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 是圆心角B. 是的弦
C. 是圆周角D.
4. 某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（ ）
A. 0.1元B. 3元C. 25元D. 75元
5. 在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是( )
A. B. C. D.
6. 若将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示意义是（ ）
A. 该厂二月份的增长率B. 该厂三月份的增长率
C. 该厂一、二月份平均每月的增长率D. 该厂二、三月份平均每月的增长率
8. 如图，点P从右向左运动的运动路线在抛物线上，点P第一次到达x轴时的坐标为，则当点P再次到达x轴时的坐标为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，则与的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图像与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若二次函数的图像开口向下，则m的值为___________．
12. 在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为_____．
13. 如图，点在上，，则的度数为___________．
14. 如图，在中，、，将绕点A顺时针旋转得到、则的长为___________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）解方程：．
（2）如图，已知，把绕着点A顺时针旋转，使得点B与的延长线上的点D重合．求的度数．
17. 疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求顶点D坐标．
（2）求的面积．
19. 关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
20. 已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形面积．
21. 如图，是半的直径，是圆上两点，且，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为的中点．
（2）若，，求的长度．
22. 已知抛物线（m是常数）．
（1）用含m的代数式表示该二次函数图像的顶点坐标．
（2）当二次函数图像的顶点在x轴上时，求m的值及此时顶点的坐标．
（3）小明研究发现：无论m取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的解析式，并加以证明．
23. 综合与实践
已知与均为等腰直角三角形，其中，连接，P是的中点，连接．
初步感知
（1）如图1，当三点在同一直线上时，和的数量关系为___________，位置关系为___________．
深入探究
（2）如图2，当三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．
拓展提高
（3）如图3，若等腰直角绕点B逆时针旋转，当恰好与平行时，（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．
数学答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. C
解析：解：一元二次方程，其一次项系数是-6．
故选：C．
2. B
解析：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. A
解析：解：A、的顶点在圆心，原说法正确，符合题意；
B、点不在圆上，原说法错误，不符合题意；
C、点C不在圆上，原说法错误，不符合题意；
D、,原说法错误，不符合题意；
故选：A．
4. C
解析：解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式，
可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为，
即当单价元时，该商品每天的最大利润为元．
故选：C．
5. D
解析：解：根据旋转角概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠是旋转角，
由图知，∠=90°，
故选：D．
6. B
解析：解：抛物线向右平移3个单位，解析式为；
再向上平移2个单位，解析式为．
故选：B．
7. D
解析：解：根据题意得：二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱，
∴中，x表示的意义是该厂二、三月份平均每月的增长率．
故选：D．
8. C
解析：解：∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为，
∵，
∴点与对称轴的距离为，
∴与轴的另一个交点与对称轴的距离也为，即，
∴当点P再次到达x轴时的坐标为，
故选：C．
9. D
解析：解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
故选D．
10. B
解析：解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
故甲同学结论正确；
∵抛物线与x轴相交于点，，
根据函数图像可得，当时，或，
故乙同学结论错误；
∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线的对称轴为，
即，
∴，即，
故丙同学结论错误；
当时，，即，
∵时，，
∴，
故丁同学结论正确；
综上，正确的结论有甲、丁两位同学的两个结论，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.
解析：解：∵二次函数的图像开口向下，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. -3
解析：∵点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，
∴p=-3，q=1,
∴pq=-3×1=-3.
故答案为-3.
13.##90度
解析：解：∵如图：，
∴，
故答案为：．
14.
解析：解：∵、，
∴，，
∵旋转，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15.
解析：解：∵点和点在y轴上，点在点上方，
∴，
∴当时，取得最小值，
当最小时，则OM最长，
∵，即，
∴，
∵点M在x轴负半轴上，
∴,
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（1），；（2）
解析：解：（1），
因式分解得：，
∴或，
∴，；
（2）∵把绕着点A顺时针旋转，使得点B与的延长线上的点D重合，
∴，，
∴．
17.该公众号关注人数的月平均增长率为
解析：解：设月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
故该公众号关注人数的月平均增长率为，
答：该公众号关注人数的月平均增长率为．
的关键．
18.（1） （2）
小问1解析：
解：，
∴顶点D的坐标的坐标为；
小问2解析：
令，即，
解得：，，
∴点，
∴，
令，即，
∴点，
∴，
∴．
19.（1）且；（2），．
解析：（1）∵
．
解得且．
（2）∵正整数，
∴．
∴原方程为．
解得，．
20.（1）见解析 （2）24
小问1解析：
证明：将绕点旋转一定角度得到，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
小问2解析：
解：由(1)知，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
设，交于，
，
，
，
四边形的面积．
21.（1）见解析 （2）
小问1解析：
解：∵是半的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴E为的中点；
小问2解析：
由（1）得，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
即，
∴．
22.（1）
（2）；顶点的坐标为
（3）
小问1解析：
解：，
∴该二次函数图像的顶点坐标为；
小问2解析：
解：当二次函数图像顶点在x轴上时，，
解得：，
∴此时顶点的坐标为；
小问3解析：
解：直线的函数表达式为，证明如下：
∵将，代入满足，
∴m取不同值时，点都在一次函数的图像上
即顶点所在的直线的函数表达式为．
23.
（1），
（2）成立，理由见解析
（3）成立，理由见解析
小问1解析：
解：∵，P是的中点，
∴，，
∴，
∵与均为等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，；
小问2解析：
成立，理由如下：
延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵P是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，是的中点，
∴，；
小问3解析：
成立，理由如下：
延长至，使，连接，
∵与均为等腰直角三角形，
∴,
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形且点是的中点，
∴，
∴．