湖南省益阳市2025届高三9月教学质量检测试卷数学（含答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.B 3.D 4.D 5.A 6.В 7.C 8.C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
（1）2， （2）1275（答对一个记3分）
温馨提示：14.（2）由题可知，所以，所以.
若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.所以.
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.假设存在使得.设，由得.由，得，，与为等差数列矛盾.所以对任意都有.所以数列是等差数列，.所以，.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解：（1）由正弦定理得，，又，.
，...
，.6分
（2）面积为，，.
，，由得.
即..13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下：
3分
零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关.6分
（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，.
所以的分布列为：
12分
.15分
（备注：，2，3，求出一个记2分）
17.（本小题满分15分）
解：（1）因为平面，又平面，所以.又，且，所以，平面.因为，所以，平面.5分
（2）作，垂足为.则.又，所以，四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，所以，.由（1）知平面，所以.又，所以.在中，.在中，.由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.7分
则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，
由，得可取.10分
设平面的法向量为，
由，得，可取.12分
因此，，.
依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为.15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）设动点，因为直线，的斜率满足，
，化简整理得.
所以轨迹的方程为.4分
（2）由已知可设过点的直线的方程为：，点，点，
由，得.显然.，.
.7分
令，则，，所以.
设，则，所以，在单调递减，所以的最大值为即，时，的面积取最大值.10分
（3）由已知可设直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
消去，得，显然，，（*）
由（2），得，，，，
所以（*）式可化为，，即.
所以点的轨迹方程为.17分
备注：（1）中没有，（3）中没有，每项扣1分。
19.（本小题满分17分）
解：（1）由愿意得，
设所求切线的切点为，则直线的方程为，
即，又，
.即，
令，可知在上单调递增.
又，所以方程有唯一解.
所以，直线的方程是（或）.5分
（2）证明：，，
即，要证，
由（1）知只要证，即证，
又因为，即证，（*）
令，则，欲证（*）式成立，等价于证明，
设函数，则，
所以函数是上的增函数，所以，即成立，
所以.11分
（3）解法一：由愿意得.
则，令，得或（舍去），
在上，，在上，，
在上单调递增，在上单调递减，当且仅当时，取得最大值.
已知恒成立..
又，所以，所以，解得.
所以的取值的集合为.17分
解法二：由题意得恒成立，令
，得，
，，方程有两个不相等的实数根，，
则，不妨设，在上单调递增，在上单调递减，
.
由，得（**），
恒成立.
令，则，
则，当时，，当时，，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，，即，当且仅当时取等号，又恒成立，所以，且，将代入（**）式得.的取值的集合为.17分满意
不满意
总计
男游客
35
5
40
女游客
45
15
60
合计
80
20
100
0
1
2