上海外国语大学附属外国语学校东校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份上海外国语大学附属外国语学校东校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了09等内容，欢迎下载使用。

2024.09
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.“平面经过直线”用集合符号语言可表示为______.
2.已知空间中两条直线，，“”是“与相交”的______条件.
3.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角为______.
4.若平面与平面平行，，，则直线，的位置关系是______.
5.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是______.
（1）（2）（3）（4）
6.线段的长等于它在平面内的射影长的2倍，则所在直线与平面所成角为______.
7.如图，为平行四边形，是平面外一点，，分别为棱，上的点，，且平面，则______.
8.在长方体，已知底面是边长为2的正方形，点是的中点，直线与平面成角，则______.
9.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.
10.如图所示，在空间四边形中，，，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为______.
11.如图，在直角，，，，现将其放置在平面的上面，其中，在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是______.
12.如图，在正方体的棱长为，，分别为，的中点，是底面上一点.若平面则与平面所成角的正弦值的取值范围是______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A.不共线三点B.直线和直线上一点C.两条平行直线D.两条相交直线
14.设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
15.正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线，，，与平面所成角分别为，，，，若，，则点在（ ）
A.线段上B.线段上C.线段上D.线段上
16.在正方体中，点，分别是线段，上的点（不含端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，均有，则（ ）
A.①②均正确B.①②均不正确
C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1）若，判断四边形的形状：
（2）证明：和是异面直线.
18.（本题满分16分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在正方体中，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）求直线到平面的距离.
19.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
如图，已知四边形为直角梯形，，，点是平面外一点，，.
（1）证明：与平面不垂直；
（2）证明：平面平面；
（3）如果，二面角等于，求二面角的大小.
20.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
如图，已知四边形为直角梯形，，，点是平面外一点，平面，且，是棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）当是的中点时，设平面与棱交于点，求的值及截面的面积.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.
（1）当为线段的中点时，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得？若存在，求出，若不存在，请说明理由.
2024-2025学年上海外国语中学东校高二年级上学期
第一次月考数学答案
2024.09
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.【答案】
【解析】“平面经过直线”表示直线在平面上，所以为.
2.【答案】既不充分也不必要
【解析】两条直线，可能异面垂直，当与相交有可能是斜交，
所以“”是“与相交”的既不充分也不必要条件
3.【答案】
【解析】取的中点，连接、，
因为正方体中，与平行且相等，、分别是、的中点，
所以与平行且相等，可知四边形为平行四边形，得到，
所以（或其补角）就是异面直线与所成角，
设正方体的棱长为2，则，中，，同理
所以中，，即异面直线与所成角等于
4.【答案】平行或异面
【解析】面面平行的性质.
5.【答案】（1）（3）
【解析】对于（1），，不在平面上，平面，所以直线与平面平行，所以（1）正确；
对于（2），如图，取正方体所在棱的中点，连接交延长，交延长线于，则与平面相交于点，所以（2）错误；
对于（3），，不在平面上，平面，所以直线与平面平行，所以（3）正确；
对于（4），与所在平面的正方形对角线有交点，与该对角线平行，所以直线与平面相交，所以（4）错误.故选（1）（3）.
6.【答案】
【解析】如图，，垂足为，，
则是在平面内的射影，
所以是直线与平面所成的角，
因为线段的长等于它在平面内的射影长的2倍，
所以，所以.所以所在直线与平面所成的角为.
7.【答案】
【解析】设，连接，由于平面，
平面，平面平面，
则，由于，，
所以，则，
由平行线分线段成比例可得：.
8.【答案】
【解析】连接，因为在正四棱柱中，所以平面，
所以为直线在平面内的射影，
所以即为直线与平面所成的角，即
设正四棱柱的高为，又，
在中，，解得.
9.【答案】
【解析】如图，过点做交于点，连接
由题意可得，
所以就是遮阳棚与地面所成的角，
因为，则求遮阴影面面积最大，即求最大，
又，，
设，，由正弦定理得，
当且仅当时，等号成立，此时所遮阴影面面积最大，此时.
10.【答案】
【解析】在空间四边形中，，，是中点，
所以，，
所以二面角的平面角为，又且，
所以.
11.【答案】30
【解析】过作，交于，过作，交于，
因为在直角，，，，
则，当，，，四点共面时，点到的距离最大.
因为，所以是与平面所成的角，则，则，
于是，即到的最大距离为30.
12.【答案】
【解析】分别取的中点，的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，所以，
又不在平面上，平面，所以平面，
因为，分别为，的中点，，所以，
同理可知，所以，
又不在平面上，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为是底面上一点，且平面，所以点，
在等腰中，，
设与平面所成角为，则.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】B
【解析】A.公理二；C.推论三；D推论二，均可确定一个平面，故选B.
14.【答案】B
【解析】A，若，，，则，相交或平行，所以A错误；
B，若，，，由线面平行的性质可得，所以B正确；
C，若，，，当，，两两相交时，，，两两相交，所以C错误；
D，若，，则或，所以D错误.故选B.
15.【答案】B
【解析】过点作平面于，连接、，
则为与平面所成角，为与平面所成角，
因为，所以，可得，
结合，为公共边，可得，点在的平分线上，
即在平面内的射影在正方形的对角线上，
因为、分别是、在平面内的射影，
所以为与平面所成角，为与平面所成角，
结合，得，可得，
由，可得，所以点在线段（不含点）上运动.故选B.
16.【答案】D
【解析】对于①，如图，连接，，，
在正方体中，有正方形，
所以，
又，，所以四边形为平行四边形，
故，，，确定唯一的平面，
又平面，平面，所以
又，，平面，所以平面
因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合才符合题意，与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确；
对于②，如图，连接，交于，连接，，，
由①得平面，又，，
所以四边形为平行四边形，所以，则平面，
因为平面，所以
又因为正方形，所以，
又平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以
于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确.故选D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.【答案】（1）菱形；（2）见解析
【解析】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
所以线段是的中位线，所以且，
同理可得且，
所以，，所以四边形为平行四边形，
又同理可得且，且，所以，
所以平行四边形为菱形；
（2）假设和不是异面直线，则与平行或相交，
即与确定一个平面，则，，，，
与四边形为空间四边形矛盾，所以和是异面直线.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为，所以即为异面直线与所成角，
因为，由勾股定理得，，
故，所以；
（2）连接交于，则，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以面，
所以线段为所求距离，则点到平面的距离为.
19.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）若平面，则，
由已知，得，
这与矛盾，所以与平面不垂直.
（2）取、的中点、，连接、、，
由，，得，
所以为直角梯形的中位线，
所以，又，所以平面，
由平面，得，又且梯形两腰、必交，
所以平面
又平面，所以平面平面
（3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角作于，连，
由三垂线定理得，
故为二面角的平面角，即，
由已知，得，
又，所以，所以
所以，
故二面角的大小为.（12分）
20.【答案】（1）见解析；（2）；（3），
【解析】（1）因为四边形为直角梯形，，
不在平面上，平面，
所以平面；
（2）根据勾股定理，，则，
过作的垂线，垂足为，则和平行，
因为平面，所以平面，
即为所求距离，，
因为平面，，平面，所以，，
所以，
因为，所以，
，所以，
即，解得.
（3）作点满足，则，，，四点共面，
作的中点，则，所以，
所以四边形是平行四边形，则，又，
所以，即，，，四点共面，平面平面，
则与平面的交点必定在上，
所以与的交点即为与平面的交点，
所以，所以，
又，所以，
又，且，平面，，
所以平面，平面，
所以，所以四边形是矩形，，
，
所以四边形的面积，
所以四边形的面积为.
21.【答案】（1）（i）见解析；（ii）；（2）存在，见解析
【解析】（1）（i）由题意，四边形为直角梯形，且，，
所以，所以，
取的中点，连接，则且，且，
故四边形为矩形，
则，且，所以，
又由，所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，则，所以，
又，，平面，所以平面.
（ii）取的中点为，的中点为，连接、、，
过在平面内作垂直于，垂足为，
又平面平面，
平面平面，，
所以平面，为的中点，
所以，所以平面，
平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，平面，
所以，，，平面，
得平面，因为，，，
所以，
由等面积法可得，
延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，
则，所以，
由，所以，；
（2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，
则平面平面，
设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角，
因为且，所以，点为的中点，则，
过点作垂直于，垂足为，
因为平面，平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
是二面角的平面角，
所以，，
由，得，所以、重合，由，得，
设，则，，
由勾股定理可得，
即，整理可得，
解得或（舍），
所以存在点，当，有成立.