江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

这是一份江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，函数的最小值为，已知函数满足，且，则，已知函数，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
6．已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（ ）
A．420B．660C．720D．1200
8．已知函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，，则（ ）
A．与的值域相同
B．与的最小正周期相同
C．曲线与有相同的对称轴
D．曲线与有相同的对称中心
10．如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C．当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）
A．的最小值为0
B．当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C．当的重心在轴上时，的面积为
D．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若是定义在上的奇函数，当时，，则______．
13．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面ABC的距离的最大值为______，球O的表面积为______．
14．若，，均为正数，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．（15分）
贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于克．
（1）求．
（2）求．
（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面平面．
（1）证明：平面平面PAB．
（2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值．
18．（17分）
已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为．
（1）判断与圆的位置关系并说明理由．
（2）若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围．
（3）若直线与交于C，D两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（17分）
在个数码1，2，…，构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，．
（1）比较与的大小；
（2）设数列满足，，求的通项公式；
（3）设排列满足，，，，证明：．
江西省10月份高三联考
数学参考答案
1．C 依题意可得，则．
2．D 由，得，得或．
3．A 由题意得，解得．
4．A 因为，，所以，，所以．
5．B ，令，得，令，得，所以的最小值为．
6．C 因为，，，，所以，所以在方向上的投影向量为．
7．B 将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为．
8．D 令，得，则，则，
将以上各式相加得，所以．
9．ABC ，，则与的值域相同，A正确．与的最小正周期均为，B正确．曲线与的对称轴方程均为，C正确．曲线没有对称中心，曲线有对称中心，D错误．
10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．因为，，所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确．当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D正确．
11．AC 依题意可得，直线AB的方程为，代入，消去得，解得，，因为点在第一象限，所以，．的准线方程为，设，则，，所以，A正确．当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，即，且，解得，B错误．
的重心坐标为，即，当的重心在轴上时，，得的面积为，C正确．
当，，三点共线时，．由，得为锐角或直角，当为直角或为直角时，或，得或，当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为，D错误．
12．－2 因为，所以．
13．4； 设球的半径为，由正弦定理得，则，则点到平面ABC的距离的最大值为4，球的表面积为．
14． （方法一）由，得，不妨令，，，，则，且，所以．令，则，令，得，令，得，所以，即的最大值为．
（方法二）由，得．
由，得，
则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．
15．解：（1）当时，，
则，
所以，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即（或）．
（2）假设存在实数，使得在上单调递增，
则对恒成立，
即对恒成立．
当时，为增函数，则，
所以，又，所以的取值范围为．
16．解：（1）．
（2）因为，所以，
所以．
（3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则，，．
依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
则的分布列为
所以．
17．（1）证明：底面，．
，，平面PAB.
平面PAD，平面平面，，
平面PAB．
又平面平面平面PAB.
（2）解：，直线PD与直线BC所成的角为．
底面ABCD，，即．
设AD为2个单位长度，以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
设平面PCD的法向量为，则
取，则，得．
易知平面PAB的一个法向量为，
则．
故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为．
18．解：（1）因为，所以是以，为焦点，且长轴长为6的椭圆．
设的方程为，则，可得，又，所以，
联立与，得，，所以与圆相切．
（2）的周长，
的面积，
所以内切圆的半径，
故内切圆的半径的取值范围为．
（3）联立得，
易知，且，．
设，则，
所以．
（方法一）由，，得，
所以．
（方法二）因为，
所以
．
所以，
故为定值，且定值为．
19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以；
在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以．
故．
（2）解：由（1）知，所以，即．
因为，所以数列是首项为1，公差为6的等差数列，
所以，则．
（3）证明：因为，所以在排列中，排在前面的10个数依次为，，，…，，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，
所以
所以，则．
设函数，
则，
当时，，当时，，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
取，则，
即
所以，
即．0
1
2
3
4
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04