安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前,考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形PABC中,
A.B.C.D.
2.直线的倾斜角为
A.B.C.D.
3.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为
A.B.C.D.
4.若直线与直线垂直,则
A.B.C.D.
5.在三棱锥中,为AC的中点,若,则
A.B.
C.D.
6.已知点,若过定点的直线与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是
A.B.C.D.
7.已知为实数，直线，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知点在平面内,点在外,且的一个法向量，则点到平面的距离为
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是
A.B.C.D.
10.已知直线的倾斜角分别为,斜率分别是,若，则的大小关系可能是
A.B.C.D.
11.如图，四边形都是边长为2的正方形，平面平面分别是线段的中点,则
A.B.异面直线所成角为
C.点到直线DF的距离为D.的面积是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.设向量,若,则____________.
13.若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线的方程为____________.
14.如图,在平行六面体中,四边形ABCD是边长为1的正方形,,则____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知空间向量.
(1)求;
(2)判断与以及与的位置关系.
16.(本小题满分15分)
已知的三个顶点分别为.
(1)求边AB上的高CD所在直线的方程;
(2)求边AB上的中线CE所在直线的方程.
17.(本小题满分15分)
如图，在直四棱柱中，是棱的中点,.请用向量法解决下列问题.
(1)求证:;
(2)求直线CE与平面所成角的正弦值.
18.(本小题满分17分)
已知直线.
(1)求恒过的定点的坐标;
(2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围.
19.(本小题满分17分)
在矩形ABCD中,，点是线段AB的中点，将沿CP折起到位置（如图），使得平面平面APCD，点是线段MD的中点.
(1)证明:AQ//平面MCP;
(2)求平面MCD与平面MAD所成角的余弦值.
2024～2025学年高二年级第一次月考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.D .故选D.
2.A 直线的斜率为,所以其倾斜角为.故选A.
3.C 点关于轴对称点的坐标为.故选C.
4.D 若直线与直线垂直,则直线的斜率为0,所以.故选D.
5.A 由题意.故选A.
6.A 直线过定点,且直线与线段AB相交,由图象知,或，则斜率的取值范围是.故选A.
7.B 易知两直线的斜率存在,当时,则解得,由推不出,充分性不成立；当时，可以推出，必要性成立。故选B.
8.B 由点,得,所以点到平面的距离为.故选B.
9.AB 因为是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为（），所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选AB.
10.ACD 若,或,则,故A正确;若,则,故C正确;若,则,故D正确.无论哪种条件下,B都不成立.故选ACD.
11.ACD 由题意知两两垂直,以为坐标原点所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,则,又P,Q分别是线段AE,BD的中点,所以,所以,,又PQ,DF不共线,所以,故A正确;，设异面直线AQ,PF所成角为,则,又,所以,即异面直线AQ,PF所成角为，故B错误；由，得，所以点到直线DF的距离为,故C正确;因为,所以到DF的距离即为到DF的距离,所以的面积.故D正确.故选ACD.
12.4 因为,所以,即,故.
13.或 当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即;当截距不为0时，设的方程为，由过点，得，解得，所以的方程为.
14. ,所以,所以.
15.解:(1),……………………………………………………………………………………3分
所以.………………………………………………………………6分
（2）因为,所以,……………………8分
所以……………………………………………………………………………………………………9分
因为,所以,…………………………………12分
所以.……………………………………………………………………………………………………13分
16.解:(1)直线AB的斜率.…………………………………………………………………2分
因为,所以直线CD的斜率.……………………………………………………4分
因为直线CD过点,由点斜式方程可得边AB上的高CD所在直线的方程为,即.……………………………………………………………………………………………………7分
(2)因为,所以AB的中点的坐标为.…………………………………………………10分
因为,由两点式方程可得边AB上的中线CE所在直线的方程为,即.
……………………………………………………………………………………………………………………15分
17.(1)证明:由直棱柱的性质可知,
因为,所以两两互相垂直,故以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则.………………………………………………………3分
因为是棱的中点,所以，所以,……………………………5分
所以.…………………………………………………………………7分
所以,即.…………………………………………………………………………………8分
(2)解:由(1)可知.…………………………………………10分
设向量是平面的法向量,则即令,得.
……………………………………………………………………………………………………………………12分
设直线CE与平面所成的角为,则.
所以直线CE与平面所成角的正弦值为.…………………………………………………………15分
18.解:(1)整理直线的方程,得(,………………………………………………2分
联立方程组……………………………………………………………………………………4分
解得所以直线恒过的定点的坐标为.……………………………………………………7分
（2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意;………………………………9分
当时,,
因为经过第一、二、三象限，所以即………………………………12分
解得或,…………………………………………………………………………………………15分
综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是…………………17分
19.(1)证明:设MC的中点为,连接PN和QN,
因为点N,Q分别为MC,MD的中点，所以且，
在矩形ABCD中,点是线段AB的中点,所以且,所以且,所以四边形APNQ为平行四边形，所以,……………………………………………………………3分
又平面平面MCP，所以平面MCP…………………………………………6分
（2）解：在矩形ABCD中，，设，则，所以，即，取CD的中点,取PC的中点，连接MO,OE，所以
因为,点是线段AB的中点,所以,即,又为PC的中点,所以,又平面平面APCD，平面平面平面MCP，所以平面APCD，又平面APCD，所以……………………………………………………………9分
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，,
设平面MCD的法向量为，又,则即令,则，所以平面MCD的一个法向量为；……12分
设平面MAD的法向量为,又,则即令，则，所以平面MAD的一个法向量为………………………………14分
设平面MCD与平面MAD所成角为,则,
即平面MCD与平面MAD所成角的余弦值为.………………………………………………………17分