上海市金山中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份上海市金山中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了已知，则__________等内容，欢迎下载使用。
2024.6
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.函数的最小正周期为__________.
2.在等差数列中，已知，则__________.
3.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是__________.
4.已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为__________.
5.设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为__________.
6.若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________.
7.已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是__________.
8.已知，则__________.
9.若函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.
10.已知函数，则不等式的解集为__________.
11.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影为，向量满足，则的最小值是__________.
12.若存在锐角，满足不等式，则的值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.下列说法错误的是（ ）
A.若随机变量满足且，则
B.样本数据的第45百分位数为62
C.若事件相互独立，则
D.若两组成对数据的相关系数分别为，则组数据的相关性更强
15.已知抛物线与双曲线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
16.已知点为所在平面外一点，有如下两个命题：
①若平面，则；②使得两两垂直的点有且仅有两个，下列说法正确的是（ ）
A.①正确，②正确 B.①正确，②不正确
C.①不正确，②正确 D.①不正确，②不正确
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在中，角所对的边分别为，已知.
（1）若，求角的大小；
（2）若，求边上的高.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；
（2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆常数，点为坐标原点.
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质
（1）已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明；
（2）已知函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值.
2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期
期末数学试卷
2024.6
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】函数的最小正周期为.
2.【答案】6
【解析】由等差数列的性质可知.
3.【答案】
【解析】有集合的运算可知.
4.【答案】
【解析】由题意知，斜率为，则直线方程为，则坐标原点到直线的距离为.
5.【答案】2
【解析】设，则，
，
.
6.【答案】
【解析】是奇函数，
，即，
，即，
，
展开整理得，
要使等式恒成立，则有，即，解得.
当时，，
由，得，
解得或，即定义域为或，
定义域关于原点对称，且满足，
成立.
7.【答案】
【解析】由题意知.
8.【答案】
【解析】令，则.
9.【答案】
【解析】令，
则，所以，
又因为，即为，表示单位
圆位于轴上及上方部分；
而，表示过点且斜率为的直线，
所以将问题转化为半圆与直线有两个交点，
当直线与半圆相切时；，解得，
当直线过点时，则有，解得，
综上，.
10.【答案】
【解析】由题意知函数为奇函数，且单调递增，且，.
11.【答案】
【解析】如图，以的正方向为轴正方向建立平面直角坐标系
非零向量在方向上的投影为
则的终点在或上，
，
则与垂直，如图所示，
由向量减法的几何表示，可知的终点就落在图中的圆上，以为圆心，1为半径
则的最小值是，
点关于直线的对称点为，
则
12.【答案】
【解析】设
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
则当时，.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】A
【解析】若，则直线可以属于，也可，则是充分非必要条件，故选A.
14.【答案】D
【解析】对于A，随机变量满足且，
，故A正确；
对于B，
第45百分位数为62，故B正确；
对于C，若事件相互独立，则，故C正确；
对于D，，
由相关系数的性质可知，组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D.
15.【答案】B
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
设交点，
由抛物线的定义可得，
解得，
将代入双曲线，
可得，解得，
则双曲线的渐近线方程为，
即为，
故选：B.
16.【答案】C
【解析】①错误，反例如下：
在长方体中，
②若两两垂直，则点在过的垂心且与平面垂直的直线上，则有且只有两个，②正确.
故选C.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理，，即，
因，故，即是锐角，故；
（2）如图，由余弦定理，
知角是锐角，则，
作于点，在中，
，
即边上的高是.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.
因为为的中点，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.又，
所以平面，即点到平面的距离为的长度.
易证平面，所以.
因为是边长为2的等边三角形，所以，又，
所以，所以.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，
设平面的法向量为，
可得，令，则，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
可得，令，则，
所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
则二面角的正弦值为.
19.【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）前3局比赛甲都取胜的概率为；
（2）的所有可能取值为.其中，表示第1局乙输，第2局是甲丙上场，第3局是乙输，则；
表示乙赢1局，即第1局乙赢，第2局乙输，或第1局乙输，第3局乙赢；则
表示乙赢2局，即第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，第2局乙赢，第3局乙赢，则；
则的分布列为：
的数学期望为
20.【答案】（1）；（2）；（3）是定值，为
【解析】（1）由椭圆方程为，
则离心率，
又
所以；
（2）由已知得
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得
（3）法一：由已知可得，即，
平方可得，
又在椭圆上，
所以，
所以，
化简可得
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，
则，所以，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，
得，
则，
，
则，即，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.
21.【答案】（1）具有，不具有；（2）；（3）
【解析】（1）（利用函数的单调性即可判断）
函数具有性质，函数不具有性质.
（2）由题意知，对任意恒成立，
①当时，原不等式等价于，
即恒成立，故，则满足；
②当时
（i）当时，原不等式等价于，
即；
（ii）当时，原不等式等价于，
即，即，
则当时满足；
③当时，原不等式等价于，
即满足；
④当时，当时，原不等式等价于，
即，不满足；
⑤当时，原不等式等价于，
即满足；
综上的取值范围是.
（3）由题意知对恒成立，
令得，又，
又，
，
令，
则，因为不存在，使得，
，
当时，，
当时，在上递减则当时，满足条件，
则的最小值为.0
1
2
3