重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期第一次定时练习（10月）数学试卷

这是一份重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期第一次定时练习（10月）数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，在四面体中，点是的中点，记，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点，，，若，，三点共线，则，值分别是（ ）
A．，3B．，2C．1，3D．，2
4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）
A．B．C．D．
5．空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A．B．3C．2D．5
7．已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ）
A．32B．64C．48D．
8．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点与点关于轴对称
B．点与点关于轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10．下列说法错误的是（ ）
A．若，，，是空间任意四点，则有
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面
11．已知正三棱柱的所有棱长都为2，是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．若，则平面截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上
12．已知点、，为线段上一点，若，则点的坐标为______．
13．在四面体中，，，，，则______．
14．如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
16．如图，在正方体中，，，分别是，的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值：
（2）求点到平面的距离．
17．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
19．球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球的半径为，，，为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为．
图1 图2
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，．
①证明：；
②延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值．
高2026届高二上10月第一次（数学）定时练习答案
11．【详解】如图．建立空间直角坐标系．
则，，，
，，．
因为．
所以，
所以．
所以．
当，时，，所以A错误；
因为．
所以，
因为平面的法向量为，
所以点到平面的距离为为定值．
即三棱锥的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，
所以，
，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面截三棱柱所得的截面为，
．所以D正确．
12． 13．30°
14．连接，如图．
因平面，平面，则，
而，，，平面，
则平面，又平面，即有，
因是中点，则，
又，
，
当且仅当取“＝”，所以的最小值为．
15．（1） （2） （3）
16．（1） （2）
17．【小问1详解】
由题意得，
又，，，，，
故
故；
【小问2详解】
．
则．
18．【小问1详解】
证明：在中，，，由余弦定理，得
，
所以，即．
因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
设，的中点分别为，，连接，，
因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，分别为，的中点，所以，
又，所以，即，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设，则，所以．
，．
设是平面的法向量，
则即
令，则，，
即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，又，
则，
即，解得．
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
19．【小问1详解】若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角面积为；
【小问2详解】
①由余弦定理有：且，
消掉．可得：
②由是球的直径，则，，
且，，，平面，
所以平面，且平面，则．
且，，平面，可得平面，
由直线，与平面所成的角分别为，．
所以，，
不妨先令，则，，，，
由，，，
以为坐标原点，以，所在直线为，轴，
过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
可得，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，，则，，
可得，
当且仅当取等号．
则取最大值为最小值．
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9
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11
B
A
D
A
A
B
B
B
BD
BCD
BCD