人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数习题

这是一份人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题3分）把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
3．（本题3分）抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（本题3分）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（为实数），其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．②③⑤D．③④⑤
7．（本题3分）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．（本题3分）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
9．（本题3分）现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A．1B．2C．3D．4
10．（本题3分）如图，已知点A1，A2，，A2020在函数y=x2位于第二象限的图像上，点B1，B2，，B2020在函数y=x2位于第一象限的图像上，点C1，C2，，C2020在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，⋯，C2019A2020C2020B2020都是正方形，则正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为（ ）
A．2020B．2019C．4040D．4038
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在同一平面直角坐标系内，将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图像函数的解析式是 ．
12．（本题3分）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
13．（本题3分）某地每年六月有举办龙舟比赛的习俗，比赛路线需要经过一个抛物线型的拱桥，该抛物线的函数表达式为，如图，AB是水平面，某商家在点，处悬挂了广告条幅，已知，点到AB的距离为米，则点到点的距离为 米．
14．（本题3分）二次函数为常数，的自变量与因变量的部分对应值如表格，关于这个二次函数的图象下面说法：①抛物线的对称轴为轴；②抛物线的开口向下；③抛物线与轴的交点坐标为；④当时，，其中正确的有 ．
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表，求该二次函数的解析式．
17．（本题6分）某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w关于x的函数解析式；
(2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？
18．（本题6分）如图，某公司要在办公楼前的广场修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，并且在距离池中心地面高的水管处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为4m时达到最高，高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水柱落地处与池中心的水平距离．（结果保留两位小数，参考数据：）．
19．（本题7分）已知：二次函数的图象经过点．
(1)求b的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
20．（本题9分）图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是桥拱的横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．

(1)在图2中建立合适的直角坐标系后，求这条抛物线的函数表达式．
(2)拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设安置航行警戒线，要求如下：①游船底部在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．求的最大值．
21．（本题9分）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：
(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；
(2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；
(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．
22．（本题12分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之差最大，求出点的坐标；
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．（直接写出结果）
0
2
3
4
7
3
1
3
7
13
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
0
5
…
时间（秒）
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
相邻各点的距离（厘米）
0
0.3
0.5
0.7
0.9
1.0
参考答案：
1．D
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数顶点式的顶点坐标为，求解即可．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，根据二次函数表达式，利用平移法则即可得到答案，熟记二次函数图象的平移法则是解决问题的关键．
【详解】解：把函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得到函数的图象，
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可．
将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得．
【详解】解：将点A的坐标为代入得：
∴，
令，则有：，即
解得，，，
∴点B的坐标是，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限，
∴，，
∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧，
∴，，
∴此选项不符合题意；
、∵一次函数的图象过一、二、四象限，
∴，，
∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧，
∴，，
∴此选项不符合题意；
、∵一次函数的图象过一、三、四象限，
∴，，
∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧，
∴，，
∴此选项符合题意；
、∵一次函数的图象过一、二、四象限，
∴，，
∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧，
∴，，
∴此选项不符合题意；
故选：．
5．C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，
∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，
∴，，，分别是的横坐标，
∴根据图象可知：，
故选：．
6．B
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图像上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断③；由时可判断④；由时函数取得最大值可判断⑤．解题的关键是掌握：对于二次函数，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∵点，，是该抛物线上的点，且，
∴，故结论①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，故结论②正确；
∵抛物线与轴的一个交点在和之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故结论③正确；
∵由③知，时，且，
∴，故结论④正确；
由函数图像知：当时，函数取得最大值，
∴（为实数），
即（为实数），故结论⑤错误；
∴正确的是②③④．
故选：B．
7．C
【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
由平移得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴，
∴，
∴，
∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分，
∴当时，；
（2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分，
即只有C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键．
首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象有恰有一个公共点．
图1
∴当时，，即，解得．
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
图2
∵经过点，
∴当时，，即，解得．
∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
图3
当射线正好经过点0,1时，
即当时，即，解得．
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
图4
∵经过0,1，
∴．
∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是或．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键．
当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④．
【详解】解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：B．
10．C
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，可求出C2C3,然后观察OC1、C1C2、C2C3存在的规律；最后根据规律即可解答．
【详解】解：∵四边形OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x，
联立，解得或，
∴点B1（1,1），
∴OB1=，
∵四边形OA1C1B1是正方形，
∴OC1=，
∵四边形C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2与y轴的夹角是45°，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立，解得或，
∴点B2（2,4），
∴C1B2=，
∵四边形C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2==2，
∵四边形C2A3C3B3是正方形，
∴C2B3与y轴的夹角是45°，
∴C2B3的解析式为y=x+6，
联立，解得或，
∴点B3（3,9），
∴C2B3=，
∵四边形C1A2C2B2是正方形，
∴C2C3=，
……
依此类推，正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为C2019C2020=2020×2=4040．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性、正方形的性质等知识点，表示出正方形的边长所在直线的解析式与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出正方形边长、对角线的边长是解答本题的关键．
11．
【分析】本题考查二次函数图像的平移，关键是将二次函数一般式化成顶点式．先将原解析式化成顶点式，再利用“左加右减上加下减”平移即可．
【详解】解：∵，
∴将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
得到图像函数的解析式是．
故答案为：．
12．或x>0
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答．
【详解】解：由图象可知，当或x>0时，抛物线位于直线下方，
∴不等式的解集是：或x>0，
故答案为：或x>0．
13．
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，根据题意得到，代入解析式求解即可．
【详解】解：由题意得
，
解得：，，
．
故答案为：．
14．③④/④③
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的性质，由此可判断抛物线的对称轴和开口方向，再将相应的的值代入求出的值，由此即可得判断说法③和④．
【详解】解：将点代入得：，
解得，
则二次函数的解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，说法①错误；
∵，
∴抛物线的开口向上，说法②错误；
当时，，即抛物线与轴的交点坐标为，说法③正确；
当时，，说法④正确；
综上，正确的有③④，
故答案为：③④．
15．
【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即C0，2，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
将A1，1代入得，，
∴直线的解析式为；
如图，记与轴的交点分别为，
∵，
∴抛物线关于轴对称，
∴，，，轴，轴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即C0，2，
∴直线的解析式为，
联立，
解得， 或 ，
∴，，，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得， 或 ，
∴，，
∴可推导一般性规律为，当为奇数时，，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键．
16．．
【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性，得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴此二次函数的表达式．
17．(1)
(2)该商品售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是元
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，
（1）根据利润等于每千克的利润乘以销售量，即可求解；
（2）根据第（1）问中与的函数关系式即可求得利润最大值.
【详解】（1）解：由题意，得.
所以w关于x的函数解析式是.
（2）解：.
因为，所以w有最大值.
当时，w的值最大，为450.
答：该商品售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是450元.
18．(1)
(2)水柱落地处与池中心的水平距离为米
【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键是掌握二次函数顶点式，函数的性质．
（1）设抛物线的解析式为：，把顶点代入，再把，代入，即可；
（2）根据（1）中得函数解析式，当时，求出的值，即可．
【详解】（1）设抛物线的解析式为：，
∵顶点坐标为：，
∴，
∵点，
∴，
解得：，
∴函数的解析式为：．
（2）由（1）得，函数解析式为：，
∴当时，，
解得：，（舍），
∴，
答：水柱落地处与池中心的水平距离为：米．
19．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法．
（1）直接把点代入到二次函数解析式中进行求解即可；
（2）根据（1）所求把二次函数化成顶点式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）∵，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线．
20．(1)
(2)的最大值为16.6米
【分析】此题考查了二次函数的应用．
（1）以点D为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到点B的坐标为，顶点C的坐标为0,4，设抛物线解析式为，把点B的坐标代入即可求解；
（2）过点E作于点M，得到米．由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为，把代入函数得，解方程的，由米得到米，游船底部在P，Q之间通行，即可求得的最大值．
【详解】（1）以点D为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，

∵米，米，
∴点B的坐标为，顶点C的坐标为0,4，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴，
∴这条抛物线的函数表达式为；
（2）过点E作于点M，

∵米，米，
∴（米）
∴在中，（米）．
由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为．
把代入函数中，得，
解得，，
∵米，
∴（米），
∵游船底部在P，Q之间通行，
∴的最大值为（米）．
21．(1)0.8
(2)见解析
(3)250米
【分析】（1）根据表格即可求得答案；
（2）设时间为x秒，滑行距离为y cm，计算出y的对应值，画出图象即可；
（3）根据图象求出二次函数解析式，再把x的值代入可得答案．
【详解】（1）解：由表格可知，，，
∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米；
（2）解：如图，
（3）根据图象设y=ax2+bx，
把（0.02，0.3）和（0.04，0.8）代入得
解得
∴y与x的关系式为y=250x2+10x，
当x=10时，y=250×100+10×10=25100，
答：滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是251m．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练应用待定系数法确定函数关系式是解题关键．
22．(1)抛物线解析式
(2)
(3)点坐标为，，，
【分析】（1）由对称轴公式及、两点的坐标代入直接求解即可；
（2）连接并延长与对称轴的交点即为点；
（3）设出点的纵坐标，分别表示出，，三条线段的长度的平方，分三种情况，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意的，解得：，
抛物线解析式为；
（2）
设直线解析式，
把，分别代入直线得：
，解得：，
直线解析式为，
设直线与对称轴的交点为M，
则此时的值最大，
把代入直线，得，
，
即点到点的距离与到点的距离之差最大时的坐标为；
（3）
设，又点与点关于直线对称，
点坐标为，
又，
，，，
若B为直角顶点，则： ，
即：，解得：；
若C为直角顶点，则：，
即：，解得：；
若P为直角顶点，则，
即：，解得：．
综上所述，满足要求的点坐标为，，，．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，一元二次方程等知识点．第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨论是解答的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
C
B
C
B
B
C