湖南省邵阳市邵东市第四中学2025届高三第二次月考数学试题（解析版）

这是一份湖南省邵阳市邵东市第四中学2025届高三第二次月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（各题有唯一正确答案，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解对数不等式解得集合,再利用集合的交集运算即可得解.
因为集合A=xlg2x>1=xx>2，，
所以A∩B=xx>2∩x0故选：A.
2. 若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
3. 牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：，，）
A. 4分钟B. 5分钟C. 6分钟D. 7分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
4. 若，，则的值为（）
A. B. －C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
5. 函数的图象是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据时，的图象判断CD错误；再判断是奇函数，根据对称性判断A错误，B正确，即得结果.
函数中，定义域为.
当时，，根据对数函数的图象可知，CD错误；
又，故是奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确.
故选：B.
6. 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
由题意，函数，
令，所以，
在区间上恰有一个最大值点和最小值点，
则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，
则，解答，即，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式ex-1>x(x>0)可得e0.1-1>0.1；由不等式x>sinx(x>0)可得0.1>sin0.1,故，由泰勒公式可证,综合可得.
令,则f'(x)=ex-1>0,
所以在上单调递增,
所以,所以,即ex-1>x,
所以e0.1-1>0.1,
令，则g'(x)=1-csx>0,
所以在上单调递增,所以,所以,即,
所以0.1>sin0.1,
所以e0.1-1>0.1>sin0.1,
即,
由泰勒公式可知,
所以a=sin0.1=0.1-0.0016+0.00001120-…>0.1,
故,
综上所述
故选:C.
8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围.
当时，，
由可得或，
由题意可知，关于的方程、共有五个根，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则.
故选：B.
二、多项选择题：（每小题有多个正确答案，全对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.每小题6分，共18分）
9. 下列命题正确的是（）
A.
B. 函数的一条对称轴是
C. ，使的否定是，
D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦函数单调性判断A；验证判断B；利用存在量词命题的否定判断C；解正弦不等式判断D.
对于A，，则，A正确；
对于B，不是函数的最值，B错误；
对于C，命题，使是存在量词命题，其否定为，，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：AC
10. 已知正实数a，b满足，下列说法正确的是（）
A. 的最大值为4B. 的最小值为2
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解即得.
正实数a，b满足，由，
对于A，，当且仅当时取等号，
于是，解得，因此最大值为4，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，则，B错误；
对于C，，则，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ACD
11. 函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（）
A. 函数为奇函数
B. 函数有且只有3个零点
C. 不等式的解集为
D. 的解析式可能为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由奇偶性判断A，由偶函数性质和零点定义判断B，根据奇偶性与单调性结合解不等式判断C，利用导数确定函数的单调性判断D．
函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减．
若，则，则为偶函数，故A不正确.
设函数，，在R上有且只有2个零点，所以，在R上有且只有3个零点，故B正确.
因为，所以当时，，则；当时，．，又时，，故的解集为，故C正确.
若，则此函数满足为偶函数，，
设，，则为R上的增函数，
在上，，所以此函数还满足在上单调递增，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．解题时主要利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，由奇偶性的对称性得出函数的单调性，从而可解函数不等式．在函数较复杂时可利用导数确定单调性．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及商数关系，将已知条件转化为的值，再用两角差的正切公式求解.
由题意知，，则，
所以.
故答案为：.
13. 曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围_______．
【答案】（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）
【解析】
分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．
：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a（x＞0）．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，
∴方程+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．
即a=2﹣在区间x∈（0，+∞）上有解．
∴a＜2．
若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．
则，解得x0=e．
此时a=2﹣．
综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．
故答案为（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．
点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．
②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.
③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．
14. 已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】结合，化不等式为，构造函数，，把问题转化为在上恒成立，求，确定函数的单调性，利用函数的单调性得等价于在上恒成立，构造函数，，利用函数的单调性求出区间上函数的最大值即可.
由，，有，，
整理得，，即，，
故仅需时，即可；
令，，则等价于，
因为，令，解得，
所以当时，，则在上单调递增，
所以当时，等价于，即恒成立，
令，，则，令，解得，
所以时，，即hx在上单调递增，
所以，则即可，所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
利用导数证明和判断不等式问题：
通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数求最值问题，从而判定不等关系；
适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩，或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
构造“形似”函数，变形在构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
四、解答题：（共77分.写出必要的解答过程和文字说明）
15. 已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B．
（1）当m＝2时，求；
（2）若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A和B，利用集合的并补运算求．
（2）解含参一元二次不等式求集合B，根据充分条件有A⊆B，列不等式求m的范围即可．
【小问1】
由题设得：，即函数的定义域A＝，则，
当m＝2时，不等式得：，即B＝[3,4]，
所以＝．
【小问2】
由得： x＝m2或x＝，
又，即，
综上，的解集为B＝，
若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，即，得：，
所以实数m的取值范围是．
16. 设函数，
（1）若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域.
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的图象变换求出，进而求出指定区间上的值域.
（2）由（1）求出，再由结合和角的余弦公式求解即可.
【小问1】
依题意，
，将图象向左平移个单位，得，
于是，当时，，，
则，所以在上的值域为.
【小问2】
由（1）知，由，得，
由，得，则，
.
17. 已知函数，
（1）若，求在点处的切线方程.
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围.
【小问1】
当时，，求导得，则，而，
所以函数的图象在点处的切线方程为.
【小问2】
函数的定义域为R，求导得，
①当时，恒成立，函数在R上单调递增，至多有一个零点，不合题意；
②当时，由，解得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，，则，则至多有一个零点，不合题意；
当时，，则，而，则在上有唯一零点；
由（1）知，当时，，函数在上单调递增，
当时，，即，
当时，，在上有唯一零点；
因此当时，有两个不同零点，
所以实数的取值范围为.
18. 已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【小问1】
由题意知，，
即，所以，
故.
【小问2】
由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
【小问3】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；
（2）当时，证明.
【答案】（1），在上是减函数；在上是增函数
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，由题意可得，即可求出，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；
（2）由，得，ze 要证明，只要证明即可，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证.
【小问1】
，∵是的极值点，
∴，∴，
∴，定义域为，且，
∵函数在上都单调递增，
∴f'x在上单调递增，
又∵，∴当时，f'x<0，当时，f'x>0，
∴在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
∴，
在上单调递减，在0,+∞上单调递增；
【小问2】
∵，∴，
∴要证明，只要证明即可，
设，则，
∵函数在上都单调递增，
∴在上单调递增，
∵，，
∴，使得，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在单调递增，
∴，
∵，∴，
∴，
∴.
点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.