北京市石景山区景山学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】

这是一份北京市石景山区景山学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下：
表中表示成绩的一组数据中，众数和中位数分别是
A．，B．，C．，D．，
2、（4分）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4
3、（4分）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面距离为米.现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的值（ ）
A．小于米B．大于米C．等于米D．无法确定
4、（4分）某电子产品经过连续两次降价，售价由元降到了元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1，
7、（4分）小亮在同一直角坐标系内作出了和的图象，方程组的解是( )
A．B．C．D．
8、（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作轴，垂足为M，连结BM，若，则k的值是______．
10、（4分）已知一次函数的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的值__________.
11、（4分）如图1，在菱形中，，点在的延长线上，在的角平分线上取一点（含端点），连结并过点作所在直线的垂线，垂足为．设线段的长为，的长为，关于的函数图象及有关数据如图2所示，点为图象的端点，则时，_____，_____．

12、（4分）直线沿轴平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 .
13、（4分）分解因式：______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在每个小正方形的边长都是的正方形网格中，的三个顶点都在小正方形的格点上．将绕点旋转得到（点、分别与点、对应），连接，．
（1）请直接在网格中补全图形；
（2）四边形的周长是________________（长度单位）
（3）直接写出四边形是何种特殊的四边形．
15、（8分）解方程：（1）(2x+1)2=(x-1)2;（2）x2+4x-7=0
16、（8分）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG.
求证：四边形ECCD是矩形.
17、（10分）在▱ABCD中，AB＝BC＝9，∠BCD＝120°．点M从点A出发沿射线AB方向移动．同时点N从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AN，CM，直线AN、CM相交于点P．
（1）如图甲，当点M、N分别在边AB、BC上时，
①求证：AN＝CM；
②连接MN，当△BMN是直角三角形时，求AM的值．
（2）当M、N分别在边AB、BC的延长线上时，在图乙中画出点P，并直接写出∠CPN的度数．
18、（10分）小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若关于的分式方程有一个根是x=3，则实数m的值是____；
20、（4分）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：________，使△AOB∽△COD．
21、（4分）下表记录了某校篮球队队员的年龄分布情况，则该校篮球队队员的平均年龄为_____．
22、（4分）如图，在坐标系中，有，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知是由旋转得到的．请写出旋转中心的坐标是____，旋转角是____度．
23、（4分）写一个无理数，使它与的积是有理数：________。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，E．F是AC上的两点，并且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形
25、（10分）已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．
（1）设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当S=9时，求点P的坐标；
（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标．
26、（12分）因为一次函数与的图象关于轴对称，所以我们定义:函数与互为“镜子”函数.
(1)请直接写出函数的“镜子”函数：________.
(2)如图，一对“镜子”函数与的图象交于点，分别与轴交于两点，且AO=BO，△ABC的面积为，求这对“镜子”函数的解析式.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据出现最多的数为众数解答；
按照从小到大的顺序排列，然后找出中间的一个数即为中位数．
【详解】
出现次数最多的数为1.55m，是众数；
21个数按照从小到大的顺序排列，中间一个是1.60m，所以中位数是1.60m．
故选B．
考查了众数，中位数的定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
2、C
【解析】
直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，求出直线y=-x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【详解】
解：直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，
联立两直线解析式得：，解得：，
即交点坐标为，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故选：C．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于2、纵坐标大于2．
3、A
【解析】
由题意可知OA=2，OB=7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=A′B′，又由题意可知OA′=3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【详解】
解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7
由勾股定理得：AB=，
由题意可知AB=A′B′=，
又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=2，
∴BB′=7-2＜1．
故选A．
本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．
4、B
【解析】
可根据：原售价×（1-降价的百分率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程.
【详解】
设平均每月降价的百分率为，则依题意得：，故选B.
本题考查列一元二次方程，解题的关键读懂题意，掌握原售价×（1-降价的百分率）2=降低后的售价.
5、C
【解析】
根据小李距家3千米，路程随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．
【详解】
∵小李距家3千米，∴离家的距离随着时间的增大而增大．
∵途中在文具店买了一些学习用品，∴中间有一段离家的距离不再增加，综合以上C符合．
故选C．
本题考查了函数图象，比较简单，了解横、总坐标分别表示什么是解题的关键．
6、D
【解析】
试题分析：因为，所以选项A错误； 因为，所以选项B错误；因为，所以选项C错误；因为，所以选项D正确；故选D.
考点：勾股定理的逆定理.
7、B
【解析】
由数形结合可得，直线和的交点即为方程组
的解，可得答案.
【详解】
解：由题意得：直线和的交点即为方程组
的解，可得图像上两直线的交点为（-2，2），
故方程组的解为，
故选B.
本题主要考查了函数解析式与图象的关系,满足解析式的点就在函数的图象上,在函数的图象上的点,就一定满足函数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.
8、A
【解析】
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（2.5，150）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得t＝，
又当t＝时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当t＝时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距40千米，故④不正确；
故选A．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
由题意得：S△ABM＝1S△AOM，又S△AOM＝|k|，则k的值可求出．
【详解】
解：设A（x，y），
∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴B（−x，−y），
∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM＋S△BOM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±1．
又由于反比例函数图象位于一三象限，
∴k＞0，故k＝1．
故答案为：1.
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
10、答案不唯一
【解析】
一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于1，常数项大于1，据此写出一次函数．
【详解】
解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴函数x的系数小于1，常数项大于1．
又∵常数项是3，
∴这个函数可以是y=-x+3等．
故答案为：-1
本题考查了一次函数的系数与图象的关系，涉及到的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于1，常数项大于1．
11、8
【解析】
先根据为图象端点，得到Q此时与B点重合，故得到AB=4，再根据，根据，得到,从而得到，再代入即可求出x，过点作于．设，根据，利用三角函数表示出，，故在中，利用得到方程即可求出m的值．
【详解】
解∵为图象端点，
∴与重合，
∴．
∵四边形为菱形，，
∴，此时，
∵=
∴，即．
∴当时，，即；
过点作于．设．
∵，
∴，．
在中，
∴，即，
∴，即．
故答案为：8；．
此题主要考查菱形的动点问题，解题的关键是熟知菱形的性质、勾股定理及解直角三角形的方法．
12、（0，2）或（0，）
【解析】
试题分析：∵直线沿轴平移3个单位，包括向上和向下，
∵平移后的解析式为或．
∵与轴的交点坐标为（0，2）；与轴的交点坐标为（0，）．
13、
【解析】
先提取公共项y，然后观察式子，继续分解
【详解】
本题考查因式分解，掌握因式分解基本方法是解题关键
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）；（3）正方形，见解析
【解析】
（1）根据中心对称的特点得到点A1、C1，顺次连线即可得到图形；
（2）根据图形分别求出AC、、、的长即可得到答案；
（3）求出AB、AC、BC的长度，根据勾股定理逆定理及中心对称图形得到四边形是正方形，即可求出答案.
【详解】
（1）如图，
（2）∵，，， ，
∴四边形的周长=AC+++=,
故答案为：；
（3）由题意得： ，，,
∴AB=BC， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由（2）得，
∴四边形是菱形，
由中心对称得到，,，
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴四边形是正方形.
此题考查中心对称图形的作图能力，勾股定理计算网格中线段长度，等腰直角三角形的判定定理及性质定理，勾股定理的逆定理，正方形的判定定理.
15、 (1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+，x2=-2-.
【解析】
分析：（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据求根公式：计算即可.
详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,
∴2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),
∴2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,
∴2x-x=--1或2x+1=-x+1,
∴x=-2或x=0，
即x1=0，x2=-2；
（2）x2+4x-7=0
∵a=1,b=4,c=-7,
∴x= ,
∴x1=-2+，x2=-2-.
点睛：本题主要考查的知识点是一元二次方程的解法－直接开平方法和求根公式法．熟练掌握直接开平方法和求根公式法是解答本题的关键，本题属于一道基础题，难度适中．
16、见解析
【解析】
首先利用中位线定理证得CG∥BD，CG＝BD，然后根据四边形ABCD是菱形得到AC⊥BD，DE＝BD，从而得到∠DEC＝90°，CG＝DE，即可得到四边形ECGD是矩形．
【详解】
证明：∵CF=BC，
∴C点是BF中点，
∵点G是DF中点，
∴CG是△DBF中位线，
∴CG∥BD，CG=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DE=BD，
∴∠DEC=90°，CG=DE，
∴四边形ECGD是矩形.
本题考查了矩形的判定、菱形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是牢记矩形的判定方法，难度不大．
17、（1）①见解析②3或6（2）120°
【解析】
（1）①连接AC，先证△ABC是等边三角形得AB＝CA＝9、∠B＝∠CAB＝60°，由BN＝AM证△ABN≌△CAM即可得；
②分∠MNB＝90°和∠NMB＝90°两种情况，由∠B＝60°得出另一个锐角为30°，根据直角三角形中30°角所对边等于斜边的一半及AM＝BN求解可得；
（2）根据题意作出图形，连接AC，先证△BAN≌△ACM得∠N＝∠M，由∠NCP＝∠MCB知∠CPN＝∠CBM，根据AB∥CD、∠BCD＝120°可得∠CPN＝∠CBM＝120°．
【详解】
（1）①如图1，连接AC，
在▱ABCD中，AB∥DC，
∴∠B＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
又∵AB＝BC＝9，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA＝9，∠B＝∠CAB＝60°，
又∵BN＝AM，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM；
②如图2，
（Ⅰ）当∠MNB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝90°﹣60°＝30°，
∴BN＝BM，
又∵BN＝AM，
∴AM＝（9﹣AM），
∴AM＝3；
（Ⅱ）当∠NMB＝90°时，∠BNM＝90°﹣60°＝30°，
∴BM＝BN，
∴9﹣AM＝AM，
∴AM＝6；
综上所述，当△BMN是直角三角形时，AM的值为3或6；
（2）如图3所示，
点P即为所求；
∠CPN＝120°，
连接AC，
由（1）知△ABC是等边三角形，
∴∠BAN＝∠CAM＝60°、AB＝CA，
又∵BN＝AM，
∴△BAN≌△ACM（SAS），
∴∠N＝∠M，
∵∠NCP＝∠MCB，
∴∠CPN＝∠CBM，
∵AB∥CD，∠BCD＝120°，
∴∠CPN＝∠CBM＝120°．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及分类讨论思想的运用．
18、小明至少答对18道题才能获得奖品.
【解析】
试题分析：设小明答对x道题，根据“共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品”，列出不等式，解不等式即可.
试题解析：
设小明答对x道题，根据题意得，
6x-2（25-x）>90
解这个不等式得，，
∵x为非负整数
∴x至少为18
答：小明至少答对18道题才能获得奖品.
考点：一元一次不等式的应用.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1.
【解析】
将x=3代入原方程，求解关于m的方程即可.
【详解】
解：将x=3代入原方程，得：
m=2-3
m=-1
故答案为-1.
本题考查了解分式方程中的已知解求参数问题，其关键在于将解代入方程，求关于参数的新的方程的解.
20、OB=OD．(答案不唯一)
【解析】
AO=OC，有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加OB=OD，即得结论．
【详解】
解： ∵OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，
∴△ABO≌△CDO（SAS）．
故答案为：OB=OD．(答案不唯一)
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21、13.1．
【解析】
根据加权平均数的计算公式计算可得．
【详解】
解：该校篮球队队员的平均年龄为＝13.1
故答案为13.1．
本题主要考查加权平均数的计算方法，解题的关键是掌握平均数的定义和计算公式．
22、 1
【解析】
先根据平面直角坐标系得出点的坐标，从而可得的垂直平分线，再利用待定系数法分别求出直线的解析式，从而可得其垂直平分线的解析式，联立两条垂直平分线即可求出旋转中心的坐标，然后根据旋转中心可得出旋转角为，最后利用勾股定理的逆定理即可得求出旋转角的度数．
【详解】
由图可知，点的坐标为，点的坐标为
点关于y轴对称
y轴垂直平分，即线段的垂直平分线所在直线的解析式为
设直线的解析式为
将点代入得：，解得
则直线的解析式为
设垂直平分线所在直线的解析式为
的中点坐标为，即
将点代入得：，解得
则垂直平分线所在直线的解析式为
联立，解得
则旋转中心的坐标是
由此可知，旋转角为
是等腰直角三角形，且
故答案为：，1．
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、旋转的定义、勾股定理的逆定理等知识点，掌握确定旋转中心的方法是解题关键．
23、答案不唯一，如
【解析】
找出已知式子的分母有理化因式即可．
【详解】
解：因为（）（）=4-3=1，积是有理数，
故答案为：
此题考查了分母有理化，弄清有理化因式的定义是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
要证明四边形BFDE是平行四边形，可以证四边形BFDE有两组对边分别相等，即证明BF=DE，EB=DF即可得到.
【详解】
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠BAF=∠DCE，
又∵对角线AC与BD相交于O，E．F是AC上的两点，并且AE＝CF，
所以在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF=DE，
同理可证：△ADF≌△CBE（SAS），
∴DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
本题主要考查平行四边形的判定（两组对边分别平行，两组对边分别相等，有一组对边平行且相等），掌握判定的方法是解题的关键，在解题过程中，需要灵活运用所学知识，掌握三角形全等的判定或者两直线平行的判定对证明这道题目有着至关重要的作用.
25、（1）、y=24﹣3x（0＜x＜8）；（2）、P（5,3）；（3）、（6.4，1.6）.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的面积公式即可直接求解；
（2）把S=9代入，解方程即可求解；
（3）点O关于l的对称点B，AB与直线x+y=8的交点就是所求．
试题解析：（1）如图所示：
∵点P（x，y）在直线x+y=8上，
∴y=8﹣x，
∵点A的坐标为（6，0），
∴S=3（8﹣x）=24﹣3x，（0＜x＜8）；
（2）当24﹣3x=9时，x=5，即P的坐标为（5，3）．
（3）点O关于l的对称点B的坐标为（8，8），设直线AB的解析式为y=kx+b，
由8k+b=8，6k+b=0，解得k=4，b=﹣24，
故直线AB的解析式为y=4x﹣24，
由y=4x﹣24，x+y=8解得，x=6.4，y=1.6，
点M的坐标为（6.4，1.6）．
考点： 轴对称-最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特征．
26、 (1)y=-3x-2；(2)；.
【解析】
（1）根据“镜子”函数的定义解答即可；
（2）根据“镜子”函数的定义可得与的图象关于轴对称，即可得出AO=BO=CO，设OA=OB =OC=x，根据△ABC的面积为列方程求出x的值，即可得点A、B、C的坐标，利用待定系数法求出k、b的值即可得答案.
【详解】
(1)∵函数与互为“镜子”函数.
∴函数的“镜子”函数是，
故答案为：
(2)∵函数与是一对“镜子”函数，
∴一次函数与的图象关于轴对称，
∴BO=CO，
∴AO=BO=CO，
设，根据题意可得
解得
∴，
将B、A的坐标分别代入中得，
解得：
∴其函数解析式为，
∴其“镜子”函数解析式为.
∴这对“镜子”函数的解析式为和.
本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据关于y轴对称的点的坐标特征得出OA=OB=OC是解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
成绩
人数
2
8
6
4
1
年龄/岁
12
13
14
15
人数
1
3
4
2