北京四十四中学2025届数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份北京四十四中学2025届数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）对于分式方程，有以下说法：①最简公分母为（x﹣3）2； ②转化为整式方程x＝2+3，解得x＝5； ③原方程的解为x＝3； ④原方程无解．其中，正确说法的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（ ）
A．7 B．5 C．-5 D．-7
3、（4分）已知y=（k-3）x|k|-2+2是一次函数，那么k的值为（ ）
A．B．3C．D．无法确定
4、（4分）9的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（ ）
A．6B．12C．7.5D．10
6、（4分）如图,在菱形ABCD中,∠B=120°,对角线AC=6cm,则AB的长为（ ）cm
A．B．C．D．
7、（4分）一次函数的图像上有点，B（2，），则下面关系正确的是（ ）
A．>>B．>>C．>>D．>>
8、（4分）如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）．
A．17B．16C．15D．14
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）对于一次函数，若，那么对应的函数值y1与y2的大小关系是________．
10、（4分）如图，在正方形网格中有3个小方格涂成了灰色.现从剩余的13个白色小方格中选一个也涂成灰色，使整个涂成灰色的图形成轴对称图形，则这样的白色小方格有______个.
11、（4分）已知一次函数的图象如图，根据图中息请写出不等式的解集为__________．
12、（4分）如图，在中，，，，过点作，垂足为，则的长度是______.
13、（4分）甲乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距400千米的B地，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速返回A地取物品，取到物品后立即提速25%继续开往B地（所有掉头和取物品的时间忽略不计），甲乙两人间的距离y千米与甲开车行驶的时间x小时之间的部分函数图象如图所示，当甲到达B地时，乙离B地的距离是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知，，满足等式．
（1）求、、的值；
（2）判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由;
15、（8分）《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，其中的一个比赛环节“飞花令”增加了节目悬念.新学期开学，某班组织了甲、乙两组同学进行了“飞花令”的对抗赛，规定说对一首得1分，比赛中有一方说出9首就结束两个人对抗，得6分以上为合格，得9分以上为优秀，甲、乙两组同学的一次测试成绩如下：
甲组：9，4，6，5，9，6，7，6，8，6，9，5，7，6，9
乙组：4，6，7，6，7，9，7，5，8，7，6，7，9，6，8
（1）请你根据所给的两组数据，绘制统计图（表）.
（2）把下面的表格补充完整.
（3）根据第（2）题表中数据，你会支持哪一组，并说明理由.
16、（8分）已知一条直线AB经过点（1，4）和（-1，-2）
(1)求直线AB的解析式.
(2)求直线AB和直线CD：y=x+3的交点M的坐标.
17、（10分）在平面直角坐标系中，点.
（1）直接写出直线的解析式；
（2）如图1，过点的直线交轴于点，若，求的值；
（3）如图2，点从出发以每秒1个单位的速度沿方向运动，同时点从出发以每秒0.6个单位的速度沿方向运动，运动时间为秒（），过点作交轴于点，连接，是否存在满足条件的，使四边形为菱形，判断并说明理由.
18、（10分）如图，已知□ABCD.
（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证:△AFD ≌ △EFC.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知双曲线经过点（－1，2），那么k的值等于_______.
20、（4分）小张将自己家里1到6月份的用电量统计并绘制成了如图所示的折线统计图，则小张家1到6月份这6个月用电量的众数与中位数的和是_____度．
21、（4分）点P（a，b）在第三象限，则直线y＝ax+b不经过第_____象限
22、（4分）函数中自变量x的取值范围是_______.
23、（4分）如图，函数y＝bx和y＝ax＋4的图象相交于点A（1，3），则不等式bx＜ax＋4的解集为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，直线y=3x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（1，m）和点B．
（1）求m，k的值，并直接写出点B的坐标；
（2）过点P（t，0）（-1≤t≤1）作x轴的垂线分别交直线y=3x与反比函数y=（k≠0）的图象于点E，F．
①当t=时，求线段EF的长；
②若0＜EF≤8，请根据图象直接写出t的取值范围．
25、（10分）计算：+（π﹣3）0﹣（）﹣1+|1﹣|
26、（12分）如图1．在边长为10的正方形中，点在边上移动（点不与点，重合），的垂直平分线分别交，于点，，将正方形沿所在直线折叠，则点的对应点为点，点落在点处，与交于点，

（1）若，求的长；
（2）随着点在边上位置的变化，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数；
（3）随着点在边上位置的变化，点在边上位置也发生变化，若点恰好为的中点（如图2），求的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
观察可得最简公分母为（x﹣3），然后方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意要检验．
【详解】
解：最简公分母为（x﹣3），故①错误；
方程的两边同乘（x﹣3），得：x＝2（x﹣3）+3，
即x＝2x﹣6+3，
∴x﹣2x＝﹣3，
即﹣x＝﹣3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入（x﹣3）＝0，即x＝3不是原分式方程的解．
则原分式方程无解．
故②③错误，④正确．
故选A．
此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根．
2、A
【解析】分析：要求a²+a+3b的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可，注意计算不要出错．
详解：由题意知，a+b=2，x²=2x+1，即a²=2a+1，
∴a²+a+3b=2a+1+a+3b
=3（a +b）+1
=3×2+1
=1．
故选A.
点睛：主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
3、C
【解析】
根据一次函数的定义可得k-2≠0，|k|-2=1，解答即可．
【详解】
一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
所以|k|-2=1，
解得：k=±2，
因为k-2≠0，所以k≠2，
即k=-2．
故选：C．
本题主要考查一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
4、C
【解析】
根据算术平方根的定义：正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。．
【详解】
解：∵12=9，
∴9的算术平方根是1．
故选：C．
本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5、A
【解析】
由于32+42＝52，易证此三角形是直角三角形，从而易求此三角形的面积．
【详解】
∵32+42＝52，∴此三角形是直角三角形，
∴S△＝×3×4＝1．
故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是先证明此三角形是直角三角形．
6、D
【解析】
作辅助线,证明Rt△AEB为特殊的直角三角形,利用三角函数即可求解.
【详解】
如下图,连接BD,角AC于点E,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,∠AEB=90°,BD平分∠ABC,即∠ABE=60°,AE=3cm,
在Rt△AEB中, AE=3cm,
∴AB==3=2
故选D.
本题考查了菱形的性质,三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线是解题关键.
7、C
【解析】
根据一次函数时，y随x的增大而减小，可得，的大小关系，再根据不等式的性质判断，与b的大小关系．
【详解】
∵一次函数中，
∴y随x的增大而减小
∵
∴
∵
∴
∴，
即，
∴
故选C．
本题考查一次函数的增减性，熟练掌握时，一次函数ｙ随ｘ的增大而减小是解题的关键．
8、B
【解析】
根据尺规作图先证明四边形ABEF是菱形，再根据菱形的性质，利用勾股定理即可求解．
【详解】
由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，
∴AF＝AB，EF＝EB，
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BA＝BE，
∴BA＝BE＝AF＝FE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF
∵BF=12，AB=10，
∴BO=BF=6
∴AO=
∴AE=2AO=16
故选B．
本题考查的是菱形的判定、复杂尺规作图、勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的作法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
先根据一次函数判断出函数图象的增减性，再根据x1＜x1进行判断即可．
【详解】
∵直线，k=-＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x1＜x1，
∴y1＞y1．
故答案为＞.
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
10、1
【解析】
根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【详解】
解：如图所示，有1个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：1．
本题考查利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
11、x≤1
【解析】
观察函数图形得到当x≤1时，一次函数y=ax+b的函数值小于2，即ax+b≤2
【详解】
解：根据题意得当x≤1时，ax+b≤2，
即不等式ax+b≤2的解集为：x≤1．
故答案为：x≤1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12、1
【解析】
由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形，且，得出CD=AD=BD=AB=1．
【详解】
∵CA=CB．∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AD=DB，
∴CD=AB=1，
故答案为1．
本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求边的关系．
13、1
【解析】
结合题意分析函数图象：线段OC对应甲乙同时从A地出发到A返回前的过程，此过程为1小时；线段CD对应甲返回走到与乙相遇的过程（即甲的速度大于乙的速度）；线段DE对应甲与乙相遇后继续返回走至到达A地的过程，因为速度相同，所以甲去和回所用时间相同，即x＝2时，甲回到A地，此时甲乙相距120km，即乙2小时行驶120千米；线段EF对应甲从A地重新出发到追上乙的过程，即甲用（5﹣2）小时的时间追上乙，可列方程求出甲此时的速度，进而求出甲到达B地的时刻，再求出此时乙所行驶的路程．
【详解】
解：∵甲出发到返回用时1小时，返回后速度不变，
∴返回到A地的时刻为x＝2，此时y＝120，
∴乙的速度为60千米/时，
设甲重新出发后的速度为v千米/时，列得方程：
（5﹣2）（v﹣60）＝120，
解得：v＝100，
设甲在第t小时到达B地，列得方程：
100（t﹣2）＝10
解得：t＝6，
∴此时乙行驶的路程为：60×6＝360（千米），
乙离B地距离为：10﹣360＝1（千米）．
故答案为：1．
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) a=,b=5,c=;(2)可以构成三角形;直角三角形;理由见解析
【解析】
(1)根据二次根式的非负性解出a、b、c的值即可．
(2)根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】
(1) ,
由二次根式的非负性可知:a=,b=5,c=．
(2)∵a＋b＞c＞b－a,满足三边关系,
∴a、b、c能构成三角形,
∵a2=7,b2=25,c2=32,可得a2＋b2＝c2,
∴三角形为直角三角形．
本题考查二次根式的非负性和勾股定理逆定理,关键在于熟练掌握相关性质．
15、（1）详见解析；（2）6.8；（3）答案不唯一，如：两组都支持，理由是：甲乙两组平均数一样.
【解析】
（1）根据题意可把数据整理成统计表；
（2）根据平均数和中位数的性质进行计算即可.
（3）根据比较平均数的大小，即可解答.
【详解】
（1）答案不唯一，如统计表
（2）甲组平均数： =6.8
乙组的中位数为：7.
（3）两组都支持，理由是：甲乙两组平均数一样.
此题考查统计表，平均数，中位数，解题关键在于看懂图中数据.
16、（1）y=3x+1；(2)M(1，4).
【解析】
分析：设直线解析式为y=kx+b,然后把两个点的坐标代入得到关于k、b的方程组,然后解方程组即可.
详解：(1)设直线解析式为y=kx+b,
把（1，4）和（-1，-2）分别代入得 ,解得 ,
所以直线解析式为y=3x+1.
(2)由题意得 ，解得：，∴M(1,4).
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式:先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.
17、（1）；（2）或；（3）存在，
【解析】
（1）利用待定系数法可求直线AB解析式；
（2）分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求解；
（3）先求点D坐标，由勾股定理可得DN=AM=t，可证四边形AMDN是平行四边形，即当AM=AN时，四边形AMDN为菱形，列式可求t的值．
【详解】
（1）设直线AB解析式为：y=mx+n，
根据题意可得：，
∴，
∴直线AB解析式为；
（2）若点C在直线AB右侧，
如图1，过点A作AD⊥AB，交BC的延长线于点D，过点D作DE⊥AC于E，
∵∠ABC=45°，AD⊥AB，
∴∠ADB=∠ABC=45°，
∴AD=AB，
∵∠BAO+∠DAC=90°，且∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAC，AB=AD，∠AOB=∠AED=90，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AO=DE=3，BO=AE=4，
∴OE=1，
∴点D（1，-3），
∵直线y=kx+b过点D（1，-3），B（0，4）．
∴，
∴k=-7，
若点C在点A右侧时，如图2，
同理可得，
综上所述：k=-7或.
（3）设直线DN的解析式为：y=x+n，且过点N（-0.6t，0）,
∴0=-0.8t+n，
∴n=0.8t，
∴点D坐标（0，0.8t），且过点N（-0.6t，0），
∴OD=0.8t，ON=0.6t，
∴DN==1，
∴DN=AM=1，且DN∥AM，
∴四边形AMDN为平行四边形，
当AN=AM时，四边形AMDN为菱形，
∵AN=AM，
∴t=3-0.6t，
∴t=，
∴当t=时，四边形AMDN为菱形．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18、（1）作图解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题目要求画出图形即可．
（2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AD=CE，∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC．
【详解】
（1）如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC
∵BC=CE，
∴AD=CE
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠CEF
在△ADF和△ECF中，
∵ ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）
本题主要考查尺规作图以及全等三角形的证明、平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形证明方法是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、－1
【解析】
分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点（－1,2）代入，得：，解得：k＝－1．
20、1
【解析】
根据折线统计图，可得1到6月份的用电量的众数与中位数，相加求和即可．
【详解】
解：根据1到6月份用电量的折线统计图，可得150出现的次数最多，为2次，故用电量的众数为150（度）；
1到6月份用电量按大小排列为：250，225，150，150，128，125，50，故中位数为150（度），
∴众数与中位数的和是：150+150＝1（度）．
故答案为1．
本题主要考查了中位数以及众数的定义，解决问题的关键是掌握：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．解题时注意：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
21、一
【解析】
点在第三象限的条件是：横坐标为负数，纵坐标为负数.进而判断相应的直线经过的象限
【详解】
解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴直线y＝ax+b经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
此题主要考查四个象限的点坐标特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负.掌握直线经过象限的特征即可求解
22、x≥-3
【解析】
根据被开方数必须大于或等于0可得：3+x≥0,解不等式即可.
【详解】
因为要使有意义，
所以3+x≥0,
所以x≥-3.
故答案是：x≥-3.
本题考查了函数自变量的取值范围，主要涉及二次根式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式有意义的条件为：被开方数必须大于或等于0.
23、x＜1
【解析】
分析：
根据图象和点A的坐标找到直线y＝bx在直线y＝ax＋4的下方部分图象所对应的自变量的取值范围即可.
详解：
由图象可知，直线y＝bx在直线y＝ax＋4下方部分所对应的图象在点A的左侧，
∵点A的坐标为（1，3），
∴不等式bx＜ax＋4的解集为：x<1.
故答案为x<1.
点睛：“知道不等式bx＜ax＋4的解集是函数图象中：直线y＝bx在直线y＝ax＋4的下方部分图象所对应的自变量的取值范围”是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（2）m=2；k=2；B(-2，-2)；（2）①EF=8，②-2【解析】
（2）把A的坐标代入正比例函数即可得出m的值，把A的坐标代入反比例函数的解析式即可得到k的值，根据对称性即可得到B的坐标；
（2）①把t的值分别代入正比例函数和反比例函数，即可得出结论；
②根据图象即可得出结论．
【详解】
（2）解：∵直线y=2x与反比例函数y= （k≠0的常数）的图象交于A（2，m），∴m=2，k=2．根据对称性可得：B（-2，-2）．
（2）解：①当t=时，y=2x=2，y==9，∴EF=9-2=8；
②由图象知：-2＜t≤-或 ≤t＜2．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合．数形结合是解答本题的关键．
25、
【解析】
按顺序分别进行二次根式的化简、0次幂的计算、负指数幂的计算、绝对值的化简，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】
+（π﹣3）0﹣（）﹣1+|1﹣|
=
=.
本题考查了实数的混合运算，涉及了二次根式的化简、0次幂的计算、负指数幂的计算、绝对值的化简等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
26、（1）；（2）不变，45°；（3） ．
【解析】
（1）由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，在Rt△AEM中，根据EM2=AM2+AE2，构建方程即可解决问题．
（2）如图1-1中，作BH⊥MN于H．利用全等三角形的性质证明∠ABM=∠MBH，∠CBP=∠HBP，即可解决问题．
（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，在Rt△DPM中，利用勾股定理构建方程求出x，再在Rt△AEM中，利用勾股定理求出BE，EM，AE，再证明AM=EG即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=10，
由翻折可知：EB=EM，设EB=EM=x，
在Rt△AEM中，∵EM2=AM2+AE2，
∴x2=42+（10-x）2，
∴x=．
∴BE=．
（2）如图1-1中，作BH⊥MN于H．
∵EB=EM，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠EMN=∠EBC=90°，
∴∠NMB=∠MBC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴∠AMB=∠BMN，
∵BA⊥MA，BH⊥MN，
∴BA=BH，
∵∠A=∠BHM=90°，BM=BM，BA=BH，
∴Rt△BAM≌△BHM（HL），
∴∠ABM=∠MBH，
同法可证：∠CBP=∠HBP，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH=∠ABH+∠CBH=∠ABC=45°．
∴∠PBM=45°．
（3）如图2中，作FG⊥AB于G．则四边形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．设AM=x，
∵PC=PD=5，
∴PM+x=5，DM=10-x，
在Rt△PDM中，（x+5）2=（10-x）2+25，
∴x=，
∴AM=，
设EB=EM=m，
在Rt△AEM中，则有m2=（10-m）2+（）2，
∴m= ，
∴AE=10-，
∵AM⊥EF，
∴∠ABM+∠GEF=90°，∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠ABM=∠EFG，
∵FG=BC=AB，∠A=∠FGE=90°，
∴△BAM≌△FGE（AAS），
∴EG=AM= ，
∴CF=BG=AB-AE-EG=10- ．
此题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
统计量
平均分（分）
方差（分2）
中位数（分）
合格率
优秀率
甲组
2.56
6
80.0%
26.7%
乙组
6.8
1.76
86.7%
13.3%
成绩（分）
4
5
6
7
8
9
甲组（人）
1
2
5
2
1
4
乙组（人）
1
1
4
5
2
2
统计量
平均分（分）
方差（分2）
中位数（分）
合格率
优秀率
甲组
6.8
2.56
6
80.0%
26.7%
乙组
6.8
1.76
7
86.7%
13.3%