湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

这是一份湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：马应鹏 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.若则（ ）
A.B.3C.D.5
3.已知椭圆：（），则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知椭圆：的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A.B.5C.D.
5.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A.（）B.
C.（）D.
6.已知，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知圆：，直线：.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知中心在坐标原点的椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，且，点为线段上靠近的四等分点.若对于线段上的任意一点，都有成立，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A.当或时，曲线是双曲线
B.当时，曲线是椭圆
C.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
10.设函数，其中表示，，中的居中者.下列说法正确的有（ ）
A.只有一个最小值点B.的值域为
C.为偶函数D.在上单调递减
11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（ ）
A.四棱锥的体积为1
B.四棱锥外接球的表面积为
C.不存在点使得
D.当到直线的距离最小时，过点，，作截面交于点，则四棱锥的体积是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为______.
13.已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于，两点，则的周长为______.
14.已知点满足方程，则使得恒成立的实数的取值范围是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知圆经过点和，且圆心在直线：上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点作圆的切线，求该切线方程.
16.（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求锐角的大小；
（2）若，且的周长为，求的面积.
17.（15分）如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面、为的中点，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18.（17分）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
19.（17分）已知集合，其中，，，…，都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数（，）.
（1）若，，，，直接写出所有满足条件的集合；
（2）若，且对任意，都有，求的最大值；
（3）若，（）且对任意，都有，求的最大值.
株洲市二中2024年下学期高二年级第一次月考试卷
数学试题（答案）
1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8. A 9. AD 10. BCD 11. BCD
12.2
13.8 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，，
依题意可得长半轴长，半焦距，且，
所以为等边三角形，则直线过，
所以
，
即的周长为8.故答案为：8
14. 【详解】当，时，，，原方程可化为：，
当时，时，，，原方程可化为：，
当，时，，，原方程可化为：，
当，时，，，原方程可化为，显然不成立，
∴如图，点轨迹，是由椭圆的，部分，
双曲线的，部分，和双曲线的，部分所组成的曲线.
如图，取直线：，双曲线与的渐近线均为，
其中，渐近线即直线到直线的距离，
如图，∵在曲线上，
∴到直线的距离为，
∴，∴若不等式恒成立，则，
∴使得恒成立的实数的取值范围是.故答案为：.
15.【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过和点，且圆心在直线：上，
所以，解得：，
所以圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，：，
此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意：
当直线的斜率存在时，设：，即，
则点到直线的距离为圆的半径，
即，解得，此时：.
综上，直线的方程为或.
16.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由和正弦定理，
因，
代入得，
因，则得，，又为锐角，故；
（2）由可得，，因，则.
由（1），，
由正弦定理，，
设比值为，则，，，
因的周长为，即，
即，则，，
又，
故的面积为：
17.【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）取的中点，连接，，
则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面
（2）取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，，.
在等腰梯形中，，，
所以，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
所以令，则，
所以.
设平面的法向量为，则，
取.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18.【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点；②.
【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
∵椭圆过点，∴，
∴，，∴椭圆的标准方程为.
（2）设直线：（），
由，得，
设，，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点
②由①知，，
且，即，
又
令，则，
∴
（当且仅当时取“＝”）
∴.
19.【答案】（1）或或或；（2）；（3）
【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1，
又因为，，，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或.
（2）集合共有32个不同的子集，
将其两两配对成16组，（），
使得，，
则不能，同时被选中为子集（），故.
选择A的16个含有元素1的子集：，，，……，，符合题意.
综上，.
（3）结论：，令，，，…，，集合符合题意.
证明如下：
①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，
所以除外的子集至多有个，故.
②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类：
或（），和或（），
其中，，互不相同，，互不相同且均不为1，2.
若，则，有
若，则由得每个集合中都恰包含中的I个元素（不是2），且互不相同，
因为中除2外至多还有2个元素，所以.
所以.
③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类：
（），（），
（），其中.
若，则（除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合），
所以.
若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5，
又，，…，中除1外无其它公共元素，所以.
所以.
综上，.