河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了以下四个命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

（120分钟 150分）
选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若直线l的一个方向向量为−2,6，则它的倾斜角为（ ）
A．120° B．150° C．60° D．30°
2．圆心为(−1,−2)，且与y轴相切的圆的方程是（ ）
A．(x−1)2+(y−2)2=4 B．(x−1)2+(y−2)2=1
C．(x+1)2+(y+2)2=1 D．(x+1)2+(y+2)2=4
3．已知n1=−1,9,1, n2=m,−3,2, n3=0,2,1，若n1,n2,n3不能构成空间的一个基底，则m=（ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点A−3,4的直线l的一个法向量为1,−3，则直线l的点法式方程为；1×x+3+−3×y−4=0，化简得x−3y+15=0．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M1,2,3的平面的一个法向量为m=1,2,−4，则该平面的方程为（ ）．
A．x−2y−4z+7=0 B．x+2y+4z+7=0
C．x+2y−4z+7=0 D．x+2y−4z−7=0
5．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心303km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（ ）
A．1h B．2h C．2h D．3h
6．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则直线AC,FB所成角的余弦值为（ ）
A．−64 B．53 C．104 D．64
7．直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．−1C．−28．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，BC=2BO，M为棱B1C1上的动点，N为线段AM上的动点，且MNMO=MOMA，则线段MN长度的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．332 D．62
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对得6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分。）
9．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点−10,10且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为y=−14x+152
B．直线xcsθ+3y+2=0θ∈R的倾斜角的范围是0,π6∪5π6,π
C．已知B4,−1，C4,6，则BC边的中垂线所在的直线的方程为2y−5=0
D．直线x+2y−3=0关于A1,0对称的直线方程为x+2y+1=0
10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（k>0且k≠1）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知O0,0，A3,0，圆C:x−22+y2=r2r>0上有且只有一个点P满足PA=2PO，则r的取值可以是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．5
11．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱BC,CD上的动点.若直线CC1与平面EFC1所成角为π6，则下列说法正确的是（ ）
A．任意点E，F，二面角C1−EF−C的大小为π3
B．任意点E，F，点C到面EFC1的距离为32
C．存在点E，F，使得直线C1E与AD所成角为π3
D．存在点E，F，使得线段EF长度为23
填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知点A2,3到直线l1:kx−y+2=0和直线l2:x+ky+1=0的距离相等，则k= ．
13. 如图，在棱长为1的正方体AC1中，点P,Q分别是棱AD，A1B1上的动点. 若异面直线BD1和PQ互相垂直，则AP+A1Q=_______.
14. 已知实数x1, x2, y1, y2满足x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则|x1+y1−2|2+|x2+y2−2|2的最大值为 ．
解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
已知△ABC的顶点A（0，4），B（2，0），C（﹣5，m），线段AB的中点为D，
且CD⊥AB．
（1）求m的值；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程．
16．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝AD＝2，BD=22，BC＝4．
（1）证明：A1B1⊥AD1；
（2）若AA1＝2，求点B到平面B1CD1的距离．
17．（本小题满分15分）
已知圆O：x2+y2＝1，直线l：x+（m﹣3）y﹣m＝0（m∈R）．
（1）若直线l与圆O相切，求m的值；
（2）当m＝4时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长（点P到切点的距离）最短时，求弦AB所在直线的方程．
18．（本小题满分17分）
在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD=AD=12AB=1，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值；
（3）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是33，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
19. （本小题满分17分）
一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.
（1）已知∆ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以∆ABC三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和∆ACB1外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体的棱长为2，求正方形ABCD内切圆和正方形ADD1A1内切圆构成的几何系统的区径.郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1
数学参考答案
选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。）
1-8：ACBC CDDD
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。）
9. BCD 10. AD 11. ABD
填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
12. −4或−25 13. 1 14. 22+3
解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为A（0，4），B（2，0），所以D的坐标为（1，2），
因为CD⊥AB，所以m−2−5−1×4−00−2=−1，
解得m＝﹣1． ……………………………………6分
（2）设线段BC的中点为E，由（1）知C（﹣5，﹣1），则E(−32，−12)，
所以kAE=4+120+32=3，
所以直线AE的方程为y﹣4＝3（x﹣0），化简得3x﹣y+4＝0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y+4＝0．……………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解答】（1）证明：因为AB＝AD＝2，BD=22，
所以AB2+AD2＝8＝BD2，
所以AB⊥AD，
因为ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱往，
所以A1A⊥AB，
因为A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂面ADD1A1，
所以AB⊥面ADD1A1，
因为A1B1∥AB，
所以A1B1⊥面ADD1A1，
因为AD1⊂面ADD1A1，
所以A1B1⊥AD1． ……………………………………7分
（2）解：由（1）及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AD＝2，BD=22，BC＝4，A1A＝2．
所以A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），D（0，2，0），
所以CB1→=(0，−4，2)，CD1→=(−2，−2，2)，BC→=(0，4，0)， ………9分
设平面B1CD1的一个法向量为n→=(x，y，z)，
则n→⋅CB1→=0n→⋅CD1→=0，即−4y+2z=0−2x−2y+2z=0，
令y＝1，解得x＝1，z＝2，
∴n→=(1，1，2)， ……………………………………12分
所以点B到平面B1CD1的距离为d=|BC→⋅n→||n→|=46=263． …………………15分
17．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以d=|m|1+(m−3)2=1，解得m=53；……………………………………4分
（2）当m＝4 时，直线l：x+y﹣4＝0，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长|AP|=|OP|2−|OA|2=|OP|2−1，
故|AP|最短当且仅当|OP|最短，即OP⊥l时最短， ……………………………8分
因为|OP|≥42，所以|AP|≥162−1=7，此时kOP＝1，
所以lOP：y＝x，
联立y=xx+y−4=0，得P（2，2）， ……………………………………11分
故以OP为直径的圆的方程为 x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
因为弦AB即圆O与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得2x+2y﹣1＝0，
所以弦AB所在直线方程为2x+2y﹣1＝0． ……………………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF,CF.
∆PAB中，EF//AB，且EF=12AB，
又CD//AB，且CD=12AB，
所以EF//CD，且EF=CD，
即四边形EFCD为平行四边形，
所以DE//CF，
又CF⊂面PBC，DE⊄面PBC，
所以DE∥平面PBC. ……………………………………4分
（2）因为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
由题意CD＝AD=12AB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1，
故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
所以BC→=(−1，−1，0)，CP→=(0，−1，1)，
设平面PBC的法向量为m→=(x，y，z)，则m→⋅BC→=0m→⋅CP→=0，即−x−y=0−y+z=0，
令y＝1，则x＝﹣1，z＝1，∴m→=(−1，1，1)，
设点G坐标为（1，t，0），则CG→=(1，t−1，0)，DB→=(1，2，0)，
由CG⊥BD得CG→⋅DB→=1+2(t−1)=0⇒t=12，∴G(1，12，0)，
设平面GPC的法向量为n→=(a，b，c)，CG→=(1，−12，0)，
由n→⋅CP→=0n→⋅CG→=0得−b+c=0a−12b=0，令a＝1，则n→=(1，2，2)，
则cs〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→|×|n→|=333=33，
所以平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为33． ………………………………10分
（3）AP→=(−1，0，1)，设AH→=λAP→=(−λ，0，λ)，λ∈[0，1]，GA→=(0，−12，0)，
∴GH→=GA→+AH→=(−λ，−12，λ)，∴cs＜GH→，n→＞=GH→⋅n→|GH→||n→|=2λ−23(8λ2+1)，
∵GH与平面PGC所成角的正弦值为33，∴2λ−238λ2+1=33，
整理得：20λ2+8λ﹣1＝0，解得：λ=110，λ=−12（舍），
∴存在满足条件的点H，AH→=(−110，0，110)，且AH=210．
…………………………17分
19. （本小题满分17分）
解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点N在⊙D上.
若另一点M在⊙E上，则MN≤ME+ED+DN=1+22，当M,E,D,N共线时取到等号；
若另一点M在⊙F上，则MN≤MF+FD+DN=1+22，当M,F,D,N共线时取到等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为⊙E直径，即2.
综上，该几何系统的区径为1+22. ……………………………………4分
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，容易求得棱切球的半径为．
因为∆AB1C为正三角形，记它的外接圆圆心为，易知其半径为263.
又OO1=33，则球心到∆AB1C的外接圆上任意一点的距离均为，圆与球的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点M在球O上，点N在⊙O1上，则有OM=2，ON=3. 所以MN≤OM+ON=2+3，当M,O,N三点共线，且M,N在的异侧时取到等号.
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为⊙O1的直径，即463.
综上，该几何系统的区径为463. ……………………………………10分
（3）如图以D为原点建立空间直角坐标系，
在xDy平面上，⊙O1的方程为x−12+y−12=1；
在xDz平面上，⊙O2的方程为x−12+z−12=1.
若两点分别在两圆上，设点M在⊙O1上，点N在⊙O2上，且
M1+csα,1+sinα,0,N1+csβ,0,1+sinβ.
则
MN2&=csα−csβ2+1+sinα2+1+sinβ2&=4+2sinα+sinβ−csαcsβ&=4+2(sinα+1+cs2αsinβ−φ&≤4+2sinα+1+cs2α&≤4+22sin2α+1+cs2α&=8
即MN≤22，等号成立当且仅当α=β=π2.
若两点在同一个圆上，则最大距离为⊙O1的直径，即2.
综上，该几何系统的区径为22. ……………………………………17分