江苏省苏州市实验初中集团2024-2025学年八年级上学期十月月考数学试卷

这是一份江苏省苏州市实验初中集团2024-2025学年八年级上学期十月月考数学试卷，共15页。

试卷分值：130分 考试用时：120分钟
一．选择题（共8小题，每小题3分）
1．下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣81的平方根是﹣9
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．的平方根是±9
D．立方根等于它本身的数是±1和0
3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
4．如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
三个角的角平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条中线的交点
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝4：4：6
6．如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
7．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5B．3C．D．
8．已知，如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①、②B．③、④C．①、②、③D．①、②、④
二．填空题（共8小题，每小题3分）
9．等腰三角形的一边长为5，另一边长为11．则它的周长为 ．
10．小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为 ．
11．已知|＝0，则x+y的平方根是 ．
12．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 尺．（1丈＝10尺）

13．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 度．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，则PB+PD的最小值为 ．

16．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为 ．
三．解答题（共10小题，共82分）
17．（8分）求下列各式中x的值：
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）3＝27．
18．（6分）已知某正数x的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，y的立方根是﹣3．z是的整数部分．求x+y﹣2z的平方根．
19．（8分）如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．
（1）画出△ABC关于直线n对称的△A'B'C'；
（2）在直线m上作出点P，使得△APB的周长最小；（保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，图中△APB的面积为 ．（请直接写出结果）
20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
22．（8分）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．
求证：OB＝OC．

23．（8分）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向52km的B处，正以8km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD＝20km，
（1）台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）
（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；
（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．
25．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转 90°，E点旋转至点F．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；
（2）如图2，连接BF交AC于D点，若 ，求证：CE是BE的2倍；
（3）E是射线CB上一点，直线BF交直线AC于D点，若 ，则 ＝ 。
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．C．2．D．3．B．4．C．5．D．6．B．7．B．8．D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9． 27 10． 21 11． ±2 12． 4.55
13． 135° 14． 34 15． 12 16．
三．解答题（共1小题，满分82分）
17．(4分)（1）x＝±；
（4分）（2） x＝4．
18．（6分）x+y﹣2z的平方根是±4．
19．（8分）解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）S﹣＝2，

20．（6分）解：延长AB，作CD⊥AB的延长线于点D，
∵∠A＝∠C＝15°，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，∠DBC＝∠A+∠BCA＝30°，
∴，
∴△ABC的面积为：．
21．（8分）（1）证明：连接BD，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，
∴DG＝DF，
在Rt△BDG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG＝CF；
（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），
∴AG＝AF，
∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，
∴AC＝AF+AB+AG，
∴AC＝2AG+AB，
∵AB＝10cm，AC＝14cm，
∴AG＝＝2cm．
22．（8分）证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
在△AOD和△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE（AAS）．
∴OD＝OE．
在△BOD和△COE中，，
∴△BOD≌△COE（ASA）．
∴OB＝OC．
23．（8分）
解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，
AB＝52km，AD＝20km
∴，
∴48÷8＝6小时，
即台风中心从B点移到D点需要6小时；
（2）以A为圆心，以25km为半径画弧，交BC于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，离开Q点恰好不受影响（如图），
由题意，AP＝25km，在Rt△ADP中，
，
∵AP＝AQ，∠ADB＝90°，
∴DP＝DQ，
∴PQ＝30km，
∴30÷8＝3.75（小时）
∴A市受台风影响的时间为3.75小时．
24．（10分）解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴由勾股定理得：，
∵已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
（2）过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴PC⊥BC，
∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，
∴PC＝PM，
又∵PB＝PB，
∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL），
∴CB＝MB，
∴AM＝AB﹣MB＝AB＝BC＝5﹣3＝2，
设PM＝PC＝x，则AP＝4﹣x，
在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，
∴22+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
，
即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为．
（3）当AB作为底边时，如图所示：
则PA＝PB，设PA＝a，则PC＝AC﹣AP＝4﹣a，
在Rt△PCB中，PB2＝PC2+CB2，
a2＝（4﹣a）2+32，
解得：，
此时；
当AB作为腰时，如图所示：
AP1＝AB＝5，此时；
AB＝BP2时，
∵BC⊥AP2，
∴AP2＝2AC＝8，
此时t＝8÷2＝4，
综上分析可知，t的值为或或4．
25．（10分）
解：●特例感知：
①是．
②CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
26．（10分）
（1）证明：如图1，
由旋转的性质得：AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠EAC+∠DAG＝90°，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°，
∴∠ADG+∠FAG＝90°，
∴∠EAC＝∠FAG，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
（2）证明：如图2，过点F作FG⊥AC于G点，
∴∠FGD＝∠C＝90°，
由（1）知△AGF≌△ECA，
∴GA＝CE，FG＝AC，
∵AC＝BC，
∴FG＝BC，
在△FDG和△BDC中，
，
∴△FDG≌△BDC（AAS），
∴GD＝CD，
∵，
∴AD＝5CD，
设CD＝a，
则AD＝5a，GD＝a，
∴AG＝AD﹣GD＝4a，AC＝AD+CD＝6a，
∴CE＝AG＝4a，BC＝AC＝6a，
∴BE＝BC﹣CE＝2a，
∴，
即CE是BE的2倍；
（3）如图3，当点E在线段CB上时，过点F作FG⊥AC于G点，
∵，
∴设BC＝5x，BE＝3x，
∴CE＝BC﹣BE＝2x，
由（1）知△AGF≌△ECA，
∴GA＝CE＝2x，FG＝AC＝BC＝5x，
∴CG＝AC﹣AG＝5x﹣2x＝3x，
由（2）知△FDG≌△BDC，
∴CD＝GD＝1.5x，
∴AD＝AG+GD＝2x+1.5x＝3.5x，
∴；
如图4，当点E在线段CB的延长线上时，过点F作FG⊥AC于G点，
∵，
∴设BC＝5x，BE＝3x，
∴CE＝BC+BE＝8x，
由（1）知△AGF≌△ECA，
∴GA＝CE＝8x，FG＝AC＝BC＝5x，
∴CG＝AG﹣AC＝8x﹣5x＝3x，
由（2）知△FDG≌△BDC，
∴CD＝GD＝1.5x，
∴AD＝AC+CD＝5x+1.5x＝6.5x，
∴；
综上，的值是或，
故答案为：或．