专题1.2 常用逻辑用语（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc28768" 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 PAGEREF _Tc28768 \h 3
\l "_Tc11041" 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 PAGEREF _Tc11041 \h 3
\l "_Tc13045" 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 PAGEREF _Tc13045 \h 4
\l "_Tc29986" 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc29986 \h 4
\l "_Tc23504" 【题型5 根据命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc23504 \h 5
\l "_Tc12693" 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 PAGEREF _Tc12693 \h 5
1、常用逻辑用语
【知识点1 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
4.存在量词与存在量词命题
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设.
(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；
(3)若，则与互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2024·天津·二模）已知a,b∈R，则“a=b=0”是“a+b=0”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题“x+y≤6”是“x≤2，或y≤4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023·上海普陀·二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（ ）
A．a−1>b−1B．a2>b2
C．1b>1aD．a−b>b−a
【变式1-3】（2023·江苏南京·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知p:x−a>0,q:x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a∣a<1}B．a∣a≤1C．{a∣a>1}D．a∣a≥1
【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合A=xx2−4=0，B=xax−2=0，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．−1,0,1B．−1,1C．1D．−1
【变式2-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．a>2或a<−2B．a≥2或a≤−2
C．a<1D．a>2
【变式2-3】（22-23高一下·浙江·期末）已知条件p:|x+1|>2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≥1C．a≥−1D．a≤−3
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．∃x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数
D．存在x∈R，使得x2+1<2x
【变式3-1】（2010·湖南·高考真题）下列命题中的假命题是（ ）
A．∀x∈R，2x−1>0B．∀x∈N∗，x−12>0
C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx=2
【变式3-2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．∀x∈R，x+1≥1
C．有一个实数x，使x2+2x+3=0D．有些平行四边形是菱形
【变式3-3】（23-24高三上·山东·阶段练习）给出下列命题
①∀x∈R,x2+1>0；②∀x∈N,x4≥1；③∃x∈Z,x3<1；④∀x∈Q,x2≠2．
其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】
【例4】（2024·四川成都·模拟预测）命题∃x∈−1,1,x+x<0的否定是（ ）
A．∃x∈−1,1,x+x≥0
B．∀x∈−1,1,x+x≥0
C．∀x∈−∞,−1∪1,+∞,x+x≥0
D．∀x∈−∞,−1∪1,+∞,x+x<0
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）命题“∀a>1，函数fx=xa在a,+∞上单调递增”的否定为（ ）
A．∃a>1，函数fx=xa在a,+∞上单调递减
B．∃a>1，函数fx=xa在a,+∞上不单调递增
C．∃a≤1，函数fx=xa在a,+∞上单调递减
D．∃a≤1，函数fx=xa在a,+∞上不单调递增
【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）已知命题p：∀x>0，ex+2x≤4，则¬p为（ ）
A．∃x≤0，ex+2x>4B．∃x>0，ex+2x>4
C．∃x>0，ex+2x≤4D．∀x>0，ex+2x>4
【变式4-3】（2024·山西·模拟预测）命题“∀x∈0,π2，ex+2sinx>2x”的否定是（ ）
A．“∀x∈0,π2，ex+2sinx≥2x”B．“∀x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”
C．“∃x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”D．“∃x∈0,π2，ex+2sinx<2x”
【题型5 根据命题的真假求参数】
【例5】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题的充要条件是（ ）
A．a>4B．a≥4C．a<1D．a≥1
【变式5-1】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题p：“∃x∈R，x2−ax+3<0”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,−23B．−23,23
C．−∞,−23∪23,+∞D．−23,23
【变式5-2】（2023·江苏南通·模拟预测）命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a>4B．a≥4C．a<1D．a≥1
【变式5-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题p:∃x∈0,1,x2−2x−2+a>0；命题q:∀x∈R,x2−2x−a≠0，若命题p,q均为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,3B．−1,2C．0,2D．−∞,−1
【题型6 常用逻辑用语与集合综合】
【例6】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合A=x−3<2x+1<7，B=xx<−4或x>2，C=x3a−2(1)求A∩∁RB；
(2)若“p:x∈∁RA∪B”是“q:x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【变式6-1】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合A=x∣2≤x≤7，B=x∣−3m+4≤x≤2m−1，且B≠∅．
(1)若p:∀x∈A,x∈B是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若q:∃x∈B,x∈A是真命题，求实数m的取值范围．
【变式6-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合A=xm−2≤x≤2m+1 B=x−3≤x≤5.
(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(2)命题p：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.
【变式6-3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合A={x|m−36}．
(1)当m=2时，求A∩B，A∪B；
(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
一、单选题
1．（2023·天津和平·二模）若x,y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．x>yB．x2>y2
C．xy>1D．2x−y>2
2．（2024·贵州遵义·一模）已知命题p:∀x>1，lnx>13−13x3，则¬p为（ ）
A．∀x>1，lnx≤13−13x3B．∃x≤1，lnx<13−13x3
C．∃x≤1，lnx≤13−13x3D．∃x>1，lnx≤13−13x3
3．（2024·四川绵阳·二模）已知x>0,y>0，则“x+y≥1”是“x2+y2≥1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·山东·二模）已知a∈R，若集合M=1,a,N=0,1,2，则“a=0”是“M⊆N”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，x+2x−3>0，命题q：∃x∈R，2x2−4x+3=0，则（ ）
A．p真q真B．p假q假C．p假q真D．p真q假
6．（2023·重庆·模拟预测）命题“∀−2≤x≤3,x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a≥1B．a≥92C．a≥5D．a≤4
7．（2023·四川绵阳·一模）若命题“∀x∈R，m≥sinx+csx”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m≥2C．m≤−2D．m≤−2
8．（2024·全国·模拟预测）已知向量a→=4,m，b→=m−2,2，则“m=4”是“a→与b→共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（ ）.
A．命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x+1<0”
B．命题“∃x∈R，x2−x+1=0”是假命题
C．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
D．“x>4”是“x>2”的充分不必要条件
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0B．m>1C．m>3D．m>4
11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若x>0，则2x+1>5；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（ ）
A．命题（2）是全称量词命题
B．命题（1）的否定为：存在x>0,2x+1≤5
C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题
三、填空题
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）命题p:∃x0∈R,x02−mx0+m+3<0,则命题p的否定为 .
13．（2023·陕西西安·模拟预测）若“x>2”是“x2−a>2”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
14．（2023·四川南充·模拟预测）若命题“∃x∈R，使得x2+2x−m=0成立”为真命题，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题p:∀x∈R,x2−x−2>0．
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由．
16．（2023·重庆酉阳·一模）命题p：任意x∈R，x2−2mx−3m>0成立；命题q：存在x∈R，x2+4mx+1<0成立.
(1)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.
17．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合A=x14≤2x≤32，B=xx2−4x+4−m2≤0,m∈R.
(1)若m=3，求A∩B；
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题p：∃x∈R，ax2+2x−1=0为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设非空集合B=x6m−4<2x−4<2m，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值集合．
19．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射f:X→Y．定义：对任意x1,x2∈X，若x1≠x2，则fx1≠fx2，此时的f为单射．
(1)试在R→R上给出一个非单射的映射；
(2)证明：f是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z与映射g,ℎ:Z→X，若对任意z∈Z，有f(g(z))=f(ℎ(z))，则g=ℎ；
(3)证明：f是单射的充分必要条件是：存在映射φ:Y→X，使对任意x∈X，有φ(f(x))=x．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)必要条件、充分条件、充要条件
(2)全称量词与存在量词
(3)全称量词命题与存在量词命题的否定
2021年全国甲卷：第7题，5分
2022年天津卷：第2题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，从近几年高考情况来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中，难度偏易.重点关注以下两点：①集合与充分、必要条件相结合的问题的求解；②命题的否定和以全称量词命题与存在量词命题为条件，求参数的范围问题.
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及符号表示
由p通过推理可得出q，记作：p⇒q
由条件p不能推出结论q，记作：
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”