专题2.3 幂函数与二次函数（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26065" 【题型1 幂函数的定义】 PAGEREF _Tc26065 \h 2
\l "_Tc28106" 【题型2 比较幂值的大小】 PAGEREF _Tc28106 \h 3
\l "_Tc15170" 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc15170 \h 5
\l "_Tc16289" 【题型4 求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc16289 \h 7
\l "_Tc21851" 【题型5 二次函数的图象问题】 PAGEREF _Tc21851 \h 9
\l "_Tc12313" 【题型6 二次函数的最值问题】 PAGEREF _Tc12313 \h 12
\l "_Tc32457" 【题型7 二次函数的恒成立问题】 PAGEREF _Tc32457 \h 14
1、幂函数与二次函数
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 求二次函数解析式的方法】
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.
【知识点3 二次函数的图象与性质】
1．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
2．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=1x3B．y=2xC．y=2x2D．y=−x−1
【解题思路】由幂函数的定义可判断各选项.
【解答过程】由幂函数的定义,形如y=xα，α∈R叫幂函数，
对A，y=1x3=x−3，故A正确；B，C，D均不符合.
故选：A．
【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．α=1,3,12时，幂函数y=xα是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．y=2x2既是二次函数，又是幂函数
【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可．
【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如y=x−1，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当α=1,3,12时，幂函数y=x，y=x3，y=x12=x在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数y=2x2是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如y=xαα∈R，故D不正确.
故选：B.
【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在−∞,0是增函数的是（ ）
A．y=1xB．y=x3+1C．y=x−2D．y=x
【解题思路】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确.
【解答过程】由幂函数的概念可以排除B、D选项，
而y=1x在−∞,0是减函数，y=x−2在−∞,0是增函数，
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1；④y=x−12；⑤y=x，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】由幂函数的定义即可求解.
【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：y=xα,α≠0；
逐一对比可知题述中的幂函数有①y=x3；⑤y=x共两个.
故选：C.
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，则“a>b”是“a3>b3”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解题思路】
直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【解答过程】因为函数y=x3在R上单调递增，
所以a>b⇔a3>b3，
即“a>b”是“a3>b3”的充要条件.
故选：C.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a=lg510，b=lg48，c=4b−76，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】化简a=1+lg52，b= 1+lg55=32，所以a323=b3，故可得出答案.
【解答过程】∵a=lg55×2=lg55+lg52=1+lg52，
b=lg44×2=lg44+lg42=1+12= 1+lg55=32，∴ac=432−76=413，∵c3=4133=4>323=b3，
且y=x3在R上为增函数，∴c>b，即c>b>a，
故选：C．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设a=f20.3，b=f0.32，c=flg20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．bC．a【解题思路】根据幂函数的定义求出函数f(x)解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【解答过程】因幂函数f(x)=m−1xn的图象过点m,8，则m−1=1，且mn=8，
于是得m=2，n=3，函数f(x)=x3，函数f(x)是R上的增函数，
而lg20.3<0<0.32<1<20.3，则有f(lg20.3)所以c故选：D.
【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知f(x)为奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2x−x2，当x>2时，f(x)=x−3−1，则（ ）
A．−f−26>f20.3>f30.3B．f20.3>f30.3>−f−26
C．−f−26>f30.3>f20.3D．f30.3>f20.3>−f−26
【解题思路】利用题给条件求得fx在1,3上单调性，利用f(x)为奇函数求得−f−26,f(1)的大小关系，再利用幂函数性质比较30.3,20.3的大小关系，进而得到f30.3,f20.3,−f−26三者间的大小关系.
【解答过程】因为当0≤x≤2时，fx=2x−x2，
则fx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，
当x>2时，fx=x−3−1，
则fx在2,3上单调递减，在3,+∞上单调递增.
且f2=0=2−3−1，所以fx在0,1上单调递增，
在1,3上单调递减，在3,+∞上单调递增.
因为−f−26=f26>f5=1=f(1)，1<20.3<30.3<3，
则f1>f20.3>f30.3
所以−f−26>f20.3>f30.3.

故选：A.
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数fx=xα当α=2,3,12,−1时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在0,+∞上单调递增，则α=（ ）
A．2B．3C．12D．-1
【解题思路】根据幂函数的性质即可得解.
【解答过程】由题意可得α>0且α为奇数，
所以α=3.
故选：B.
【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数fx=xmnm,n∈Z，下列能成为“fx是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A．m=−3,n=1B．m=1,n=2
C．m=2,n=3D．m=1,n=3
【解题思路】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.
【解答过程】当m=−3,n=1时，fx=x−3=1x3，
因为函数fx=1x3的定义域−∞,0∪0,+∞，关于原点对称，且f−x=1−x3=−1x3=−fx，
所以fx=1x3为奇函数，不合题意，故A错误；
当m=1,n=2时，fx=x12=x，因为fx=x函数的定义域0,+∞，不关于原点对称，
所以fx=x为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；
当m=2,n=3时，fx=x32=3x2，定义域为R，关于原点对称，且f−x=3−x2=3x2=fx，
所以fx=x32为偶函数，符合题意，故C正确；
当m=1,n=3时，fx=x13，定义域为R，关于原点对称，且f−x=−x13=−x13=−fx，
所以fx=x13为奇函数，不合题意，故D错误.
故选：C.
【变式3-2】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数y=xmn（m,n均为正整数且m,n互质）的图象，则（ ）
A．m,n是奇数且mn<1
B．m是偶数，n是奇数，且mn<1
C．m是偶数，n是奇数，且mn>1
D．m,n是奇数，且mn>1
【解题思路】由幂函数性质及0【解答过程】由幂函数性质可知：y=xmn与y=x恒过点1,1，即在第一象限的交点为1,1，
当0x，则mn<1；
又y=xmn图象关于y轴对称，∴y=xmn为偶函数，∴−xmn=n−xm=xmn=nxm，
又m,n互质，∴m为偶数，n为奇数.
故选：B.
【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数fx=x3+a−2x2+2x+b在−2c−1,c+3上为奇函数，则不等式f(2x+1)+fa+b+c>0的解集满足（ ）
A．−2,4B．−3,5C．−52,2D．−2,2
【解题思路】根据函数的奇偶性求出参数a、b、c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解答过程】因为函数fx=x3+a−2x2+2x+b在−2c−1,c+3上为奇函数,
所以−2c−1+c+3=0，解得c=2，又f−x=−fx，
即−x3+a−2x2−2x+b=−x3−a−2x2−2x−b，
所以2a−2x2+2b=0，解得2a−2=02b=0，解得a=2b=0，
所以fx=x3+2x，x∈−5,5，
由y=x3与y=2x在定义域−5,5上单调递增，所以fx在定义域−5,5上单调递增，
则不等式f(2x+1)+fa+b+c>0，即f2x+1+f4>0，等价于f2x+1>f−4，
所以2x+1>−4−5≤2x+1≤5，解得−52故选：C.
【题型4 求二次函数的解析式】
【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：f(x)=
x2−4x+3或2x2−4x+1或4x2−8x+3或2x2−4x+3 ．
①f(x)的最小值为−1；②f(x)的一次项系数为−4；③f(0)=3；④f(x)=f(−x+2)．
【解题思路】根据二次函数的特征，如顶点、对称轴设函数的解析式即可求解.
【解答过程】第一种情况：f(x)具有①②③三个性质，由②③可设f(x)=ax2−4x+3(a≠0)，则根据①可得：12a−164a=−1，解得a=1，所以f(x)=x2−4x+3．
第二种情况：f(x)具有①②④三个性质，由①④可设f(x)=a(x−1)2−1(a>0)，则根据②可得：−2a=−4，解得a=2，所以f(x)=2(x−1)2−1=2x2−4x+1．
第三种情况：f(x)具有①③④三个性质，由①④可设f(x)=a(x−1)2−1(a>0)，则根据③可得：f(0)=a−1=3，解得：a=4，所以f(x)=4(x−1)2−1=4x2−8x+3．
第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可设f(x)=ax2−4x+3(a≠0)，则根据④可得：−−42a=1，解得a=2，所以f(x)=2x2−4x+3．
故答案为：x2−4x+3或2x2−4x+1或4x2−8x+3或2x2−4x+3.（不唯一）.
【变式4-1】（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数fx的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且fx在区间−1,4上的最大值为12，则函数fx的解析式为 fx=2x2−10x ．
【解题思路】根据函数特征设fx=axx−5,a>0然后判断并求解f−1=6a=12,a=2从而解得函数解析式.
【解答过程】设fx=axx−5,a>0其对称轴为直线x=52，又fx在区间−1,4上的最大值为12，
所以f−1=6a=12,a=2，所以fx=2x2－10x.
故答案为：fx=2x2−10x.
【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，对任意x∈R，f(x−2)=f(−x)，且f(x)≥x恒成立．则二次函数f(x)的完整解析式为 f(x)=14x2+12x+54 ．
【解题思路】根据f(x−2)=f(−x)得到b=2a，结合f(1)=1得出c=1−3a，根据f(x)≥x恒成立，求出a的值，即可求出函数解析式．
【解答过程】∵对任意x∈R，f(x−2)=f(−x)，
∴二次函数对称轴为x=−22=−1，
∴b=2a，
∵f(1)=1，
∴a+b+c=1，
∴c=1−3a，
又对任意x∈R，f(x)≥x恒成立，
∴ax2+2ax+(1−3a)≥x，即ax2+(2a−1)x+(1−3a)≥0在R上恒成立，
∵a>0，
∴Δ=(2a−1)2−4a(1−3a)=16a2−8a+1=(4a−1)2≤0，
∴a=14，
∴b=12，c=54，即函数f(x)=14x2+12x+54，
故答案为：f(x)=14x2+12x+54．
【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且不等式fx≤2x的解集为1,3，则fx的解析式是fx= x2−2x+3 ．
【解题思路】由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得a,b,c，得函数解析式.
【解答过程】解：f(x)≤2x为ax2+(b−2)x+c≤0，其解集为[1,3]，则
−b−2a=1+3ca=1×3，a>0，又函数f(x)的对称轴是x=1，则−b2a=1，
两者结合解得a=1,b=−2,c=3，
所以f(x)=x2−2x+3.
故答案为：x2−2x+3.
【题型5 二次函数的图象问题】
【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【解题思路】本题可根据图像得出结果.
【解答过程】结合图像易知，
不等式ax2+bx+c>0的解集−2,1，
故选：A.
【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式cx2+ax+b>0的解集为x∣−1A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解a,b,c的关系，再代入函数y=ax2−bx−c，即可分析函数的图象.
【解答过程】因为cx2+ax+b>0的解集为x∣−1故函数y=ax2−bx−c=c2x2+c2x−c=c2x+2x−1的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为1,0和−2,0，故A选项的图象符合.
故选：A.
【变式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2−x−c>0的解集为{x|−1A．B．
C．D．
【解题思路】由题可得−1和12是方程ax2−x−c=0的两个根，求出a,c，再根据二次函数的性质即可得出.
【解答过程】由题可得−1和12是方程ax2−x−c=0的两个根，且a<0，
∴−1+12=1a−1×12=−ca，解得a=−2,c=−1，
则y=cx2−x−a=−x2−x+2=−x+2x−1，
则函数图象开口向下，与x轴交于−2,0，1,0.
故选：C.
【变式5-3】（2024高一·全国·专题练习）不等式ax2−bx+c>0的解集为x|−2A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，可得方程ax2−bx+c=0的两个根为x=−2和x=1，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a、b、c的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【解答过程】根据题意，ax2−bx+c>0的解集为{x|−2则有−2+1=ba(−2)×1=caa<0，变形可得b=−ac=−2a，
故函数y=ax2+bx+c=ax2−ax−2a=ax−2x+1是开口向下的二次函数，且与x轴的交点坐标为(−1,0)和(2,0).
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
【题型6 二次函数的最值问题】
【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面关于函数fx=x2+3x+4的说法正确的是（ ）
A．fx>0恒成立B．fx最大值是5
C．fx与y轴无交点D．fx没有最小值
【解题思路】根据二次函数的性质即可判断各选项.
【解答过程】函数f(x)=x2+3x+4=x+322+74≥74，
对于A，f(x)>0恒成立，A正确；
对于BD，当x=−32时，fx的最小值为74，无最大值，BD都是错误；,
对于C，当x=0时，y=4，即fx与y轴有交点，C错误.
故选：A.
【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数f(x)=(a−2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值为ma，当ma取最小值时，a=（ ）
A．0B．1C．12D．2
【解题思路】根据二次函数的性质求出ma，然后利用基本不等式即得.
【解答过程】∵f(x)=(a−2)x2+3ax+2在R上有最大值ma，
∴a−2<0且当x=−3a2(a−2)时，f(x)的最大值为8(a−2)−9a24(a−2)，
即2−a>0且ma =2−9a24(a−2)=94(2−a)+92−a−7≥29(2−a)4×92−a−7=2，
当且仅当9(2−a)4=92−a时，即a=0时，ma有最小值2，
故选：A．
【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）fx=2017x2−2018x+2019×2020,x∈t,t+2.则当t变化时，f(x)max−f(x)min的最小值为（ ）
A．2020B．2019C．2018D．2017
【解题思路】根据对称轴和区间的位置关系对t的值进行讨论，从而求出f(x)max−f(x)min，继而求出其最小值即可.
【解答过程】函数fx=2017x2−2018x+2019×2020,的对称轴为x=10092017，
当t≥10092017，f(x)在[t,t+2]上单调递增，
所以f(x)max−f(x)min=f(t+2)−f(t)
=2017(t+2)2−2018(t+2)+2019×2020−2017t2+2018t−2019×2020
=4034t+4032≥6050；
当t+2≤10092017，即t≤−30252017时，f(x)在[t,t+2]上单调递减，
f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+2)
=−4034t−4032≥2018；
当t<10092017f(x)max−f(x)min=f(t+2)−f(10092017)>f(30262017)−f(10092017)，
无最小值；
当t+1≤10092017f(x)max−f(x)min=f(t)−f(10092017)≥f(−10082017)−f(10092017)
=2017，
综上知，f(x)max−f(x)min的最小值为2017，
故选：D.
【变式6-3】（21-22高一上·浙江台州·期末）已知函数fx=ax2+2x的定义域为区间[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（x）的值域为[-4，4]，则n−m的取值范围是（ ）
A．[4，42]B．[22，82]C．[4，82]D．[42，8]
【解题思路】先讨论a=0，再结合二次函数的图象与性质分析a>0时，n−m的最大值与最小值，同理可得a<0时的情况即可得解.
【解答过程】若a=0，f(x)=2x，函数为增函数，x∈[m,n]时，则f(m)=2m=−4,f(n)=2n=4，所以n−m=2−(−2)=4，
当a>0时，作图如下，
为使n−m取最大，应使n尽量大，m尽量小，此时a=14，
由f(n)=4f(m)=4⇒am2+2m=4an2+2n=4，
即ax2+2x−4=0，
所以m+n=−2a,mn=−4a，
所以n−m=m+n2−4mn=4a2+16a=82，即n−m≤82，
当−1a<−4时，即0则由f(n)=an2+2n=4,f(m)=am2+2m=−4，
解得n=−2+4+16a2a,m=−2+4−16a2a，
∴n−m=4+16a−4−16a2a=1+4a−1−4aa=81+4a+1−4a≥821+4a+1−4a2=4，
当且仅当1+4a=1−4a ,即a=0时取等号，但a>0，等号取不到，
∴n−m>4，
a<0时，同理，当a=−14时，(n−m)max=82，当a>−14时，n−mmin>4，
综上，n−m的取值范围是[4,82]，
故选：C.
【题型7 二次函数的恒成立问题】
【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−8,8B．−∞,8C．−∞,8D．8,+∞
【解题思路】先由x2−mx+16>0得m【解答过程】当x>0时，由x2−mx+16>0得m因x>0，故x+16x≥2x×16x=8，当且仅当x=16x即x=4时等号成立，
因当x>0时，m故选：C.
【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,2)B．(2,+∞)C．(−∞,2)D．(−∞,2]
【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答过程】∀x∈(0,+∞),x2−mx+1>0⇔m0时，x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
则m<2，所以m的取值范围是(−∞,2).
故选：C.
【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“∃x>0,ax2+x+1<0”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．a≥−14B．a≥0C．a≥1D．a<1
【解题思路】利用条件知，对∀x>0，ax2+x+1≥0恒成立，从而求出a的取值范围，再根据选项即可得出结果.
【解答过程】因为命题“∃x>0,ax2+x+1<0”为假命题，所以，对∀x>0，ax2+x+1≥0恒成立，
当a=0时，ax2+x+1=x+1>0在x∈(0,+∞)上恒成立，所以a=0满足条件，
当a>0时，令ℎ(x)=ax2+x+1，对称轴x=−12a<0，且ℎ(0)=1>0，所以，当x∈(0,+∞)时，ax2+x+1>0恒成立，
当a<0时，显然有ax2+x+1≥0不恒成立，
故对∀x>0，ax2+x+1≥0恒成立时，a≥0，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−∞,−4C．−4,4D．−2,2
【解题思路】由题知4k2−16<0，再解不等式即可得答案.
【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，
所以，4k2−16<0，解得−2所以，k的取值范围是−2,2
故选：D.
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数fx=m2−m−1x2m−3在0,+∞上单调递增，则实数m的值为（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【解答过程】因为幂函数fx=m2−m−1x2m−3在0,+∞上是增函数，
所以m2−m−1=12m−3>0，解得m=2.
故选：A.
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在0,+∞上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．cC．c【解题思路】由幂函数在0,+∞内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【解答过程】由题意结合图象可知a<0故选：B.
3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数f(x)，对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，则f(x)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】令f(2x)<2f(x)中x=0，则f(0)>0，排除C，D；又由f(2x)<2f(x)可得c>2ax2任意的x∈R恒成立，则c>0，2a<0，排除B，即可得出答案.
【解答过程】因为对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，令x=0，则f(0)<2f(0)，
所以f(0)>0，排除C，D；即f0=c>0，
设二次函数f(x)=ax2+bx+ca≠0，
所以f(2x)=4ax2+2bx+c，2f(x)=2ax2+2bx+2c，
由f(2x)<2f(x)可得4ax2+2bx+c<2ax2+2bx+2c，则2ax2−c<0，
所以c>2ax2任意的x∈R恒成立，则c>0，2a<0，故排除B.
故选：A.
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤18B．−18C．2【解题思路】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当k=0时，不等式kx2+k−6x+2>0可化为−6x+2>0，显然不合题意；
当k≠0时，因为kx2+k−6x+2>0的解为全体实数，
所以k>0Δ=k−62−4k×2<0，解得2综上：2故选：C.
5．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7
【解题思路】根据题意，由对称轴a−4≥3求解.
【解答过程】解：函数f(x)=x2+2(4−a)x+2的对称轴方程为：x=a−4，
因为函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，
所以a−4≥3，解得a≥7，
故选：B.
6．（2023·四川泸州·一模）已知点(2,18)在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(lg23)，b=f(ln3)，c=f(3−12)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
【解题思路】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可
【解答过程】已知幂函数fx=xα经过点2,18，可得：2α=18，解得：α=−3.
即fx=x−3，易知fx=x−3在x∈0,+∞上为单调递减函数.
由于lg23=lg3lg2>lg3lge=ln3，可得：flg23又因为ln3>lne=1，0<3−12<1，可得：fln3综上所述：a故选：B.
7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数fx的图象过12,24，Px1,y1，Qx2,y2（x1A．x1fx1>x2fx2B．x1fx2C．fx1x2>fx2x1D．fx1x1【解题思路】由幂函数所过的点求出解析式，分别构造y=fxx、y=xfx，结合其单调性判断各项正误.
【解答过程】设幂函数fx=xα，图象过12,24，则(12)α=24=(12)32，即α=32，
所以fx=x32且x∈(0,+∞)，
y=fxx=x12为增函数，0y=xfx=x52为增函数，0所以A、B、C错，D对.
故选：D.
8．（2023·江西南昌·二模）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的三个零点分别为1，x1,x20A．[0,1]B．(0,1)C．(0,2)D．[0,2]
【解题思路】利用f1=0，求得c的表达式，由函数f(x+1)为奇函数，所以fx关于1,0对称，可求得a=−3，利用二次函数零点分布的知识，求得b满足的不等式组，求出b的范围，即可求得f(2)的取值范围.
【解答过程】由f1=1+a+b+c=0，得c=−a+b+1.
所以fx=x3+ax2+bx−a+b+1 =x−1x2+a+1x+a+b+1，
对于函数gx=x2+a+1x+a+b+1，其开口向上，
因为函数f(x+1)为奇函数，所以fx关于1,0对称，
其两个零点x1,x2，则0且满足−a+12=1，解得：a=−3，
根据二次函数零点分布的知识有g0=−3+b+1>0g1=−6+b+3<0，解得：2f2=8+4a+2b+c=8+4a+2b−a−b−1=3a+b+7=−2+b∈0,1，
故选：B.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．fx=−3x5B．fx=2x
C．fx=1xD．fx=−2x13
【解题思路】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【解答过程】对于A，fx=−3x5是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；
对于B，fx=2x是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；
对于C，f−1=−1,f1=1，故fx=1x在其定义域上不单调递减，故C错误；
对于D，fx=−2x13是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.
故选：AD.
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式a−1x2−2a−1x−4<0恒成立，则实数a可能是（ ）
A．−2B．0C．−4D．1
【解题思路】首先当a=1，不等式为−4<0恒成立，故满足题意；其次a≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a−1<0Δ<0，解不等式组即可.
【解答过程】当a=1时，不等式为−4<0恒成立，故满足题意；
当a≠1时，要满足a−1<0Δ<0，
而Δ=4a−12+16a−1=4a−1a+3，
所以解得−3综上，实数a的取值范围是−3,1；
所以对比选项得，实数a可能是−2，0，1.
故选：ABD.
11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f(x)=x+1，设g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn−1(x)n>1,n∈N∗．且关于x的函数y=x2+i=1ngi(x)n∈N∗．则（ ）
A．gn(x)=x+n或gn(x)=nx+1
B．y=n2+2n4+x+n22
C．当n≤2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]上的最小值为6，n=0
D．当n>2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]上的最小值为6，n=4
【解题思路】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数n可判断CD.
【解答过程】因为g1(x)=f(x)=x+1，gn(x)=fgn−1(x)，所以g2(x)=f(x+1)=x+2，
g3(x)=f(x+2)=x+3，依次类推，可得gn(x)=x+n，故A正确；
由A选项知，y=x2+i=1ngi(x)=x2+(x+1+x+2+…+x+n)=x2+nx+1+n⋅n2=n2+2n4+x+n22，故B正确；
当n≤2时，y=n2+2n4+x+n22的对称轴x=−n2≥−1，
所以y在区间(−∞,−1]上单调递减，故当x=−1时，ymin=2n2−2n+44=n2−n+22=6，方程无整数解，故C错误；
当n>2时，y=n2+2n4+x+n22的对称轴x=−n2<−1∈(−∞,−1]，
所以当x=−n2时，ymin=n2+2n4=6，解得n=4，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·北京延庆·一模）已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(−1,0)上单调递减，则α的一个取值为 23（不唯一） ．
【解题思路】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【解答过程】因为f(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)上单调递增，又f(x)在区间(−1,0)上单调递减，
所以f(x)可以为偶函数，不妨取α=23，
此时f(x)=x23=3x2，函数定义域为x∈R，
且f(−x)=−x23=3−x2=f(x)，故f(x)=x23为偶函数，
满足在区间(−1,0)上单调递减.
故答案为：23（不唯一）.
13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数y=a(x−4)+2(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P，且P在幂函数f(x)的图像上，则f(x)= x ．
【解题思路】通过与变量无关得到定点，设出f(x)解析式，求解变量即可.
【解答过程】当x=4时，y的值与a无关，且y=2，故P(4，2)，设f(x)=xm
将P(4，2)代入f(x)，解得m=12，故f(x)=x12
故答案为：x.
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数fx=x2−6x+7在1,mm>1上的最大值为A，在m,2m−1上的最大值为B，若A≥2B，则实数m的取值范围是 3−3,32 ．
【解题思路】作出f(x)的图象，分15两种情况讨论函数f(x)在1,mm>1上的最大值和在m,2m−1上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
【解答过程】由函数fx=x2−6x+7=x−32−2，作出f(x)的图象如下：
由题得：f(1)=f(3)=f(5)=2，
当11上的最大值为2，即A=2，
要使A≥2B，则B≤1，令f(x)=1，解得：x1=3−3，x2=2，x3=4，x4=3+3，
由图可得，要使函数fx=x2−6x+7在m,2m−1上的最大值为B，且B≤1，
则m≥3−32m−1≤2，或m≥42m−1≤3+3，解得：3−3≤m≤32.
当m>5时，
由图，fx=x2−6x+7在1,mm>1上最大值A=f(m)=m2−6m+7>0，
在m,2m−1上单调递增，最大值B=f(2m−1)>fm=A>0，
A≥2B不可能成立，
综上，实数m的取值范围是3−3,32，
故答案为：3−3,32.
四、解答题
15．（2024·山东·二模）已知fx是二次函数，且f1=4,f0=1,f3=4．
(1)求fx的解析式；
(2)若x∈−1,5，求函数fx的最小值和最大值．
【解题思路】（1）设二次函数为fx=ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数fx的单调区间，进而求得其最值.
【解答过程】（1）解：设二次函数为fx=ax2+bx+c,a≠0，
因为f1=4,f0=1,f3=4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=−1,b=4,c=1，
所以函数fx的解析式fx=−x2+4x+1．
（2）解：函数fx=−x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，
即函数fx=−x2+4x+1在−1,2单调递增，在2,5单调递减，
所以f(x)min=f−1=f5=−4，f(x)max=f2=5．
16．（2023·山东·一模）已知二次函数fx满足f(0)=−1，顶点为(1,−2).
(1)求函数fx的解析式；
(2)若函数fx在区间[a−1,4]上单调递增，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由二次函数fx顶点为(1,−2)可设f(x)=a(x−1)2−2，由f(0)=−1即可求出a，则求出fx的解析式.
（2）根据二次函数fx的开口和对称轴即可求得实数a的取值范围.
【解答过程】（1）设f(x)=a(x−1)2−2，
则由f(0)=−1得：a−2=−1，
∴a=1，
∴f(x)=(x−1)2−2=x2−2x−1.
（2）由（1）知f(x)=x2−2x−1，开口向上，对称轴为x=1，
则若函数fx在区间[a−1,4]上单调递增，
需满足a−1<4a−1≥1，
∴2≤a<5，
∴实数a的取值范围为2,5.
17．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数fx=xm2−2m−3m∈Z为奇函数，且在区间0,+∞上是严格减函数.
(1)求函数y=fx的表达式；
(2)对任意实数x∈12,1，不等式fx≤t+4x恒成立，求实数t的取值范围.
【解题思路】（1）根据在区间(0,+∞)上是严格减函数可得m2−2m−3<0，解不等式可得整数m的值，检验是否符合奇函数即可；
（2）对任意实数x∈[12,1]，不等式t≥x−3−4x恒成立，而g(x)=x−3−4x在[12,1]上为减函数，由此可得解．
【解答过程】（1）依题意f(x)为奇函数，在区间(0,+∞)上是严格减函数，
可得m2−2m−3<0，解得−1由于m∈Z,故m=0，1，2，
当m=0和m=2时，m2−2m−3=−3，此时f(x)=x−3为奇函数，符合要求，
当m=1时，m2−2m−3=−4，此时f(x)=x−4为偶函数，不符合要求，
f(x)=x−3；
（2）不等式f(x)≤t+4x，即t≥x−3−4x，
又f(x)=x−3在(0,+∞)上是减函数，y=4x在R上为增函数，则g(x)=x−3−4x在[12,1]上为减函数，
所以g(x)max=g(12)=6，则t≥6，
所以实数t的取值范围为[6, +∞)．
18．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数fx=m2+2m−2xm2−7（m∈Z）的定义域为R，且在0,+∞上单调递增．
(1)求m的值；
(2)∀x∈1,2，不等式afx−3x+2>0恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据幂函数的性质求解即可.
（2）首先根据题意转化为∀x∈1,2，a>3x−2x2=31x−21x2恒成立．再利用换元法求解即可.
【解答过程】（1）m2+2m−2=1⇒m=1或m=−3，
又因为函数fx在0,+∞上单调递增，
m=1，fx=x−6（舍），
m=−3，fx=x2.
（2）∀x∈1,2，ax2−3x+2>0恒成立，
∀x∈1,2，a>3x−2x2=31x−21x2恒成立．
令t=1x∈12,1，gt=3t−2t2，
则gt在区间12,34上单调递增，在区间34,1上单调递减，
gtmax=g34=98，
故a>98．
19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.
（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f(x)【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1−a)x+a≥0，按a=0与a≠0并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成(x2−x+1)a+x≥0，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为ax2+(1−a)x−1<0，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答过程】(1)依题意，fx≥−2有实数解，即不等式ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，
当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，
当a>0时，取x=0，则ax2+(1−a)x+a=a>0成立，即ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，于是得a>0，
当a<0时，二次函数y=ax2+(1−a)x+a的图象开口向下，要y≥0有解，当且仅当Δ=(1−a)2−4a2≥0⇔−1≤a≤13，从而得−1≤a<0，
综上，a≥−1，
所以实数a的取值范围是a≥−1；
(2)不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，即∀a∈[−1,1],(x2−x+1)a+x≥0，
显然x2−x+1>0，函数g(a)=(x2−x+1)a+x在a∈−1,1上递增，从而得g(−1)≥0，即−x2+2x−1≥0，解得x=1，
所以实数x的取值范围是{1}；
(3) 不等式f(x)当a=0时，x<1，
当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)<0，而−1a<0，解得−1a当a<0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)>0，
当−1a=1，即a=−1时，x∈R,x≠1，
当−1a<1，即a<−1时，x<−1a或x>1，
当−1a>1，即−1−1a，
所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)，
当a>0时，原不等式的解集为(−1a,1)，
当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(−1a,+∞)，
当a<−1时，原不等式的解集为(−∞,−1a)∪(1,+∞).
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）
2020年江苏卷：第7题，5分
2024年天津卷：第2题，5分
幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质.