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    专题2.5 对数与对数函数(举一反三)(新高考专用)(含答案) 2025年高考数学一轮复习专练(新高考专用)
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    专题2.5 对数与对数函数(举一反三)(新高考专用)(含答案) 2025年高考数学一轮复习专练(新高考专用)

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    这是一份专题2.5 对数与对数函数(举一反三)(新高考专用)(含答案) 2025年高考数学一轮复习专练(新高考专用),文件包含专题25对数与对数函数举一反三新高考专用教师版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx、专题25对数与对数函数举一反三新高考专用学生版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共36页, 欢迎下载使用。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc10486" 【题型1 对数的运算】 PAGEREF _Tc10486 \h 2
    \l "_Tc960" 【题型2 指数、对数问题的应用】 PAGEREF _Tc960 \h 3
    \l "_Tc20083" 【题型3 对数函数的图象及应用】 PAGEREF _Tc20083 \h 5
    \l "_Tc11537" 【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】 PAGEREF _Tc11537 \h 7
    \l "_Tc9540" 【题型5 解对数不等式】 PAGEREF _Tc9540 \h 9
    \l "_Tc20468" 【题型6 对数函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc20468 \h 11
    1、对数与对数函数
    【知识点1 对数运算的解题策略】
    1.对数运算的常用技巧
    (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.
    (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
    (3)指对互化:(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
    【知识点2 对数函数的常见问题及解题思路】
    1.对数函数图象的识别及应用
    (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
    (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
    2.对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略
    利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
    【题型1 对数的运算】
    【例1】(2024·河南·三模)若a≥0,b∈R,则化简2lg23+(a)2+b2的结果是( )
    A.3+a+bB.3+a+b
    C.2+a+bD.2+a+b
    【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
    【解答过程】由2lg23=3,a2=a,b2=b可知,
    2lg23+(a)2+b2=3+a+b.
    故选:B.
    【变式1-1】(2024·青海·模拟预测)若a=lg35,5b=6,则ab−lg32=( )
    A.1B.-1C.2D.-2
    【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
    【解答过程】由5b=6 ⇒ b=lg56,
    所以ab−lg32 =lg35⋅lg56−lg32 =lg35⋅lg36lg35−lg32 =lg36−lg32 =lg362 =lg33=1
    故选:A.
    【变式1-2】(2024·陕西西安·模拟预测)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c=t,那么( ).
    A.1a+1b=1cB.1b+1c=1aC.1a+1b=2cD.1a+1c=2b
    【解题思路】将指数式化为对数式,根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可.
    【解答过程】依题意设4a=6b=9c=t,则a=lg4t,b=lg6t,c=lg9t,
    所以1a=1lg4t=lgt4,1b=1lg6t=lgt6,1c=1lg9t=lgt9,
    则1a+1b=lgt4+lgt6=lgt24≠1c=lgt9,1a+1b=lgt24≠2c=2lgt9=lgt81故A,C错误;
    则1b+1c=lgt6+lgt9=lgt54≠1a=lgt4,故B错误;
    则1a+1c=lgt4+lgt9=lgt36=2lgt6=2b,故D正确.
    故选:D.
    【变式1-3】(2024·辽宁丹东·一模)若2a=3,3b=5,5c=4,则lg4abc=( )
    A.−2B.12C.22D.1
    【解题思路】根据题意,结合指数幂与对数的互化公式,结合对数的换底公式,即可求解.
    【解答过程】由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=lg23,b=lg35,c=lg54,
    所以abc=lg23×lg35×lg54=lg3lg2×lg5lg3×lg4lg5=2,则lg4abc=lg42=12.
    故选:B.
    【题型2 指数、对数问题的应用】
    【例2】(2024·四川雅安·三模)二维码与我们的生活息息相关,我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊的几何图形,即441个点.根据0和1的二进制编码规则,一共有2441种不同的码,假设我们1万年用掉3×1015个二维码,那么所有二维码大约可以用( )(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)
    A.10117万年B.10120万年C.10123万年D.10125万年
    【解题思路】利用取对数法进行化简求解即可.
    【解答过程】∵1万年用掉3×1015个二维码,
    ∴大约能用24413×1015万年,
    设x=24413×1015,则lgx=lg24413×1015=lg2441−(lg3+lg1015)=441lg2−lg3−15≈441×0.301−0.477−15≈117,
    即x≈10117万年.
    故选:A.
    【变式2-1】(2024·北京昌平·二模)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用90℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生极佳口感;在20℃室温下,茶水温度从90℃开始,经过tmin后的温度为y℃,可选择函数y=60×0.9t+20t≥0来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律,则在上述条件下,该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时,需要放置的时间最接近的是( )
    (参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)
    A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min
    【解题思路】令60×0.9t+20=60,则0.9t=23,两边同时取对将lg2≈0.30,lg3≈0.48代入即可得出答案.
    【解答过程】由题可知,函数y=60×0.9t+20t≥0,
    令60×0.9t+20=60,则0.9t=23,
    两边同时取对可得:lg0.9t=lg23,即tlg910=t2lg3−1=lg2−lg3,
    即t=lg2−lg32lg3−1≈0.30−0.482×0.48−1= min.
    故选:B.
    【变式2-2】(2024·安徽·模拟预测)科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出定律:在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pbn=lgbn+1n,如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若n=4kP10n=ln6−ln2ln2+ln5(k∈N∗,k>4),则k的值为( )
    A.11B.15C.19D.21
    【解题思路】根据条件中的概率公式,结合求和公式,以及对数运算,即可求解.
    【解答过程】n=4kP10n=lg54+lg65+lg76+...+lgk+1k=ln6−ln2ln2+ln5,
    即lgk+14=ln3ln10=lg3,则k+14=3,得k=11.
    故选:A.
    【变式2-3】(2024·全国·模拟预测)万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的,即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引,其数学表达式为F=Gm1⋅m2r2,其中F表示两个物体间的引力大小,G为引力常数,m1,m2分别表示两个物体的质量,r表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为r1,与月球的远地点间的距离为r2,地球与月球近地点间的引力大小为F1,与月球远地点间的引力大小为F2,则( )
    A.lnF1+lnr1=lnF2+lnr2B.lnF1+lnr2=lnF2+lnr1
    C.lnF1⋅lnr1=lnF2⋅lnr2D.lnF1⋅lnr2=lnF2⋅lnr1
    【解题思路】根据题意,由对数的运算代入计算,即可得到结果.
    【解答过程】由题意知,F1F2=r22r12,两边同时取对数得lnF1F2=lnr22r12,∴lnF1−lnF2=lnr22−lnr12=2lnr2−lnr1,即lnF1+lnr1=lnF2+lnr2.
    故选:A.
    【题型3 对数函数的图象及应用】
    【例3】(2024·湖北·模拟预测)函数fx=ex−e1x−lnx2的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    【解题思路】根据x<0时f(x)的单调性可排除BC;再由奇偶性可排除D.
    【解答过程】fx=ex−e1x−lnx2=ex−e1x−2ln−x,x<0ex−e1x−2lnx,x>0,
    因为当x<0时,y=ex,y=−e1x,y=−2ln−x都为增函数,
    所以,y=ex−e1x−2ln−x在(−∞,0)上单调递增,故B,C错误;
    又因为f−x=e−x−e−1x−lnx2≠−fx,
    所以fx不是奇函数,即图象不关于原点对称,故D错误.
    故选:A.
    【变式3-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数fx=x−1xlnx2,则fx的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A,再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案.
    【解答过程】因为fx的定义域为−∞,0∪0,+∞,f−x=−x−1−xln−x2=x−1xlnx2=fx,所以fx是偶函数,则其图象关于y轴对称,排除A;
    当x>1时,x−1x>0,lnx2>0,所以fx>0,当00,故排除B,C.
    故选:D.
    【变式3-2】(2024·陕西宝鸡·二模)函数fx=1+lnxex+e−x的图像大致为( )
    A.B.
    C.D.
    【解题思路】利用函数的奇偶性和特殊值判断出选项.
    【解答过程】∵f−x=1+ln−xe−x+ex=1+lnxex+e−x=fx,∴fx是偶函数,排除C,D;
    又f1=1e+1e>0,
    故选:B.
    【变式3-3】(2024·甘肃陇南·一模)函数fx=x2lnx的图像大致为( )
    A. B.
    C. D.
    【解题思路】利用函数的定义域,奇偶性及其他性质判断即可.
    【解答过程】fx=x2lnx的定义域为x|x≠0,且x≠±1,
    因为f−x=−fx,所以fx为奇函数,排除A,D,
    当x∈0,1时,fx<0,B错误,
    故选:C.
    【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】
    【例4】(2024·天津滨海新·三模)已知a=2lg20.4,b=lg0.42,c=1lg0.30.4,则( )
    A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b
    【解题思路】判断a,b,c与0和1的大小关系即可得到答案.
    【解答过程】a=2lg20.4=0.4,
    b=lg0.4⁡20=lg0.3⁡11,
    故c>a>b.
    故选:C.
    【变式4-1】(2024·天津北辰·三模)已知a=0.53.1,b=lg0.90.3,c=lg1312,则a,b,c的大小关系为( )
    A.c【解题思路】根据指、对数函数单调性,结合中间值“12,1”分析大小即可.
    【解答过程】因为y=0.5x在R上单调递减,则0.53.1<0.51=12,即a<12;
    又因为y=lg0.9x在0,+∞上单调递减,则lg0.90.3>,即b>1;
    可得c=lg1312=lg32,且y=lg3x在0,+∞上单调递增,
    则12=lg33综上所述:a故选:D.
    【变式4-2】(2024·贵州贵阳·三模)已知a=40.3,b=lg4a4,c=lg4lg4a,则( )
    A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b
    【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1,利用指对运算和指数函数单调性得到0【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=lg4a4=0.34<1,且0.34>0,则0c=lg4lg4a=lg40.3<0,
    所以a>b>c,
    故选:A.
    【变式4-3】(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x),且在区间[1,+∞)上单调递减.设a=f(−ln1.1),b=f20.4,c=flg25,则( )
    A.a>b>cB.b>c>a
    C.c>b>aD.b>a>c
    【解题思路】由f(x)=f(2−x),得到对称轴为x=1,然后求解a=f(−ln1.1)=f(2+ln1.1),进而利用fx在[1,+∞)上单调递减,比较大小,判断选项.
    【解答过程】由f(x)=f(2−x),得到对称轴为x=1,则a=f(−ln1.1)=f(2+ln1.1),
    而1<20.4<2+ln1.1<2+lg21.1=lg24.4则f20.4>f(2+ln1.1)> flg25,得b>a>c.
    故选:D.
    【题型5 解对数不等式】
    【例5】(2024·湖北·模拟预测)已知函数fx=lnx,若fa≤fa+1,则实数a的取值范围是( )
    A.5−12,1B.0,5−12C.5−12,+∞D.1,+∞
    【解题思路】结合函数y=fx的图象和函数y=fx+1的图象,由−lna1=lna1+1,找到交点横坐标,即可得解.
    【解答过程】在同一坐标系中画出函数y=fx的图象和函数y=fx+1的图象,
    设两图象交于点A,且点A的横坐标为a1.
    由图象可得满足fa≤fa+1的实数a的取值范围为a1,+∞.
    对于a1,由−lna1=lna1+1,得1a1=a1+1,
    所以a12+a1−1=0,解得a1=−1+52或a1=−1−52(舍去),
    故选:C.
    【变式5-1】(2024·全国·模拟预测)已知函数fx是定义在R上的偶函数,当x≥0时,fx=3x+2x−1,则不等式flg2x−32<0的解集为( )
    A.−∞,8B.0,8C.18,8D.0,18
    【解题思路】根据函数的单调性和奇偶性结合对数函数的单调性解不等式即可.
    【解答过程】当x≥0时,fx=3x+2x−1,
    因为函数y=3x,y=2x−1在0,+∞上都是增函数,
    所以函数fx在区间0,+∞上单调递增,且f3=33+2×3−1=32,
    又fx为R上的偶函数,
    则flg2x−32<0,即flg2x<32,即flg2x所以lg2x<3,解得18故选:C.
    【变式5-2】(2024·河南·模拟预测)“a>b”是“lna2+e>lnb2+e”的( )
    A.充要条件B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
    【解题思路】取a=1,b=−2即可说明不充分,结合对数函数单调性解不等式也可说明不必要由此即可得解.
    【解答过程】取a=1,b=−2可得lna2+e若lna2+e>lnb2+e,根据对数函数的单调性可得a2+e>b2+e,
    故a2>b2,得a>b,并不能推出a>b,所以必要性同样不成立,
    故“a>b”是“lna2+e>lnb2+e”的既不充分也不必要条件,
    故选:D.
    【变式5-3】(2024·湖南娄底·模拟预测)已知函数fx=ax+k−1a−x(a>0且a≠1)是偶函数,则关于x的不等式flgkx>a2+1a的解集是( )
    A.2,+∞B.0,12∪2,+∞
    C.12,2D.以上答案都不对
    【解题思路】根据fx是偶函数求得k=2,利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于lg2x>1,解不等式即可.
    【解答过程】∵fx是偶函数
    ∴f−x=fx,即a−x+k−1ax=ax+k−1a−x
    化简得k−2ax−a−x=0
    ∴k=2,fx=ax+a−x(a>0,a≠1)
    f'x=lnaax−a−x,
    a>1,00,
    所以fx=ax+a−x在0,+∞上是增函数
    ∴fx=ax+a−x(a>0,a≠1)为偶函数且在0,+∞上是增函数,
    ∴flgkx>a2+1a,flg2x>f1,
    即lg2x>1,即lg2x>1或lg2x<−1
    解得x>2或0故选:B.
    【题型6 对数函数性质的综合应用】
    【例6】(2023·河南洛阳·模拟预测)已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x<0时,fx=lg21+2x3−2x.
    (1)求fx的解析式;
    (2)若关于x的方程fx=k在R上有解,求实数k的取值范围.
    【解题思路】(1)根据函数奇偶性求解析式;
    (2)求函数fx的值域,即可求k的取值范围.
    【解答过程】(1)当x>0时,−x<0,
    则f−x=lg21+2−x3−2−x=lg21+2x3×2x−1,
    因为函数fx是定义在R上的奇函数,
    所以f−x=−fx,
    故fx=−lg21+2x3×2x−1=lg23×2x−11+2x,
    当x=0时,f0=0,符合上式,
    综上,所以fx的解析式为fx=lg21+2x3−2x,x<0lg23×2x−11+2x,x≥0.
    (2)当x<0时,fx=lg21+2x3−2x=lg2−1+43−2x,
    因为x<0,所以−1<−2x<0,所以13<−1+43−2x<1,
    所以−lg23由对称性可知,当x>0时,0当x=0时,f0=0,
    综上,−lg23所以实数k的取值范围是−lg23,lg23.
    【变式6-1】(2024·陕西安康·一模)已知函数f(x)=lg2ax2+4x+5.
    (1)若f(1)=3,求函数f(x)的单调区间;
    (2)是否存在实数a,使函数f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
    【解题思路】(1)利用f(1)=3求得a,结合复合函数单调性同增异减求得fx的单调区间.
    (2)根据fx的最小值为0列方程,从而求得a的值.
    【解答过程】(1)∵f(1)=3,∴a+9=23,即a=−1,
    f(x)=lg2−x2+4x+5,由−x2+4x+5>0,x2−4x−5=x−5x+1<0,
    解得−1∵函数t=−x2+4x+5在(−1,2)上单调递增,在(2,5)上单调递减,
    又∵y=lg2t在(0,+∞)上为增函数,
    ∴函数f(x)的单调递增区间为(−1,2),单调递减区间为(2,5).
    (2)设存在实数a,使函数f(x)的最小值为0,ℎ(x)=ax2+4x+5,
    ∵函数f(x)的最小值为0,∴函数ℎ(x)的最小值为1,所以a>0①,且20a−164a=1②,
    联立①②解得:a=1,
    ∴存在实数a=1,使函数f(x)的最小值为0.
    【变式6-2】(23-24高一下·广东汕头·期中)已知函数fx=2x+12x+a为奇函数.
    (1)求实数a的值;
    (2)判断函数fx的单调性(不用证明);
    (3)设函数g(x)=lg2x2⋅lg2x4+m,若对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得gx1=fx2成立,求实数m的取值范围.
    【解题思路】(1)考虑a≥0和a<0两种情况,根据奇函数性质计算得到答案.
    (2)确定定义域,设∀x1,x2∈0,+∞,且x10,得到单调性.
    (3)根据单调性确定x∈0,1时fx的值域A=3,+∞,设t=lg2x,t∈1,3,换元得到二次函数,计算gx最大值和最小值,根据值域的包含关系得到答案.
    【解答过程】(1)由已知函数需满足2x+a≠0,当a≥0时,函数的定义域为R,
    函数fx=2x+12x+a为奇函数,所以f−x=−fx,
    即2−x+12−x+a=−2x+12x+a在R上恒成立,即a+12x+1=0,a=−1(舍),
    当a<0时,x≠lg2−a,函数的定义域为−∞,lg2−a∪lg2−a,+∞,
    又函数fx=2x+12x+a为奇函数,所以lg2−a=0,a=−1,
    此时fx=2x+12x−1,函数定义域为−∞,0∪0,+∞,
    f−x=2−x+12−x−1=2x+1−2x+1=−fx,函数为奇函数,满足,
    综上所述:a=−1;
    (2)fx在−∞,0和0,+∞上单调递减,证明如下:
    fx=2x+12x−1=1+22x−1,定义域为−∞,0∪0,+∞,
    设∀x1,x2∈0,+∞,且x1则fx1−fx2=1+22x1−1−1+22x2−1=22x2−2x12x1−12x2−1
    因为x1,x2∈0,+∞,且x10,2x2−1>0,2x2−2x1>0,
    所以fx1>fx2,所以fx在0,+∞上单调递减,
    同理可证,所以fx在−∞,0上单调递减;
    所以fx在0,+∞,−∞,0上单调递减.
    (3)函数fx在−∞,0和0,+∞上单调递减,
    且当x∈−∞,0时,fx<0,当x∈0,+∞时,fx>0,
    x2∈0,1时,fx≥f1=3,所以当x∈0,1时fx的值域A=3,+∞,
    又gx=lg2x2⋅lg2x4+m=lg2x−1lg2x−2+m,x∈2,8,
    设t=lg2x,t∈1,3,则y=t−1t−2+m=t2−3t+2+m,
    当t=32时,取最小值为−14+m,当x=3时,取最大值为2+m,
    即gx在x∈2,8上的值域B=−14+m,2+m,
    又对任意的x1∈2,8,总存在x2∈0,1,使得gx1=fx2成立,
    即B⊆A,所以−14+m≥3,解得m≥134,即m∈134,+∞.
    【变式6-3】(23-24高三上·河北邢台·阶段练习)已知函数f(x)=lg19a−x2+bx,g(x)=m⋅4x−2x+2+3
    (1)若y=lggx的值域为R,求满足条件的整数m的值;
    (2)若非常数函数f(x)是定义域为−2,2的奇函数,且∀x1∈[1,2),∃x2∈[−1,1],f(x1)−g(x2)>−12,求m的取值范围.
    【解题思路】(1)根据函数y=lg[g(x)]的值域为R,可得函数g(x)的值域包含(0,+∞),再分m=0,m>0和m<0三种情况讨论,结合二次函数的性质即可得解;
    (2)根据函数的奇偶性求出函数f(x)的解析式,再根据∀x1∈[1,2),∃x2∈[−1,1],f(x1)−g(x2)>−12,则只要f(x)min+12>g(x)min即可,求出函数f(x)的最小值,再从m分情况讨论,结合二次函数的性质求出g(x)的最小值即可.
    【解答过程】(1)因为函数y=lggx的值域为R,所以函数gx的值域包含0,+∞,
    gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3,
    当m=0时,gx=−2x+2+3,其值域为−∞,3,不满足条件,
    当m≠0时,令t=2x,t∈0,+∞,则函数y=mt2−4t+3的对称轴为t=2m,
    当m>0时,ymin=m⋅2m2−4⋅2m+3=3−4m,即gx的值域为3−4m,+∞,
    所以3−4m≤0m>0,解得0当m<0时,2m<0,则函数y=mt2−4t+3的值域为−∞,3,即函数gx的值域为−∞,3,不满足条件,
    综上所述,0(2)因为函数fx是定义域为−2,2的奇函数,
    所以f0=0f−1=−f1,即lg19a2=0lg19a+12−b=−lg19a−12+b,解得a=2b=1或a=2b=−1,
    由函数fx不是常数函数,所以a=2b=1,
    经检验,符合题意,即fx=lg192−x2+x,
    由∀x1∈1,2,∃x2∈−1,1,fx1−gx2>−12,
    得∀x1∈1,2,∃x2∈−1,1,fx1+12>gx2,
    只要fxmin+12>gxmin即可,
    当x∈1,2时,2−x2+x=4−2+x2+x=42+x−1∈0,13,
    所以函数fxmin=lg1913=12,则fxmin+12=1,
    gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3,
    令n=2x,因为x∈−1,1,所以n∈12,2,
    函数y=m⋅n2−4n+3,n∈12,2,
    当m=0时,y=−4n+3,n∈12,2,则n=2时,ymin=−5<1恒成立,符合题意;
    当m≠0时,函数y=m⋅n2−4n+3,n∈12,2的对称轴为n=2m,
    当m<0时,则n=2时,ymin=4m−5<0恒成立,符合题意;
    当0<2m≤12,即m≥4时,则n=12时,ymin=14m+1,所以m≥414m+1<1,不等式组无解;
    当2m≥2,即0当12<2m<2,即1综上所述,m的取值范围为−∞,2.
    一、单选题
    1.(2024·广东·二模)已知正实数m,n满足12lnm=lnm−2n−12lnn,则nm=( )
    A.1B.14C.4D.1或14
    【解题思路】利用对数运算法则化简等式,列出关于nm的方程求解即得.
    【解答过程】由12lnm=lnm−2n−12lnn,得lnmn=lnm−2n,因此mn=m−2n>0,
    整理得2(nm)2+nm−1=0,解得nm=12,即nm=14,经检验符合题意,
    所以nm=14.
    故选:B.
    2.(2024·四川·模拟预测)若实数m,n,t满足5m=7n=t且1m+1n=2,则t=( )
    A.23B.12C.5D.35
    【解题思路】根据指对数的互化可得m=lg5t,n=lg7t,代入1m+1n=2,即可计算得到t的值.
    【解答过程】因为5m=7n=t且1m+1n=2,易知t>0且t≠1,
    所以m=lg5t,n=lg7t,
    所以1m=lgt5,1n=lgt7,
    所以1m+1n=lgt5+lgt7=lgt35=2,则t=35.
    故选:D.
    3.(2024·上海·三模)已知函数f(x)=1+lga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n),则m+n=( )
    A.1B.2C.3D.4
    【解题思路】令2x−3=1,即可求解f(x)恒过定点(2,1),进而求解.
    【解答过程】令2x−3=1,解得x=2,此时f(2)=1+lga1=1,
    所以f(x)恒过定点(2,1),则m=2,n=1,
    所以m+n=3.
    故选:C.
    4.(2024·江西鹰潭·模拟预测)19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后,物理学家本·福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出本·福特定律,即在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pbn=lgbn+1n,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律,后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若n=k2024P10n=lg29−lg231+lg25(k∈N*,k≤2024),则k的值为( )
    A.674B.675C.676D.677
    【解题思路】结合条件及对数的运算法则计算即可.
    【解答过程】n=k2024P10n=P10k+P10k+1+⋯+P102024=lgk+1k+lgk+2k+1+⋯+lg20252024=lg2025k,lg29−lg231+lg25=lg23lg210=lg3,故k=675.
    故选:B.
    5.(2024·宁夏石嘴山·模拟预测)已知a=lg56,b=lg28,c=e,则a,b,c大小关系为( )
    A.a【解题思路】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断a,b,c的范围,即可比较a,b,c的大小.
    【解答过程】因为c=e>94=32,b=lg28=lg2232=32,
    a=lg56=lg536所以a故选:A.
    6.(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数fx=−14x−4,x≤34lga(4x)−1,x>34是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( )
    A.0,1B.1,3C.1,3D.1,3
    【解题思路】根据题意,结合分段函数的单调性的判定方法,结合对数函数的性质,列出关于a的不等式,即可求解.
    【解答过程】根据题意,当x≤34时,fx=−14x−4=−14x−1,可得fx在−∞,34上递增,
    要使得函数fx=−14x−4,x≤34lga(4x)−1,x>34 是R上的单调函数,
    则满足a>1,且lga4×34−1≥−14×34−4,解可得1所以实数a的取值范围为1,3.
    故选:B.
    7.(2024·广西·模拟预测)已知函数fx=1−22x1+22x,gx=lg2x,如图为函数ℎx的图象,则ℎx可能为( )
    A.ℎx=fx+gxB.ℎx=fx−gx
    C.ℎx=fxgxD.ℎx=fxgx
    【解题思路】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可;
    【解答过程】依题意可知,函数fx的定义域为R,f−x=1−2−2x1+2−2x=1−122x1+122x=22x−122x22x+122x=22x−122x+1=−fx,
    所以函数fx为奇函数.
    函数gx的定义域为xx≠0,g−x=lg2−x=gx,
    所以函数gx为偶函数.
    对于A,ℎx=fx+gx的定义域为{x|x≠0},ℎx既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;
    对于B,函数ℎx=fx−gx的定义域为{x|x≠0},ℎx既不是奇函数也不是偶函数,故B错误;
    对于C,函数ℎx=fxgx的定义域为{x|x≠0},ℎ−x=−ℎx,所以ℎx为fx奇函数,故C正确;
    对于D,函数ℎx=fxgx的定义域为{x|x≠0且x≠±1},故D错误;
    故选:C.
    8.(2024·江西·二模)已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx,当0fa,则实数a的取值范围是( )
    A.−52+4k,−32+4k,k∈ZB.−1+4k,4k,k∈Z
    C.−12+4k,12+4k,k∈ZD.−32+4k,12+4k,k∈Z
    【解题思路】依题意可得fx的奇偶性、对称性与周期性,即可得到fx的图象,即可得到−12+4k【解答过程】因为f−x=−fx,所以fx为奇函数;
    又因为fx+2=f−x,所以fx关于直线x=1对称;
    由fx+4=−fx+2=fx知fx的一个周期为4.
    因为当0函数fx的图象如图所示,
    根据图象可知,若fa+1>fa,则−12+4k解得−32+4k所以实数a的取值范围是−32+4k,12+4k,k∈Z.
    故选:D.
    二、多选题
    9.(2024·全国·模拟预测)已知a=lg49,b=12lg35,则( )
    A.11C.a+b>2D.2【解题思路】对A:使用换底公式化简可判断a的范围;对B:使用换底公式化简证明;对C:根据基本不等式证明;对D:根据函数y=x+1x在32,+∞上的单调性判断.
    【解答过程】选项A:a=lg49=lg2232=lg32lg22=lg23>lg28=lg2232=32,故A错误.
    选项B:ab=lg49×12lg35=lg23×lg35=lg3lg2⋅lg5lg3=lg25>1,故B正确.
    选项C:a+b>2ab>2,(a>32,b=lg35<1,所以a≠b,所以不能取等号),故C正确.
    选项D:易知函数y=x+1x在32,+∞上单调递增,所以a+1a>136,故D错误.
    故选:BC.
    10.(2024·河南·三模)已知函数fx=lg1−x,则( )
    A.fx的定义域为−∞,1
    B.fx的值域为R
    C.f−1+f−4=1
    D.y=fx2的单调递增区间为0,1
    【解题思路】根据函数的解析式,求出函数的定义域值域即可判断A、B,求出f−1+f−4利用对数运算法则即可求解C,根据复合函数的单调性即可判断D.
    【解答过程】对AB,由1−x>0,得x<1,则fx的定义域为−∞,1,值域为R,A,B均正确;
    对C,f−1+f−4=lg2+lg5=lg10=1,C正确;
    对D,因为fx2=lg1−x2,所以y=lgu,外层函数为增函数,
    u=1−x2,令1−x2>0,所以函数定义域为−1,1,
    内层函数u=1−x2,在−1,0上单调递增,0,1上单调递减,
    所以y=fx2的单调递增区间为−1,0不是0,1,D错误.
    故选:ABC.
    11.(2024·河南·一模)定义在R上的函数f(x)=lga(1+b2x2+bx)(a>0且a≠1,b≠0),若存在实数m使得不等式f(−m+m2+12)+f(−m)≥0恒成立,则下列叙述正确的是( )
    A.若a>1,b>0,则实数m的取值范围为−2,2
    B.若0C.若a>1,b<0,则实数m的取值范围为−∞,−2∪2,+∞
    D.若00,则实数m的取值范围为2,+∞
    【解题思路】先判断函数f(x)=lga(1+b2x2+bx)为奇函数,再分a>1和00和b<0讨论函数t=1+b2x2+bx的单调性,根据复合函数的单调性判断得出f(x)的单调性,利用单调性将f(−m+m2+12)+f(−m)≥0进行等价转化成含参数m的不等式,求解即得.
    【解答过程】对于函数f(x)=lga(1+b2x2+bx),因f(x)+f(−x)=lga(1+b2x2+bx)+lga(1+b2x2−bx) =lga[(1+b2x2+bx)(1+b2x2−bx)]=0,则函数f(x)是奇函数.
    不妨设t=1+b2x2+bx,则y=lgat,
    对于A项,当a>1时,y=lgat在定义域内为增函数,
    因b>0,则t=1+b2x2+bx在R上也是增函数,故f(x)=lga(1+b2x2+bx)在R上也是增函数.
    由f(−m+m2+12)+f(−m)≥0⇔f(−m+m2+12)≥−f(−m)=f(m),则−m+m2+12≥m,即m2+12≥2m(*),
    ①当m≤0时,此时恒成立;② 当m>0时,由(*)可得m2+12≥4m2,解得−2≤m≤2,综上可知,m∈(−∞,2],故A项错误;
    对于B项,当0由A项分析可得,f(−m+m2+12)+f(−m)≥0恒成立可得,m∈(−∞,2],故B项正确;
    对于C项,当a>1时,y=lgat在定义域内为增函数,因b<0,则t=1+b2x2+bx在R上是减函数,故f(x)=lga(1+b2x2+bx)在R上是减函数,
    由f(−m+m2+12)+f(−m)≥0⇔f(−m+m2+12)≥−f(−m)=f(m),则−m+m2+12≤m,即m2+12≤2m(*),
    ①当m≤0时,无解;② 当m>0时,由(*)可得m2+12≤4m2,解得m≤−2或m≥2,综上可知,m∈[2,+∞),故C项错误;
    对于D项,当00,则t=1+b2x2+bx在R上也是增函数,故f(x)=lga(1+b2x2+bx)在R上是减函数,
    由C项分析可得,f(−m+m2+12)+f(−m)≥0恒成立可得,m∈[2,+∞),故D项正确.
    故选:BD.
    三、填空题
    12.(2024·上海·模拟预测)已知正实数a,b满足lgab+lgba=52,aa=bb,则a+b= 34 .
    【解题思路】令t=lgab,则由lgab+lgba=52可得t+1t=52,从而可求出t的值,再结合aa=bb求出a,b,即可得解.
    【解答过程】令t=lgab,则lgba=1t,
    由lgab+lgba=52,得t+1t=52,
    所以2t2−5t+2=0,解得t=12或t=2,
    所以lgab=12或lgab=2,
    所以a12=b或a2=b,
    当a12=b时,则a=b2,
    由aa=bb,得b2a=b2a=bb,所以2a=b,
    由2a=ba=b2,又a>0,解得a=14b=12,
    所以a+b=34;
    当a2=b时,由aa=bb,得aa=a2b=a2b,所以a=2b,
    由a=2ba2=b,又a>0,解得a=12b=14,
    所以a+b=34,
    综上所述,a+b=34.
    故答案为:34.
    13.(2024·吉林·模拟预测)若函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围为 −12,0 .
    【解题思路】根据题意,设t=ax+1,则y=lnt,利用复合函数的单调性,可得t=ax+1在(1,2)上为减函数,且t>0恒成立,结合一次函数的性质分析可得答案.
    【解答过程】解:根据题意,设t=ax+1,则y=lnt,若函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减,
    利用复合函数的单调性,可得t=ax+1在(1,2)上为减函数且t>0恒成立,
    即a<02a+1≥0,解得−12≤a<0,即a的取值范围为−12,0.
    故答案为:−12,0.
    14.(2024·陕西西安·模拟预测)函数y=lgax+ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点k,b,若m+n=b−k且m>0,n>0,则9m+1n的最小值为 8 .
    【解题思路】先求出函数过定点的坐标,再利用基本不等式求最值.
    【解答过程】因为a0=1,lga1=0(a>0且a≠1),
    所以函数y=lgax+ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点1,3,
    所以m+n=3−1=2,
    所以29m+1n=(m+n)(9m+1n)=10+9nm+mn≥10+29=16,
    ∴29m+1n≥16,∴9m+1n≥8,当且仅当9nm=mn,即n=12,m=32等号成立,
    即9m+1n的最小值为8.
    故答案为:8.
    四、解答题
    15.(2023·江苏连云港·模拟预测)计算:
    (1)2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748;
    (2)lg23⋅lg34+lg52+lg5⋅lg20+12lg16−2lg23.
    【解题思路】(1)根据指数幂的运算法则直接化简求解即可;
    (2)根据对数运算法则直接化简求解即可.
    【解答过程】(1)2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748=25912+102+276423−3+3748 =53+100+916−3+3748=3+97=100.
    (2)lg23⋅lg34+lg52+lg5⋅lg20+12lg16−2lg23 =lg3lg2⋅lg4lg3+lg5⋅lg5+lg20+2lg2−3 =2+lg5⋅lg100+2lg2−3=2+2lg5+lg2−3=2+2−3=1.
    16.(2023·吉林长春·模拟预测)(1)求值:(32×3)6+(22)43−4×1649−12−42×80.25−(−2023)0;
    (2)已知lgx+lgy=2lg(x−2y),求lg2xy的值.
    【解题思路】(1)化简即可求出该式子的值;
    (2)解对数方程求出xy,即可得出lg2xy的值.
    【解答过程】(1)由题意,
    (32×3)6+(22)43−4×1649−12−42×80.25−(−2023)0
    =22×33+(232)43−4×74−214×23×14−1
    =108+2−7−2−1
    =100
    (2)由题意,
    在lgx+lgy=2lg(x−2y)中,
    x>0y>0x−2y>0xy=x−2y2,xy=x−2y2化简得x2−5xy+4y2=0,
    两边同除y2得xy2−5xy+4=0,解得:xy=4或1(舍),
    ∴lg2xy=lg24=4.
    17.(2023·湖南岳阳·模拟预测)已知函数fx=−lg2x2+mlg4x+2 (2≤x≤16),且函数f(x)的图象经过点4,6.
    (1)求实数m的值;
    (2)求函数fx的最小值和最大值.
    【解题思路】(1)将点4,6代入函数f(x)的解析式,求实数m的值即可;
    (2)将函数fx的解析式经过变量代换,转化为一元二次函数形式,求最值即可;
    【解答过程】(1)由题意,将点4,6代入函数f(x)的解析式,
    得:−lg242+mlg44+2=6,即−4+m+2=6,解得m=8.
    (2)由换底公式得:lg4x=lnxln4=lnx2ln2=12×lnxln2=12lg2x,
    所以函数fx=−lg2x2+4lg2x+2=−lg2x−22+6,
    令t=lg2x,因为2≤x≤16,所以1≤t≤4.
    设ℎt=−(t−2)2+6,t∈1,4,
    显然函数ℎt在区间1,2上单调递增,在区间2,4上单调递减,
    所以ℎ(t)max=ℎ2=6,ℎ(t)min=ℎ4=2,
    即函数fx的最小值为2,最大值为6.
    18.(2024·陕西榆林·一模)已知fx是定义在R上的偶函数,且x≤0时,fx=lg12−x+1.
    (1)求fx的解析式;
    (2)若fa−1−f1<0,求实数a的取值范围.
    【解题思路】(1)当x>0时,可将−x代入解析式,结合偶函数定义可得此时fx的解析式,由此可得fx解析式;
    (2)由复合函数单调性判断方法判断函数fx在0,+∞上的单调性,结合偶函数性质利用单调性化简不等式求得结果.
    【解答过程】(1)因为fx是定义在R上的偶函数,
    所以f−x=fx,
    令x>0,则−x<0,f−x=lg12x+1
    ∴x>0时,fx=f−x=lg12x+1,
    则fx=lg12x+1,x>0lg12−x+1,x≤0.
    (2)因为x>0时,fx=lg12x+1,
    又函数y=lg12x+1,x>0由函数t=x+1,x>0与函数y=lg12t,t>1复合而成,
    函数t=x+1在0,+∞上单调递增,
    函数y=lg12t在1,+∞上单调递减,
    所以函数y=lg12x+1在0,+∞上单调递减,
    故函数fx在0,+∞上单调递减,
    ∵fx是定义在R上的偶函数,所以fa−1=fa−1,
    所以不等式fa−1−f1<0,可化为fa−1∴a−1>1,
    ∴a>2或a<0.
    19.(23-24高三上·全国·阶段练习)已知函数f(x)=lg22x+1+ax是偶函数.
    (1)求a的值;
    (2)设g(x)=f(x)+x ,ℎ(x)=x2−2x+m,若对任意的x1∈0,4 ,存在x2∈0,5,使得gx1≥ℎx2,求m的取值范围.
    【解题思路】(1)由偶函数的性质即可求解a的值;
    (2)由题意可得gx在0,4上的最小值不小于ℎx在0,5上的最小值,分别求出gx和ℎx的最小值,即可求解.
    【解答过程】(1)因为f(x)=lg22x+1+ax是偶函数,
    所以f(−x)=f(x),
    即lg22−x+1−ax=lg22x+1+ax,
    lg22x+1−lg22−x+1+2ax=0,
    lg22x+1−lg212x+1+2ax=0,
    lg22x+1−lg21+2x2x+2ax=0,
    lg22x+11+2x2x+2ax=0,
    lg22x+2ax=0,
    x+2ax=0,
    1+2ax=0,
    所以1+2a=0,即a=−12.
    (2)g(x)=lg22x+1+12x,
    因为对任意的x1∈0,4 ,存在x2∈0,5,使得gx1≥ℎx2,
    所以gx在0,4上的最小值不小于ℎx在0,5上的最小值,
    因为g(x)=lg22x+1+12x在0,4上单调递增,
    所以gxmin=g0=1,
    因为ℎ(x)=x2−2x+m=x−12+m−1,
    所以ℎx在0,1上单调递减,在1,5上单调递增,
    所以ℎxmin=ℎ1=m−1,
    所以1≥m−1,解得m≤2,
    所以m的取值范围为(−∞,2].
    考点要求
    真题统计
    考情分析
    (1)理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
    (2)通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点
    (3)了解指数函数(a>0且a≠1)与对数函数(a>0且a≠1)互为反函数
    2022年天津卷:第6题,5分
    2022年浙江卷:第7题,5分
    2022年新课标I卷:第7题,5分
    2023年北京卷:第4题,5分
    2024年新课标I卷:第6题,5分
    2024年北京卷:第7题,5分
    对数函数是常见的重要函数,对数与对数函数是高考常考的热点内容,从近几年的高考形势来看,对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查,主要以基本函数的性质为依托,结合指、对数运算性质,运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题,包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.
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