专题3.3 导数与函数的极值、最值（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc10974" 【题型1 根据函数图象判断极值】 PAGEREF _Tc10974 \h 2
\l "_Tc7094" 【题型2 求已知函数的极值】 PAGEREF _Tc7094 \h 3
\l "_Tc17961" 【题型3 根据极值（点）求参数】 PAGEREF _Tc17961 \h 4
\l "_Tc15690" 【题型4 求不含参函数的最值】 PAGEREF _Tc15690 \h 4
\l "_Tc27689" 【题型5 求含参函数的最值】 PAGEREF _Tc27689 \h 5
\l "_Tc31671" 【题型6 已知函数最值求参数】 PAGEREF _Tc31671 \h 6
\l "_Tc11706" 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 PAGEREF _Tc11706 \h 6
1、导数与函数的极值、最值
【知识点1 函数的极值问题的求解思路】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列
方程组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【知识点2 函数的最值问题的解题策略】
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值
就是最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1 根据函数图象判断极值】
【例1】（2024·云南楚雄·一模）若a>b，则函数y=ax−a(x−b)2的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
【变式1-1】（2024·四川广安·二模）已知函数fx=ax+1ex，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数fx的大致图象的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是y=fx的导函数f′x的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=−1时，fx取得极大值B．fx在−2,1上是增函数
C．当x=1时，fx取得极大值D．fx在−1,2上是增函数，在2,4上是减函数
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）函数fx=axm3−xn在区间0,3上的图像如图，则m，n的值可能是（ ）
A．m=2，n=2B．m=2，n=1C．m=1，n=2D．m=1，n=1
【题型2 求已知函数的极值】
【例2】（2024·浙江·模拟预测）函数fx=x−2ex−e2x−2的极小值为（ ）
A．e2−2B．−2e2−2C．2−2e2D．−2−e2
【变式2-1】（2024·宁夏银川·一模）若函数f(x)=x2−ax−2ex在x=−2处取得极大值，则f(x)的极小值为（ ）
A．−6e2B．−4eC．−2e2D．−e
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=4xex−e2x−2ex，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)=f′(x)ex，则（ ）
A．g(x)的极大值为4e2−2，无极小值
B．g(x)的极小值为4e2−2，无极大值
C．g(x)的极大值为4ln2−2，无极小值
D．g(x)的极小值为4ln2−2，无极大值
【变式2-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，且f′x−fx=x2e2x,f0=0，则fx（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点D．最多有一个极大值点，无极小值点
【题型3 根据极值（点）求参数】
【例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数f(x)=ex−ax2在R上无极值，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,e2B．−∞,e2C．[0,e)D．0,e2
【变式3-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数fx=x3+ax2+bx+a2在x=−1处有极值8，则f1等于（ ）
A．−4B．16C．−4或16D．16或18
【变式3-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数fx=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,0B．0,+∞C．−∞,−23D．−23,+∞
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=asinx+csxex+x在0,π上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,22eπ4B．−∞,eπC．0,eπD．22eπ4,+∞
【题型4 求不含参函数的最值】
【例4】（2024·陕西西安·二模）函数f(x)=xx2+1在[−3,3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．613,−613B．25,−25C．310,−310D．12,−12
【变式4-1】（2024·宁夏固原·一模）函数fx=sinx−x+2csx−1在区间0,2π上的最小值、最大值分别为（ ）
A．−2π−3,π+1B．−2π−3,−3C．−3,π+1D．−3,2
【变式4-2】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．12B．e24C．e22D．e2
【变式4-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数fx=a2x2−xlnx−b−1,a,b∈R，且fx在区间0,+∞上单调递增，则2a+b的最小值为（ ）
A．0B．1eC．ln2D．-1
【题型5 求含参函数的最值】
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xeax（a>0）.
(1)求fx在区间−1,1上的最大值与最小值；
(2)当a≥1时，求证：fx≥lnx+x+1.
【变式5-1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数fx=alnx−2x−a2xa≠0.
(1)当a=1时，求fx的单调区间和极值；
(2)求fx在区间0,1上的最大值.
【变式5-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数fx=ax−ex+1．
(1)求函数y=fx的最值；
(2)若a=3，设曲线y=fx与x轴正半轴的交点为P，该曲线在点P处的切线方程为y=gx，求证：∀x∈R,fx≤gx；
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）已知函数fx=ax−xlnx．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在e,fe处的切线方程；
(2)讨论fx在1,e上的最大值；
(3)是否存在实数a，使得对任意x>0，都有fx≤a？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由．
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数fx=xex+a在区间0,1上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【变式6-1】（2023·四川宜宾·三模）若函数fx=x−m2−2,x<02x3−3x2,x≥0的最小值是−2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<0B．m≤0C．m>0D．m≥0
【变式6-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知fx=2x3−6x2+m（m为常数）在−2,2上有最大值3，则函数fx在−2,2上的最小值为（ ）
A．−3B．−5C．−37D．−39
【变式6-3】（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数fx=x3−ax2+3x在R上单调递增，且gx=x+a2x在区间1,2上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．3,4B．2,3C．3,4D．2,3
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】
【例7】（2024·四川成都·二模）已知函数fx=x+alnx的导函数为f′x．
(1)当a=1时，求f′x的最小值；
(2)若fx存在两个极值点，求a的取值范围．
【变式7-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数fx=lnx+x+2x．
(1)求函数y=fx的单调区间；
(2)设函数ℎx=exx−t⋅fx，若y=ℎx恰有两个极值点，求实数t的取值范围．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）设函数fx=x2−2ax+lnxa∈R.
(1)当a=32时，求fx的极值点；
(2)当2【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax2−lnx2a∈R．
(1)当a=1时，讨论函数fx的单调性．
(2)若fx有两个极值点x1,x2．
①求实数a的取值范围；
②求证：x1x2>e．
一、单选题
1．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线y=kx+m与函数y=f(x),x∈0,+∞的图象相切于两点，则函数y=fx−kx有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点
2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数f(x)=ex−alnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最大值（ ）
A．e2B．e−1C．eD．2e2
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx=asinx+csxex+x在0,π上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,eπ22B．0,22eπ4C．eπ22,+∞D．22eπ4,+∞
4．（2024·陕西安康·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为27cm3的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）
A．4cm3B．8cm3C．12cm3D．16cm3
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数fx=e2x+x−2aex+a2a∈R的最小值为ga，则ga的最小值为（ ）
A．−eB．−1eC．0D．1
6．（2024·福建泉州·一模）已知x1,x2，是函数f(x)=(x−1)3−x两个极值点，则（ ）
A．x1+x2=−2B．x1+x2=1C．fx1+fx2=−2D．fx1+fx2=2
7．（2024·广东深圳·二模）设函数fx=x+ex，gx=x+lnx，若存在x1，x2，使得fx1=gx2，则x1−x2的最小值为（ ）
A．1eB．1C．2D．e
8．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数fx=xx，x∈0,+∞，则下列命题不正确的是（ ）
A．fx有且只有一个极值点B．fx在1e+∞上单调逆增
C．存在实数a∈0,+∞，使得fa=1eD．fx有最小值1e1e
二、多选题
9．（2024·重庆·三模）若函数fx=alnx−2x2+bx既有极小值又有极大值，则（ ）
A．ab<0B．a<0C．b2+16a>0D．a−b<4
10．（2024·浙江杭州·三模）已知函数fx=x+1ex，则下列结论正确的是（ ）
A．fx在区间−2,+∞上单调递增B．fx的最小值为−1e2
C．方程fx=2的解有2个D．导函数f′x的极值点为−3
11．（2024·黑龙江·三模）已知函数f(x)=excsx，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的图象在点π2,fπ2处的切线在y轴上的截距为π2eπ2
B．f(x)在−π4,0上为增函数
C．f(x)在−π2,π2上的最大值为22eπ4
D．若f(x)在−m,m内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为17π4,21π4
三、填空题
12．（2024·上海·三模）若函数fx=−4x3+3x在a,a+2上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=(x−a)x+lnx在(0,+∞)上无极值点，则a的取值范围为 .
14．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数fx=1elnx,x∈0,+∞ln1−x,x∈−∞,0，则下列命题中正确的有 ．
①函数f(x)有两个极值点；
②若关于x的方程f(x)=t恰有1个解，则t>1；
③函数f(x)的图像与直线x+y+c=0(c∈R)有且仅有一个交点；
④若fx1=fx2=fx3，且x1四、解答题
15．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数fx=12x2+1−ax−alnxa∈R．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)当a>0时，求函数fx在区间1,e上的最大值．
16．（2024·河北石家庄·三模）已知函数fx=12x2−a+1x+alnxa>0．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a=2时，若函数gx=fx−12x2+ex−1，求函数gx极值点的个数．
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=ax−lnx−a，若f(x)的最小值为0，
(1)求a的值;
(2)若g(x)=xf(x)，证明:g(x)存在唯一的极大值点x0，且gx0<14.
18．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=x2e−x−ax2−4x在定义域0,+∞上仅有1个极大值点.
(1)求a的取值范围；
(2)若fx1=fx2,14.
19．（2024·天津河北·二模）已知a>0，函数fx=alnx−lnx+1.
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)当0（ⅰ）求fx的单调区间和极值；
（ⅱ）设fx的极大值为ga，求ga的最小值；
(3)设n∈N+，且n≥2，求证：1n2n23n3⋯n−1nn−1>2−n22.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件
(2)会用导数求函数的极大值、极小值
(3)掌握利用导数研究函数最值的方法
(4)会用导数研究生活中的最优化问题
2022年新课标I卷：第10题，5分
2023年新课标I卷：第11题，5分
2023年新课标Ⅱ卷：第11题，5分
2024年新课标I卷：第10题，6分
2024年新课标Ⅱ卷：第11题，6分、第16题，15分
导数与函数是高中数学的核心内容，高考对最值、极值的考查相对稳定，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大，复习时需要加强练习.