专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc1069" 【题型1 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Tc1069 \h 4
\l "_Tc19461" 【题型2 空间共线向量定理的应用】 PAGEREF _Tc19461 \h 6
\l "_Tc6756" 【题型3 空间向量数量积及其应用】 PAGEREF _Tc6756 \h 8
\l "_Tc17277" 【题型4 空间向量基本定理及其应用】 PAGEREF _Tc17277 \h 11
\l "_Tc14786" 【题型5 证明三点共线、四点共面】 PAGEREF _Tc14786 \h 14
\l "_Tc14263" 【题型6 空间向量的坐标运算】 PAGEREF _Tc14263 \h 17
1、空间向量的概念与运算
【知识点1 空间向量的有关概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
2．共线向量定理
(1)共线向量定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【知识点3 空间向量的数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【知识点4 空间向量基本定理及其应用】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【知识点5 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【方法技巧与总结】
1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.
【题型1 空间向量的线性运算】
【例1】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB−AD+CC1=（ ）
A．BD1B．DB1C．AC1D．CA1
【解题思路】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【解答过程】由长方体的结构特征，有CC1=BB1，
则AB−AD+CC1=DB+CC1=DB+BB1=DB1.
故选：B.
【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“AD=AB+AC”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解题思路】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.
【解答过程】由 AD=AB+AC⇒AD−AB=AC⇒BD=AC，
当“A、B、C、D四点在同一条直线上时， A, B, C, D四点不共圆，
若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足AD=AB+AC，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时AD≠AB+AC.
故选: D.
【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体ABCD中，G是BD的中点，则CA+12AB+AD=（ ）
A．AGB．CGC．BGD．CB
【解题思路】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解.
【解答过程】因为四面体ABCD中，G是BD的中点，
所以CA+12AB+AD=CA+AG=CG.
故选：B.
【变式1-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CM=MD1，CQ=4QA1，则（ ）
A．AM=13AB+23AD+AA1B．AM=12AB+13AD+12AA1
C．AQ=14AB+14AD+34AA1D．AQ=15AB+15AD+45AA1
【解题思路】借助空间向量的线性运算计算即可得.
【解答过程】AM=AB+BC+CM=AB+AD+12CD+CC1
=AB+AD−12AB+12AA1=12AB+AD+12AA1，故A、B错误；
AQ=AA1+A1Q=AA1+15A1C=AA1+15A1D1+D1C1+C1C
=AA1+15AD+AB−AA1=15AB+15AD+45AA1，故C错误、D正确.
故选：D.
【题型2 空间共线向量定理的应用】
【例2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据向量共线设AB=xBC，从而得到方程组，求出λ=1μ=1，得到答案.
【解答过程】因为A,B,C三点共线，所以AB=xBC，
即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3，故x=1xλ=1xμ=1，解得λ=1μ=1，
所以λ+μ=1+1=2.
故选：C.
【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC=5MA−3MB，那么必有（ ）
A．MA,MC共线B．MB,MC共线
C．MA,MB,MC共面D．MA,MB,MC不共面
【解题思路】利用空间向量的共线定理与共面定理.
【解答过程】若MA,MC共线，则MC=λMAλ∈R，
又MC=5MA−3MB⇒λMA=5MA−3MB⇒5−λ3MA=MB，则MA,MB共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若MB,MC共线，则MC=λMBλ∈R，
又MC=5MA−3MB⇒λMB=5MA−3MB⇒λ+35MB=MA，则MA,MB共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知MA,MB,MC共面，即C正确，D错误.
故选：C.
【变式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB与向量BC共线，则m的值为（ ）
A．0B．12C．1D．32
【解题思路】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.
【解答过程】根据题意：AB=1,2,2，BC=m−1,n−2,−1，
AB与BC共线，所以BC=λAB⇔m−1,n−2,−1=λ1,2,2，
可得λ=−12，m=12．
故选：B.
【变式2-3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（ ）
A．12B．23C．34D．45
【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.
【解答过程】如图：连接DG交BC于H，则H为BC中点，连接AH,EH,AG,
因为AG⊂平面AHD，EH⊂平面AHD，设AG∩EH=K，则K∈EH,K∈AG，
又EH⊂平面BCE，所以K∈平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点，
又因为AG与平面BCE交于点F，所以F与K重合，
又E为AD的中点，G为平面BCD的重心，
因为点A，F，G三点共线，则AF=mAG=mAD+DG=mAD+23DH
=mAD+23×DB+DC2=mAD+13×AB−AD+AC−AD
=13mAD+AB+AC
又因为点E，F，H三点共线，则AF=xAH+yAE,x+y=1，
AF=xAH+yAE=x2AB+AC+y2AD,
所以m3=x2x+y=1m3=y2，解得m=34，即AF=34AG，故AFAG=34.
故选：C.
【题型3 空间向量数量积及其应用】
【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则AC⋅BD的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【解题思路】根据空间数量积的运算律计算可得.
【解答过程】因为AC=AB+BC，BD=BC+CD，
所以AC⋅BD=AB+BC⋅BC+CD=AB⋅BC+AB⋅CD+BC2+BC⋅CD
=16+AB⋅BC+AB⋅CD+BC⋅CD，
又AB+BC+CD=AD，所以AB+BC+CD2=AD2，
即AB2+BC2+CD2+2AB⋅BC+2AB⋅CD+2BC⋅CD=AD2，
即32+42+52+2AB⋅BC+2AB⋅CD+2BC⋅CD=62，
所以AB⋅BC+AB⋅CD+BC⋅CD=−7，
所以AC⋅BD=9.

故选：B.
【变式3-1】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（ ）
A．[0,2]B．[4−23,2]C．[0,4−3]D．[0,4−23]
【解题思路】根据给定条件，利用体积法求出球O半径，再利用向量数量积的运算律计算即得.
【解答过程】令H是正四棱锥P−ABCD底面正方形中心，则PH⊥平面ABCD，而AH=2，
则PH=PA2−AH2=2，正四棱锥P−ABCD的体积V=13×22×2=423，
正四棱锥P−ABCD的表面积S=4×34×22+22=4(3+1)，
显然球O的球心O在线段PH上，设球半径为r，则V=13Sr，即r=3VS=6−22，
在△POA中，∠PAO<45∘=∠APO，于是OA>OP，又EF是球O的一条直径，
因此QE⋅QF=(QO+OE)⋅(QO−OE)=QO2−OE2=QO2−OH2，
显然OH≤QO≤AO，则(QE⋅QF)min=0，(QE⋅QF)max=AO2−OH2=AH2=2，
所以QE⋅QF的取值范围为[0,2].
故选：A.
【变式3-2】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．−94B．−32C．−2D．−1
【解题思路】由PA⋅PB=OA−OP⋅OB−OP=OP2−32，OP最小时，PA⋅PB有最小值，求OP的最小值即可.
【解答过程】圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，
则有OA=−OB，OA=OB=3，
点P在圆锥MO的侧面上运动，
则PA⋅PB=OA−OP⋅OB−OP=OA⋅OB−OA+OB⋅OP+OP2=OP2−32，
OP最小时，PA⋅PB有最小值，OP的最小值为O点到圆锥母线的距离，
Rt△MOA中，OA=3，OM=1，则AM=2，O点到MA的距离OD=OA⋅OMAM=32，
则OP的最小值为32，PA⋅PB的最小值为322−32=−94.
故选：A.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则OP⋅OQ的取值范围为（ ）
A．−4,4B．−4,4C．−2,2D．−2,2
【解题思路】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.
【解答过程】
如图所示，延长SQ交底面圆周于B，过Q作QG⊥底面圆于G点，
显然OP⋅OQ=OP⋅OG+GQ=OP⋅OG=2csOP,OG⋅OG，
由题意可知csOP,OG∈−1,1,0所以OP⋅OQ的取值范围为−4,4.
故选：A.
【题型4 空间向量基本定理及其应用】
【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若a=AF，b=CE，c=BD，则OP=（ ）
A．13a+13b+13cB．−13a−13b−13cC．−23a−13b−23cD．23a+23b+23c
【解题思路】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.
【解答过程】取BC中点为M，
a=AF=PF−PA=12PC−PA,b=CE=PE−PC=12PB−PC,c=BD=PD−PB=12PA−PB
三个式子相加可得a+b+c=−12PA+PB+PC⇒PA+PB+PC=−2a+b+c,
又OP=AP−AO=−PA−23AM=−PA−23×12AB+AC=−PA−13PB−PA+PC−PA
=−PA−13PB−PA+PC−PA=−13PA−13PB−13PC=−13PA+PB+PC=23a+b+c,
故选：D.
【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体O−ABC中， a=OA,b=OB,c=OC,OM=13MA,N为BC的中点，若MN=xa+yb+zc ，则 x+y+z=（ ）
A．3B．34C．12D．13
【解题思路】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.
【解答过程】MN=ON−OM=12OC+12OB−14OA=−14a+12b+12c，
又MN=xa+yb+zc，所以x=−14y=12z=12，
所以x+y+z=34.
故选：B.
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1交点，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则BM的长为（ ）

A．54B．34C．52D．32
【解题思路】以AA1，AD，AB作为一组基底表示出BM，再根据数量积的运算律求出BM，即可得解.
【解答过程】依题意BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=BB1+12A1D1−A1B1
=AA1+12AD−12AB，
所以BM2=AA1+12AD−12AB2
=AA12+14AD2+14AB2+AA1⋅AD−AA1⋅AB−12AD⋅AB
=12+14×12+14×12+1×1×12−1×1×12−12×1×1×12=54，
所以BM=52，即BM=52.
故选：C.
【变式4-3】（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体ABCD中（如图），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等边三角形，AD=CD，AD⊥CD，M为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边界），若MN=xAB+yAC+zAD，x,y,z∈R则下列正确的是（ ）

A．若x=12，则MN∥平面ACDB．若z=0，则MN⊥CD
C．当MN最小时，x=14D．当MN最大时，x=0
【解题思路】根据可证CD⊥平面ABD，设BN=λBC+μBD，且λ,μ∈0,1,λ+μ≤1，进而可得x=12−λ−μy=λz=μ，对于A：若x=12，则点N即为点B，进而可得结果；对于B：若z=0，可得点N在线段BC上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过M作ME⊥BD，垂足为E，可证ME⊥平面BCD，则MN=34BD2+EN2，结合图形分析判断.
【解答过程】因为AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，CD⊂平面ACD，
所以CD⊥平面ABD，
且BD⊂平面ABD，可得CD⊥BD，
又因为N在侧面BCD上（包含边界），设BN=λBC+μBD，且λ,μ∈0,1,λ+μ≤1，
可得MN=MB+BN=12AB+λBC+μBD=12AB+λAC−AB+μAD−AB
=12−λ−μAB+λAC+μAD，
又因为MN=xAB+yAC+zAD，可得x=12−λ−μy=λz=μ，且λ,μ∈0,1,λ+μ≤1.
对于选项A：若x=12−λ−μ=12，则λ=μ=0，可得点N即为点B，
显然MN∩平面ACD=A，故A错误；
对于选项B：若z=μ=0，则BN=λBC，可得点N在线段BC上（包括端点），
由CD⊥平面ABD，可知当且仅当点N为点B，MN⊥CD，故B错误；
过M作ME⊥BD，垂足为E，可得BE=BM⋅cs∠ABD=14BD，ME=BM⋅sin∠ABD=34BD，

因为CD⊥平面ABD，ME⊂平面ABD，则ME⊥CD，
且BD∩CD=D，BD,CD⊂平面BCD，所以ME⊥平面BCD，
可得MN=ME2+EN2=34BD2+EN2，
对于选项C：显然当点N即为点E时，MN最小，此时λ=0,μ=14，
可得y=0,z=14,x=12−0−14=14，故C正确；
对于选项D：显然当点N即为点C时，NE最大，则MN最大，此时λ=1,μ=0，
可得y=1,z=0,x=12−1−0=−12，故D错误；
故选：C.
【题型5 证明三点共线、四点共面】
【例5】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，D1E=kD1A,D1F=kD1B，D1G=kD1C,D1H=kD1D．

(1)当k=34时，试用AB,AD,AA1表示AF；
(2)证明：E,F,G,H四点共面；
【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解；
（2）设AC=λAB+μAD（λ,μ不为0），推导出EG=λEF+μEH，进而证明出四点共面.
【解答过程】（1）四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD1=AA1+AD，
因为k=34，
所以AF=AE+EF=14AD1+D1F−D1E=14AD1+34D1B−34D1A=14AD1+34AB
=14AA1+14AD+34AB；
（2）设AC=λAB+μAD（λ,μ不为0），
EG=D1G−D1E=kD1C−kD1A=kAC=kλAB+μAD=kλAB+kμAD
=kλD1B−D1A+μkD1D−D1A=λD1F−DE+μD1H−D1E=λEF+μEH，
则EF,EG,EH共面且有公共点E，则E,F,G,H四点共面.
【变式5-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图)，并且OE=kOA,OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB．EG=EH+mEF，求证：
(1)A,B,C,D四点共面；
(2)AC//EG；
(3)OG=kOC．
【解题思路】（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【解答过程】（1）解：因为AC=AD+mAB，
由共面向量的基本定理，可得AC,AD,AB是共面向量
又因为AC,AD,AB有公共点A，所以A,B,C,D四点共面.
（2）解：因为OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD，
则EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)=k(AD−OA)+km(OB−OA)
=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC，
所以AC//EG.
（3）解：由（1）及OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD，
可得EG=kAC,EO=−kAO，
所以OG=EG−EO=kAC−kAO=k(AC−AO)=kOC，即OG=kOC.
【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′B上，且A′M=12MB，点N在对角线A′C上，且A′N=13NC．
(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、b、c表示向量D′M、D′N；
(2)求证：M、N、D′ 三点共线．
【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明MN//MD′即可得.
【解答过程】（1）因为A′M=12MB，则A′M=13A′B=13A′A+A′B′=−13AA′+13AB，
所以D′M=D′A′+A′M=−AD+−13AA′+13AB=13a−b−13c，
又因为A′N=13NC，则A′N=14A′C=14A′A+AB+AD，
所以D′N=D′A′+A′N=−AD+14A′A+AB+AD=14AB−34AD−14AA′
=14a−34b−14c；
（2）因为MN=A′N−A′M=14A′C−13A′B=14A′C−A′B−112A′B=14BC−112A′B
=14BC−13A′B，且MD′=A′D′−A′M=A′D′−13A′B=BC−13A′B，
所以MN=14MD′，即M、N、D′三点共线．
【变式5-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知a，b，c是空间中不共面的向量，若AB=2a−b+c，AC=a+2b−c，AD=−a+mb+nc.
(1)若B,C,D三点共线，求m,n的值；
(2)若A,B,C,D四点共面，求mn的最大值．
【解题思路】（1）由B,C,D三点共线可设BD=λBC，列方程求m,n；
（2）由A,B,C,D四点共面可设AD=xAB+yAC，列方程可得m,n的关系，由此可求mn的最大值．
【解答过程】（1）因为B,C,D三点共线，则BD=λBC，
又BC=AC−AB=−a+3b−2c， BD=AD−AB=−3a+(m+1)b+(n−1)c，
有−3=−λ,m+1=3λ,n−1=−2λ.}解得m=8,n=−5.；
（2）因为A,B,C,D四点共面，则AD=xAB+yAC，
则−a+mb+nc=x(2a−b+c) +y(a+2b−c)，
有 −1=2x+y,m=−x+2y,n=x−y. 解得3m+5n=−1，
所以mn=m⋅−1−3m5=−35m2+13m=−35m+162+160，
当m=−16时，mn取到最大值160.
【题型6 空间向量的坐标运算】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量a=1,2,0,b=(0,−1,1),c=(2,3,m)，若a,b,c共面，则实数m= （ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数(x,y)，使c=xa+yb，然后列方程组可求得答案.
【解答过程】因为a=1,2,0,b=(0,−1,1)不共线，a,b,c共面，
所以存在一对有序实数(x,y)，使c=xa+yb，
所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,−1,1)=(x,2x−y,y)，
所以x=22x−y=3y=m，解得x=2y=1m=1，
故选：A.
【变式6-1】（2023·西藏日喀则·一模）已知向量a→=(−2,1,3)，b→=(−1,1,x)，若a与b垂直，则a+2b=（ ）
A．2B．52C．213D．26
【解题思路】
根据垂直关系可得x，进而根据坐标运算以及模长公式即可求解.
【解答过程】由于a与b垂直，所以a⋅b=2+1+3x=0⇒x=−1，所以a+2b=−4,3,1，
故a+2b=−42+32+12=26，
故选：D.
【变式6-2】（2024·四川内江·模拟预测）已知a=(2,−2,−3)，b=(2,0,4)，则cs〈a,b〉=（ ）
A．48585B．−48585C．0D．1
【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式cs=a⋅b|a|⋅|b|即可求得.
【解答过程】解：∵ a=(2,−2,−3)，b=(2,0,4)，
∴cs=a⋅b|a|⋅|b|=4+0−1217⋅25=−48585.
故选：B.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）设A,B,C三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB⋅AC的最小值为（ ）
A．−94B．−2C．−32D．−43
【解题思路】建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面xOy中，设Aa1,a2,0，Bb1,b2,b3，Cc1,c2,c3，B′b1,b2,0和C′c1,c2,0分别是点B，C在平面xOy上的投影，利用向量不等式可得：AB′⋅AC′+b3c3≥AB′⋅AC′≥−AB′⋅AC′≥−AB′+AC′24，即可求解
【解答过程】将正方体置于空间直角坐标系O−xyz中，且A在平面xOy中，点O和点2,2,2的连线是一条体对角线．
设Aa1,a2,0，Bb1,b2,b3，Cc1,c2,c3，
B′b1,b2,0和C′c1,c2,0分别是点B，C在平面xOy上的投影．
可得B′B=(0,0,b3)，C′C=(0,0,c3)，AB′⋅C′C=0，AC′⋅B′B=0
则AB⋅AC=AB′+B′B⋅AC′+C′C=AB′⋅AC′+AB′⋅C′C+AC′⋅B′B+B′B⋅C′C
=AB′⋅AC′+b3c3，
因为AB′⋅AC′+b3c3≥AB′⋅AC′≥−AB′⋅AC′≥−AB′+AC′24，
当且仅当点C为B′C′的中点时，等号成立，
可得−AB′+AC′24=−14B′C′2≥−2，
所以AB⋅AC≥−2，当A1,1,0，b1−c1=b2−c2=2，且b3c3=0时等号成立．
故选：B.
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，G为△ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=（ ）
A．−13B．13C．−23D．23
【解题思路】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
如图，连接AG并延长交CD于点E.则E为CD的中点，
所以BG=BA+AG=−AB+23AE=−AB+23×12AC+AD=−AB+13AC+13AD，
所以x−y+z=−1+13+13=−13.
故选：A.
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,z,c=x,−4,2，且a⊥c,b∥c，则2a+b=（ ）
A．22B．0C．3D．32
【解题思路】根据向量的垂直和平行，先求出x,y,z的值，再求所给向量的模.
【解答过程】由a⊥c ⇒ a⋅c=0 ⇒ x−4+2=0 ⇒ x=2，
由b∥c ⇒ 12=y−4=z2 ⇒ y=−2，z=1.
所以2a+b= 21,1,1+1,−2,1= 3,0,3=32.
故选：D.
3．（24-25高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1−e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8B．-4C．-2D．8
【解题思路】利用空间向量共线定理求解即可.
【解答过程】因为A、B、D三点共线，所以∃λ∈R,使得AB=λAD,
又AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1−e2，
所以AD=AB+BC−DC=2e1+ke2+e1+3e2−2e1−e2=e1+k+4e2,
则2e1+ke2=λe1+k+4e2,
则λ=2, λk+4=k,解得：k=8.
故选：A.
4．（2024·湖南长沙·一模）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC⋅BD1的值为（ ）
A．10.5B．12.5
C．22.5D．42.5
【解题思路】将AB,AD,AA1作为基底，然后用基底表示出AC,BD1，再求其数量积即可.
【解答过程】由题意得AC=AB+AD，BD1=BA+AD+DD1=−AB+AD+AA1，
因为AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，
所以AC⋅BD1=(AB+AD)⋅(−AB+AD+AA1)
=−AB2+AB⋅AD+AB⋅AA1−AB⋅AD+AD2+AD⋅AA1
=−AB2+AB⋅AA1+AD2+AD⋅AA1
=−16+4×5cs60°+9+3×5cs60°
=−16+10+9+7.5
=10.5，
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AP=AB+12AD+14AA1，截面AD1P与正方体侧面BCC1B1交于线段MN，则线段MN的长为（ ）
A．1B．2C．322D．22
【解题思路】根据题意，得到BC=14BM，再由面面平行的性质，证得AD1//MN，结合MN=34BC1，即可求解.
【解答过程】如图所示，因为AP=AB+12AD+14AA1，所以BP=12AD+14AA1=12BC+14BB1，
因为平面ADD1A1//平面BCC1B1，设平面AD1P∩平面ADD1A1=AD1，平面AD1P∩平面BCC1B1=MN，所以AD1//MN，
又因为AD1//BC1，所以MN//BC1
过点P作PE⊥BC,PF⊥BB1，可得BP=BE+BF=12BC+14BB1，
则E为BC的中点，F为BB1的四等分点，
又因为MN//BC1，所以M为BC的四等分点，所以MN=34BC1=322.
故选：C．

6．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则PA⋅PB的最大值为（ ）
A．2B．74C．34D．14
【解题思路】取AB中点E，根据空间向量的数量积运算得PA⋅PB=PE2−14，判断PE的最大值即可求解.
【解答过程】取AB中点E，可知E在球面上，可得EB=−EA=−12BA，
所以PA⋅PB=PE+EA⋅PE+EB=PE2−EA2=PE2−14，

点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，当PE为直径时，PEmax=2，
所以PA⋅PB的最大值为74.
故选：B.
7．（2023·河南·模拟预测）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD，侧面A1ADD1都是正方形，且二面角A1−AD−B的大小为120°，AB=2，若P是C1D与CD1的交点，则AP=（ ）

A．3B．5C．7D．3
【解题思路】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义用AB,AD,AA1表示出AP，再应用向量数量积的运算律求|AP|即可.
【解答过程】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，四边形DD1C1C是平行四边形，
又P是C1D,CD1的交点，所以P是C1D的中点，
所以AP=AD+DP=AD+12DC+DD1=12AB+AD+12AA1，
由题意AB⋅AD=0，AB⋅AA1=−2，AD⋅AA1=0，
所以AP2=12AB+AD+12AA12=14AB2+AD2+14AA12+AB⋅AD+AD⋅AA1+12AB⋅AA1=5，即AP=5．
故选：B.
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马P−ABCD，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，M为底面ABCD及其内部的一个动点且满足PM=5，则PM⋅BM的取值范围是（ ）
A．[1−22,1+22]B．[−1,2]C．[1−2,−1]D．[−1,1]
【解题思路】由已知可求得|AM|=1，建立空间坐标系，利用已知设Mcsθ,sinθ,0，θ∈0,π2，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【解答过程】PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，连接PM,AM，由|PM|=5，可得AM=PM2−PA2=1，
四边形ABCD为矩形，以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示坐标系，
则B2,0,0,D0,2,0，P0,0,2，设Mcsθ,sinθ,0，θ∈0,π2，
则PM=csθ,sinθ,−2,BM=csθ−2,sinθ,0，
所以PM⋅BM=csθcsθ−2+sin2θ
=cs2θ+sin2θ−2csθ=1−2csθ
因为θ∈0,π2，则csθ∈0,1，则1−2csθ∈−1,1，
所以PM⋅BM∈−1,1.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的是（ ）
A．AB+BC+CC1；B．AA1+A1D1+D1C1；
C．AB+BB1+B1C1；D．AA1+A1B1+B1C1．
【解题思路】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项.
【解答过程】对于A,AB+BC+CC1=AC+CC1=AC1；
对于B，AA1+A1D1+D1C1=AD1+D1C1=AC1；
对于C,AB+BB1+B1C1=AB1+B1C1=AC1；
对于D,AA1+A1B1+B1C1=AB1+B1C1=AC1．
故选：ABCD.
10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列说法正确的是（ ）
A．CM=−12a−12b+cB．CM，AC1=π3
C．BD1=a+b+cD．AD⋅BD1=1
【解题思路】由题意可知，a⋅b=a⋅c=b⋅c=1×1×csπ3=12，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可．
【解答过程】由题意可知，a⋅b=a⋅c=b⋅c=1×1×csπ3=12，
对于A，CM=CC1+C1M=AA1+12C1A1=AA1−12(AB+AD)=−12a−12b+c，故A正确；
对于B，又因为AC1=AB+AD+AA1=a+b+c，
所以CM⋅AC1=(−12a−12b+c)⋅(a+b+c)=−12a2−12a⋅b−12a⋅c−12b⋅a−12b2−12b⋅c+c⋅a+c⋅b+c2=0，
所以CM，AC1=π2，故B错误；
对于C，BD1=BA+BC+BB1=−AB+AD+AA1=−a+b+c，故C错误；
对于D，AD⋅BD1=b⋅(−a+b+c)=−a⋅b+b2+b⋅c=1，故D正确．
故选：AD．
11．（2024·江苏南京·二模）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，点P在△A1BD内，则（ ）
A．A1P//平面B1CD1B．A1P⊥AC1
C．PC1≥6APD．AP+PC1≥26
【解题思路】由面面平行的判定及性质即可判断A；以AB,AD,AA1为基底，证明出AC1⊥平面A1BD，即可判断B；由AP+PC1≥AC1即可判断出D；由正弦定理，勾股定理及函数单调性即可判断出C．
【解答过程】对于A，连接CD1，
由平行六面体ABCD−A1B1C1D1得，平面A1B1C1D1//平面ABCD，平面ABB1A1//平面DCC1D1，
因为平面A1BCD1∩平面ABB1A1=A1B，平面A1BCD1∩平面DCC1D1=CD1，
所以A1B//CD1，同理可得BD//B1D1，
因为CD1⊂平面B1CD1，A1B⊄平面B1CD1，
所以A1B//平面B1CD1，同理可得BD//平面B1CD1，
因为A1B∩BD=B，A1B，BD⊂平面A1BD，
所以平面A1BD//平面B1CD1，
又A1P⊂平面A1BD，所以A1P//平面B1CD1，故A正确；
对于B，以AB,AD,AA1为基底，
则AC1=AB+AD+AA1，BD=−AB+AD，BA1=−AB+AA1，
因为平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，
所以AC1⋅BD=(AB+AD+AA1)⋅(−AB+AD)=−4+2−2+4−2+2=0，
AC1⋅BA1=(AB+AD+AA1)⋅(−AB+AA1)=−4+2−2+2−2+4=0，
所以AC1⊥BD,AC1⊥BA1，
因为BD,BA1⊂平面A1BD，且BD∩BA1=B，
所以AC1⊥平面A1BD，又A1P⊂平面A1BD，
所以AC1⊥A1P，故B正确；
对于D，AP+PC1≥AC1，
AC12=(AB+AD+AA1)2=4+4+4+2×2+2×2+2×2=24，即AC1=26，
所以AP+PC1≥26，当点A,P,C1共线时等号成立，故D正确；
对于C，因为AC1⊥平面A1BD，则AC1交△A1BD的外心O，连接OP，
则∠AOP=∠C1OP=90°，
在△A1BD中，由正弦定理得外接圆直径2R=2sin60°，R=233，则AO=263，C1O=26−263=463，
设OP=x∈[0,233)，
在Rt△APO中，AP2=AO2+OP2=83+x2，
在Rt△C1PO中，C1P2=CO2+OP2=323+x2，
则PC12AP2=323+x283+x2=32+3x28+3x2=248+3x2+1∈(3,4]，
所以PC1AP∈(3,2]，故C错误；
故选：ABD．
三、填空题
12．（2024·上海·三模）已知空间向量a=1,−1,0，b=0,1,1，c=1,2,m共面，则实数m= 3 .
【解题思路】根据空间向量共面得到c=xa+yb，得到方程，求出m=3
【解答过程】设c=xa+yb，即1,2,m=x1,−1,0+y0,1,1，
故x=1−x+y=2m=y，解得m=y=3.
故答案为：3.
13．（2024·山东济南·一模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AM=2MB，A1N=mA1C1，且BN//平面A1CM，则m的值为 12 .
【解题思路】利用三棱柱模型，选择一组空间基底AB=a,AC=b,AA1=c，将相关向量分别用基底表示，再利用BN//平面A1CM，确定BN,MA1,MC必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.
【解答过程】
如图，不妨设AB=a,AC=b,AA1=c，依题意，AM=23a,MA1=MA+AA1=−23AB=c−23a,
MC=AC−AM=b−23a，
因A1N=mA1C1=mb，则BN=BA1+A1N=c−a+mb,
又因BN//平面A1CM，故BN,MA1,MC必共面，
即存在λ,μ∈R，使BN=λMA1+μMC，即c−a+mb=λ(c−23a)+μ(b−23a)，
从而有−23(λ+μ)=−1μ=mλ=1，解得m=12.
故答案为：12.
14．（2024·辽宁·一模）已知e1，e2是空间单位向量，e1，e2=105°，若空间向量a满足a⋅e1=1，a⋅e2=2，且对于任意x，y∈R，都有a−(xe1+ye2)≥a−(x0e1+y0e2)=1（其中x0，y0∈R），则a= 5 ．
【解题思路】首先分析题意，由〈e1,e2〉=105°结合空间向量的数量积定义求解e1⋅e2的值，进行下一步化简得出则当x=x0,y=y0时，a−(xe1+ye2)取得最小值，得到x=1−2−62y，多次求解二次函数最值可得答案.
【解答过程】因为〈e1,e2〉=105°且两者均为单位向量，所以e1⋅e2=e1⋅e2⋅cse1,e2
=cs105°=cs(45°+60°)=cs45°×cs60°−sin45°×sin60°=2−64，
又因为对于任意的x，y ∈R,都有a⃗−(xe1⃗+ye2⃗)≥a⃗−(x0e1⃗+y0e2⃗)=1，
则当x=x0,y=y0时，a−(xe1+ye2)取得最小值，
则当a⃗−xe1⃗+ye2⃗2=a⃗2+xe1⃗+ye2⃗2−2a⃗·xe1⃗+ye2⃗
=a2+x2+y2+2−62xy−2x−22y，
令fx=x2+2−62y−2x+y2−22y，
由二次函数性质得当x=1−2−64y,fx≥8+4316y2−32+62y−1,
令gy=8+4316y2−32+62y−1，同理gymin=−4，即fxmin=−4，
故a2−4=1⇒a=5，
故答案为：5.
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)AB+AD+AA′；
(2)DD′−AB+BC；
(3)AB+AD+12DD′−BC.
【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【解答过程】（1）AB+AD+AA′=AB+BC+CC′=AC′，
向量AC′如图所示，

（2）DD′−AB+BC=DD′−AB−AD=DD′−DB=BD′；
向量BD′如图所示，

（3）AB+AD+12DD′−BC=AC+12CC′+CB=AC+12CB′，
设M是线段CB′的中点，
则AB+AD+12DD′−BC=AC+CM=AM.
向量AM如图所示，

16．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点A−2,0,2，B−1,1,2，C−3,0,4，设a=AB，b=AC．
(1)若ka+b与ka−2b互相垂直，求实数k的值；
(2)若c=3，c//BC，求c．
【解题思路】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设c=x,y,z，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【解答过程】（1）a=1,1,0,b=−1,0,2，
故ka+b=k,k,0+−1,0,2=k−1,k,2，
ka−2b=k,k,0−−2,0,4=k+2,k,−4，
因为ka+b,ka−2b互相垂直，所以k−1k+2+k2−8=0，
解得k=2或−52；
（2）BC=−3,0,4−−1,1,2=−2,−1,2，
设c=x,y,z，则x−2=y−1=z2且x2+y2+z2=9，
解得x=−2y=−1z=2或x=2y=1z=−2，
故c=−2,−1,2或c=2,1,−2.
17．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4,OP⊥底面ABCD，E,F分别为侧棱PB,PD的中点，点M在CP上且CM=2MP．求证：A,E,M,F四点共面.
【解题思路】易知AC⊥BD，由线面垂直的性质可得OP⊥AC,OP⊥BD，建立如图空间直角坐标系O−xyz，利用空间向量坐标方法，设AM=xAE+yAF建立方程待定x,y，即可证明四点共面.
【解答过程】因为平面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
由OP⊥平面ABCD，AC,BD⊂平面ABCD，得OP⊥AC,OP⊥BD，
所以OP,OA,OB两两垂直，建立如图空间直角坐标系O−xyz，
A(4,0,0),B(0,3,0),C(−4,0,0),D(0,−3,0),P(0,0,4)，
则E0,32,2,F0,−32,2，
由CM=2MP知，点M为靠近P的三等分点，则M−43,0,83，
所以AF=−4,−32,2,AE=−4,32,2,AM=−163,0,83，
设AM=xAE+yAF，则−163=−4x−4y0=32x−32y83=2x+2y，解得x=y=23，
则AM=23AE+23AF，所以AM,AE,AF共面，
又直线AM,AE,AF的公共点为A，所以A,E,M,F四点共面.
18．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，D1E=BF=1，设DA=a，DC=b，DD1=c.
(1)试用a，b，c表示EF；
(2)求EF的长.
【解题思路】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的运算律求出EF，即可得解.
【解答过程】（1）依题意可得EF=ED1+D1D+DA+AF
=−14D1C1−DD1+DA+34AB
=−14DC−DD1+DA+34DC
=−DD1+DA+12DC=−c+a+12b
（2）依题意可得a⋅c=a⋅b=b⋅c=0，
所以EF2=−c+a+12b2=c2+a2+14b2−2c⋅a−c⋅b+a⋅b
=42+42+14×42=36，
所以EF=6，即EF=6.
19．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2.若a×b=ijkx1y1z1x2y2z2，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1kx1,y1,z1∈R，b=x2i+y2j+z2kx2,y2,z2∈R，i,j,k为单位正交基底.以O为坐标原点，分别以i,j,k的方向为x轴､y轴､z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点.
(1)①若A0,2,1,B−1,3,2，求OA×OB；
②证明：OA×OB+OB×OA=0.
(2)记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB=12OA×OB；
(3)问：(OA×OB)2的几何意义表示以△AOB为底面､OA×OB为高的三棱锥体积的多少倍？
【解题思路】（1）利用向量的叉乘的定义进行分析运算即可；
（2）利用数量积公式求得cs∠AOB，则sin∠AOB=1−cs2∠AOB，可得S△AOB=12OAOB⋅sin∠AOB=12OA|2OB|2−(OA⋅OB)2，借助叉乘公式利用分析法即可证得结果；
（3）由S△AOB=12OA×OB，化简可得(OA×OB)2=13S△AOB⋅OA×OB×6，即可得到结果.
【解答过程】（1）①解：因为A0,2,1,B−1,3,2，
则OA×OB=ijk021−132=4i−j+0+2k−0−3i=i−j+2k=1,−1,2.
②证明：设Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，
则OA×OB=y1z2i+z1x2j+x1y2k−x2y1k−z2x1j−y2z1i
=y1z2−y2z1,z1x2−z2x1,x1y2−x2y1，
x2 x2与x1互换，y2与y1互换，z2与z1互换，
可得OB×OA=y2z1−y1z2,z2x1−z1x2,x2y1−x1y2，
故OA×OB+OB×OA=0,0,0=0.
（2）证明：因为sin∠AOB=1−cs2∠AOB=1−(OA⋅OB)2OA|2OB|2
=|OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2|OA||OB|.
故S△AOB=12OAOB⋅sin∠AOB=12OA|2OB|2−(OA⋅OB)2，
故要证S△AOB=12OA×OB，
只需证OA×OB=OA|2OB|2−(OA⋅OB)2，
即证OA×OB|2=OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2.
由（1）OA=x1,y1,z1,OB=x2,y2,z2，
OA×OB=y1z2−y2z1,z1x2−z2x1,x1y2−x2y1
故|OA×OB|2=y1z2−y2z12+z1x2−z2x12+x1y2−x2y12，
又OA|2=x12+y12+z12,OB|2=x22+y22+z22，
(OA⋅OB)2=x1x2+y1y2+z1z22
则OA×OB|2=OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2成立，
故S△AOB=12OA×OB.
（3）由（2）S△AOB=12OA×OB，
得(OA×OB)2=|OA×OB|2
=12OA×OB⋅2OA×OB=S△AOB⋅2OA×OB，
故(OA×OB)2=13S△AOB⋅OA×OB×6，
故(OA×OB)2的几何意义表示：
以△AOB为底面､OA×OB为高的三棱锥体积的6倍.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直
2023年新高考I卷：第18题，12分
2024年上海卷：第15题，5分
空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，常以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ<0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3