专题8.6 双曲线（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21847" 【题型1 双曲线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc21847 \h 4
\l "_Tc14868" 【题型2 双曲线的标准方程】 PAGEREF _Tc14868 \h 6
\l "_Tc19483" 【题型3 曲线方程与双曲线】 PAGEREF _Tc19483 \h 8
\l "_Tc6399" 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc6399 \h 9
\l "_Tc7771" 【题型5 双曲线中焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc7771 \h 11
\l "_Tc11106" 【题型6 双曲线上点到焦点的距离及最值问题】 PAGEREF _Tc11106 \h 14
\l "_Tc18792" 【题型7 双曲线中线段和、差的最值问题】 PAGEREF _Tc18792 \h 16
\l "_Tc2740" 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 PAGEREF _Tc2740 \h 19
\l "_Tc29859" 【题型9 双曲线的简单几何性质问题】 PAGEREF _Tc29859 \h 21
\l "_Tc28048" 【题型10 双曲线的实际应用问题】 PAGEREF _Tc28048 \h 24
\l "_Tc24078" 【题型11 椭圆与双曲线综合】 PAGEREF _Tc24078 \h 27
1、双曲线
【知识点1 双曲线及其性质】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
【知识点2 双曲线方程的求解方法】
1．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.
【知识点3 双曲线的焦点三角形的相关结论】
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.
【知识点4 双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】
1．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)
求解.
【知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略】
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【方法技巧与总结】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).
【题型1 双曲线的定义及其应用】
【例1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“PF1=8”是“PF2=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解答过程】a=4,b=3,c=42+32=5，
当点P在左支时，PF1的最小值为c−a=1，
当点P在右支时，PF1的最小值为a+c=9，
因为PF1=8，则点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义PF2−PF1=PF2−8=2a=8，解得PF2=16；
当PF2=16，点P在左支时，PF1=8；在右支时，PF1=24；推不出PF1=8；
故为充分不必要条件，
故选：D.
【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，F1F2=2c，点P在C的右支上，且△PF1F2的周长为6c，则PF1=（ ）
A．3c−aB．3c+aC．2c−aD．2c+a
【解题思路】借助双曲线定义计算即可得.
【解答过程】由双曲线定义可知：PF1−PF2=2a，
则三角形△PF1F2的周长为F1F2+PF1+PF2=2c+PF1+PF1−2a=6c，
故PF1=2c+a.
故选：D.
【变式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线C:x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，F2，且F1F2=10，若点P在双曲线的右支上，则PF1−PF2=（ ）
A．−6B．6C．8D．10
【解题思路】根据题意，得b=4，c=5，求出a2=9，根据双曲线的定义即可求出PF1−PF2的值.
【解答过程】
由题意知，b=4，2c=10，
∴a2=c2−b2=52−42=9，
∴双曲线C:x29−y216=1，
∵点P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义得，PF1−PF2=6，
故选：B.
【变式1-3】（2024·四川达州·二模）设F1，F2是双曲线C：x24−y23=1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则F1P+F1Q−|PQ|=（ ）
A．5B．6C．8D．12
【解题思路】
由双曲线的定义知F1P−PF2=2a=4，F1Q−QF2=2a=4，则F1P+F1Q−|PQ|= F1P−PF2+F1Q−QF2，即可得出答案.
【解答过程】双曲线C：x24−y23=1，则a2=4，a=2，
由双曲线的定义知：F1P−PF2=2a=4，F1Q−QF2=2a=4，
PQ=PF2+QF2，
所以F1P+F1Q−|PQ|=F1P+F1Q−PF2+QF2
=F1P−PF2+F1Q−QF2=8.
故选：C.
【题型2 双曲线的标准方程】
【例2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线C经过点0,1， 离心率为2，则C的标准方程为（ ）
A．x2−y23=1B．x23−y2=1
C．y2−x23=1D．y23−x2=1
【解题思路】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。
【解答过程】由题意知，双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1 a>0,b>0，
因为双曲线C经过点(0,1)，所以a=1，
因为e=ca=2，所以c=2，
所以b2=c2−a2=4−1=3，
所以双曲线的标准方程为y2−x23=1.
故选：C.
【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到焦点(−5,0)的距离比到焦点(5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为（ ）
A．x24−y2=1B．x22−y2=1C．x2−y22=1D．x2−y24=1
【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b，c=5，再结合a2+b2=c2，求出a,b，即可求出结果.
【解答过程】由题知c=5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b，又a2+b2=c2，
所以5a2=5，得到a2=1,b2=4，所以双曲线的方程为x2−y24=1，
故选：D.
【变式2-2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x2−y23=1B．x22−y26=1
C．x23−y29=1D．x24−y212=1
【解题思路】利用待定系数法可求双曲线C的标准方程.
【解答过程】设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
因为离心率e=2，故半焦距c=2a，故b=3a，
而双曲线过P(6,3)，故6a2−9b2=1，解得a=3,b=3，
故双曲线的方程为：x23−y29=1，
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A在C上，若F1A=2F2A，∠AF1F2=30°,△AF1F2的面积为63，则C的方程为（ ）
A．x29−y26=1B．x23−y26=1
C．x26−y29=1D．x26−y23=1
【解题思路】先根据双曲线的定义求出F2A,F1A，在△AF1F2中，利用正弦定理求出AF2F1，再根据三角形的面积公式求出a2，利用勾股定理可求得c2，进而可求出答案.
【解答过程】因为F1A=2F2A，所以F1A>F2A，
又因为点A在C上，所以F1A−F2A=2a，
即2F2A−F2A=2a，所以F2A=2a,F1A=4a，
在△AF1F2中，由正弦定理得AF2sin∠AF1F2=AF1sin∠AF2F1，
所以sin∠AF2F1=AF1sin30°AF2=1，
又0°<∠AF2F1<180°，所以∠AF2F1=90°，故∠F1AF2=60°，
则S△AF1F2=12AF1AF2sin60°=23a2=63，所以a2=3，
则F1F22=2c2=AF12−AF22=16a2−4a2=12a2=36，所以c2=9，
所以b2=c2−a2=6，
所以C的方程为x23−y26=1.
故选：B.

【题型3 曲线方程与双曲线】
【例3】（2024·四川南充·二模）已知m，n是实数，则“mn<0”是“曲线mx2+ny2=1是焦点在x轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若曲线mx2+ny2=1是焦点在x轴的双曲线，则m>0，n<0，所以mn<0，故必要性成立，
若m=−1，n=1满足mn<0，但是曲线y2−x2=1是焦点在y轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“mn<0”是“曲线mx2+ny2=1是焦点在x轴的双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】（23-24高二上·上海·期末）当ab<0时，方程ax2−ay2=b所表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴的椭圆B．焦点在x轴的双曲线
C．焦点在y轴的椭圆D．焦点在y轴的双曲线
【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可．
【解答过程】当ab＜0时，方程ax2−ay2=b化简得y2−ba−x2−ba=1，
∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；
故选：D．
【变式3-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线C:x24+y2m=1(m≠0)，则“m∈(0,4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】若m∈(0,4)，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时m<0.
【解答过程】若m∈(0,4)，则曲线C:x24+y2m=1表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；
若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是m<0，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，
故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“m>1”是“方程x2m−1−y2m+3=1表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】若m>1，则m−1>0,m+3>0，所以方程x2m−1−y2m+3=1表示双曲线；
若方程x2m−1−y2m+3=1表示双曲线，则(m−1)(m+3)>0，解得m<−3或m>1，
所以“m>1”是“方程x2m−1−y2m+3=1表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆F1:(x+4)2+y2=1及圆F2:(x−4)2+y2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．x2−y215=1B．x2−y215=1(x≤−1)
C．x215−y2=1D．x215−y2=1(x≤−15)
【解题思路】设Mx,y，半径为r，根据给定条件可得MF2−MF1=2【解答过程】圆F1：x+42+y2=1，圆心F1−4,0，半径 r1=1，
圆F2：x−42+y2=9，圆心F24,0，半径 r2=3，
设动圆圆心Mx,y，半径为r，由动圆M与圆F1，F2都外切，
得MF1=r+1MF2=r+3，则MF2−MF1=2因此圆心M的轨迹是以F1,F2为焦点，实轴长2a=2的双曲线左支，
即a=1，半焦距c=4，虚半轴长b=c2−a2=15，
所以动圆圆心M的轨迹方程是x2−y215=1x≤−1.
故选：B.
【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足PF1−PF2=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
【解题思路】由PF1−PF2=4【解答过程】依题意，F1、F2是两个定点，P是一个动点，
且P满足PF1−PF2=4故选：B.
【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所A,B，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m/s，在A哨所听到的爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s．若以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A．x2435600−y2564400=1(x>0)B．x26402−y24802=1(x>0)
C．x2435600+y2564400=1D．x26402+y24802=1
【解题思路】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可.
【解答过程】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A−800,0,B800,0，
设Mx,y为曲线上任一点，
则MA−MB=320×4=1280<1600，
所以点M的轨迹为双曲线的右支，且a=640，c=800，
∴b2=c2−a2=c+ac−a=4802，
∴点M的轨迹方程为x26402−y24802=1(x>0)．
故选：B.
【变式4-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：x+32+y2=1，圆N：x−32+y2=9均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A．x2−y28=1B．x2−y28=1x≤−1
C．x2−y28=1x≥1D．y2−x28=1
【解题思路】设圆P的半径为r，外切关系可得MP=r+1，NP=r+3，进而得NP−MP=2，从而利用双曲线的定义即可求解.
【解答过程】由圆M：x+32+y2=1，得圆心M−3,0，半径r1=1，
由圆N：x−32+y2=9，得圆心N3,0，半径r2=3．
设圆P的半径为r，则有MP=r+1，NP=r+3．
两式相减得NP−MP=2所以圆心P的运动轨迹为以M−3,0、N3,0为焦点的双曲线的左支，
又9−1=8，所以C的方程为x2−y28=1x≤−1．
故选：B．
【题型5 双曲线中焦点三角形问题】
【例5】（2024·四川成都·三模）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当PF1=6时，△PF1F2面积为（ ）
A．43B．37C．4552D．67
【解题思路】利用双曲线的定义可得PF2=4，又F1F2=2c=4，进而即得.
【解答过程】∵双曲线C:x2−y23=1，
∴a=1,b=3,c=2，又点P在双曲线C的右支上，PF1=6，
所以PF1−PF2=2a，6−PF2=2，即PF2=4，
又F1F2=2c=4，
∴△PF1F2面积为12×6×42−622=37.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知点A−2,0，A′2,0，动点P满足4kAP⋅kA′P=1，圆E：x2+y2=5与点P的轨迹的一个交点为M，圆E与x轴的交点为B，C，则△MBC的周长为（ ）
A．5+6B．25+6
C．5+26D．25+26
【解题思路】根据题意先求出点P的轨迹方程，再画出图像，进而利用双曲线的定义和圆的性质得到△MBC的周长.
【解答过程】
设Px,y，根据4kAP⋅kA′P=1可知直线AP,A′P的斜率存在且不为0，故P不与A，A′重合.
所以由4kAP⋅kA′P=1得4⋅yx+2⋅yx−2=1，得x24−y2=1x≠±2，故点P的轨迹方程为x24−y2=1x≠±2．
第二步：设MC=d，由题意不妨令B−5,0，C5,0，则B，C分别为双曲线x24−y2=1的左、右焦点．
不妨设M在第一象限，MC=d，则MB=4+d，根据圆的性质可知MC⊥MB，
所以4+d2+d2=252，得d=6−2.
故MC+MB=4+2d=26,BC=25，所以△MBC的周长为25+26．
故选：D.
【变式5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）设F1，F2是双曲线C：x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若△PQF2是正三角形，则QF1=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【解题思路】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解.
【解答过程】根据双曲线定义有QF1−QF2=4，
由于点P在线段F1F2的垂直平分线上，∴PF1=PF2，
又QF1=PF1+PQ，QF2=PF2=PQ，故QF1=8．
故选：C.
【变式5-3】（2024·广西南宁·一模）设F1、F2是双曲线C:x28−y210=1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且OP=12PF1−PF2，则△PF1O的面积为（ ）
A．5B．8C．10D．12
【解题思路】
由题意可知P在以F1F2为直径的圆上，由双曲线的定义与三角形面积公式可求得S△F1F2P，又S△F1F2P=2S△PF1O，即可求解
【解答过程】
由题可知，F1−32,0,F232,0，且a=22,c=32.
因为OP=12PF1−PF2，
所以|OP|=12F1F2=32.
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形.
故PF12+PF22=F1F22，即PF12+PF22=72.
又||PF1|−|PF2||=2a=42，
所以32=||PF1|−|PF2||2=PF12+PF22−2PF1⋅PF2=72−2PF1⋅PF2，
解得PF1⋅PF2=20，
所以S△F1F2P=12PF1⋅PF2=10，
则△PF1O的面积为5，
故选：A.
【题型6 双曲线上点到焦点的距离及最值问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F，动点M在直线l:x=32上，线段FM交C于P点，过P作l的垂线，垂足为R，则PRPF的值为（ ）
A．62B．33C．63D．32
【解题思路】设出点P的坐标为x0,y0，由已知，用x0表示出PR和PF，进而得到PRPF的值.
【解答过程】由双曲线的对称性，不妨设点M在x轴上及其上方，如图，

依题意，F2,0，设Px0,y0,x0≥3，则PR=x0−32，
由x023−y02=1得y02=x023−1，
所以PF=x02−4x0+4+y02=43x02−4x0+3=233x0−3，
所以PRPF=32.
故选：D．
【变式6-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22=1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则PF12PF2的最小值为（ ）
A．16B．18C．8+42D．9+1522
【解题思路】利用双曲线的定义表示PF1，结合基本不等式求解最小值.
【解答过程】因为F1，F2为双曲线C:x24−y22=1的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以PF1=PF2+4，
所以PF12PF2=PF2+42PF2=PF22+8PF2+16PF2
=PF2+16PF2+8≥216+8=16，当且仅当PF2=16PF2，即PF2=4时，等号成立；
因为c=a2+b2=6，所以c−a=6−2<4，所以PF2=4成立，PF12PF2的最小值为16.
故选：A.
【变式6-2】（2024·河南郑州·一模）设F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当QF1+PQ取最小值时，QF2的值为（ ）
A．3−2B．3+2C．6−2D．6+2
【解题思路】
结合双曲线定义数形结合判断QF1+PQ取最小值时，P,Q,F2三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为(3−62,62−1)，即可求解QF2的值.
【解答过程】由双曲线定义得QF1−QF2=2a=23,
故QF1+PQ=PQ+QF2+23
如图示，当P,Q,F2三点共线，即Q在M位置时，QF1+PQ取最小值，
∵F22,0,P(0,2)，故PF2方程为y=−x+2，
联立x23−y2=1，解得点Q的坐标为(3−62,62−1) (Q为第一象限上的一点)，
故|QF2|=(3−62−2)2+(62−1)2=3−22=3−2
故选：A.
【变式6-3】（2024·山东日照·一模）过双曲线x24−y212=1的右支上一点P，分别向⊙C1:(x+4)2+y2=3和⊙C2:(x−4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则PM+PN⋅NM的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
【解题思路】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x24−y212=1的左右焦点为F1−4,0，F24,0，连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答过程】由双曲线方程x24−y212=1可知：a=2,b=23,c=a2+b2=4，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为F1−4,0，F24,0，
圆C1:x+42+y2=3的圆心为C1−4,0（即F1），半径为r1=3；
圆C2:x−42+y2=1的圆心为C24,0（即F2），半径为r2=1．
连接PF1，PF2，F1M，F2N，则MF1⊥PM,NF2⊥PN，
可得PM⃗+PN⃗⋅NM⃗=PM⃗+PN⃗⋅PM⃗−PN⃗=PM⃗2−PN⃗2=PF12−r12−PF22−r22 =PF12−3−PF22−1=PF12−PF22−2=PF1−PF2⋅PF1+PF2−2
=2aPF1+PF2−2≥2a⋅2c−2=2×2×2×4−2=30，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即PM+PN⋅NM的最小值为30.
故选：C.
【题型7 双曲线中线段和、差的最值问题】
【例7】（2024·河南郑州·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y=±13x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E:x2+y+62=1上一点，则MN+MF2的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解题思路】先根据题意得双曲线的方程为x29−y2=1，再结合双曲线的定义得MF2=2a+MF1，故MN+MF2=2a+MN+MF1，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，此时MN+MF1取得最小值，再计算即可得答案.
【解答过程】由题意可得2a=6，即a=3，
渐近线方程为y=±13x，即有ba=13，即b=1，可得双曲线方程为x29−y2=1，
焦点为F1−10,0，F210,0，由双曲线的定义可得MF2=2a+MF1=6+MF1，
由圆E:x2+y+62=1可得E0,−6，半径r=1，MN+MF2=6+MN+MF1，
连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，
此时MN+MF1取得最小值，且为EF1=6+10=4，
则MN+MF2的最小值为6+4−1=9.
故选：B.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设双曲线C：x2−y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A是C右支上的一点，则AF1+4AF2的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】根据双曲线的方程求出a,b,c的值，由双曲线的定义可得AF1+4AF2=AF2+4AF2+2，由双曲线的性质可知AF2≥c−a=4，利用函数的单调性即可求得最小值.
【解答过程】由双曲线C：x2−y224=1可得
a2=1，b2=24，所以c2=a2+b2=25，
所以a=1，c=5，
由双曲线的定义可得AF1−AF2=2a=2，所以AF1=AF2+2，
所以AF1+4AF2=AF2+4AF2+2，
由双曲线的性质可知：AF2≥c−a=4，令AF2=t，则t≥4，
所以AF1+4AF2=AF2+4AF2+2=t+4t+2在4,+∞上单调递增，
所以当t=4时，取得最小值4+44+2=7，此时点A为双曲线的右顶点1,0，
即AF1+4AF2的最小值为7，
故选：C.
【变式7-2】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则PF1−PA的最大值为（ ）
A．22B．17C．22+1D．22+5
【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值．
【解答过程】由题意可设双曲线的方程为x2−y2=a2,a>0，
则2a2=c2=4，即a2=2，得到a=2，所以F1(−2,0),F2(2,0)，
由双曲线的定义可得PF1−PF2=2a=22，
则PF1−PA=22+PF2−PA≤22+AF2=22+1，
当F2,A,P三点共线时，取得等号，则PF1−PA的最大值为22+1，
故选：C．
【变式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点M1,2，点P是双曲线C：x24−y212=1左支上的动点，N是圆D：x+42+y2=1上的动点，则PM−PN的最小值为（ ）
A．5−10B．10−5C．13−3D．3−13
【解题思路】
利用圆的性质求出|PN|的最大值，由点M与抛物线右支的位置求出|PM|的最小值，再利用双曲线定义求解即得.
【解答过程】
双曲线C的半焦距c=4+12=4，圆D的圆心D−4,0是双曲线C的左焦点，令右焦点为F24,0，
圆D半径为r=1，显然点P在圆D外，PN≤PD+r，当且仅当N是PD的延长线与圆的交点时取等号，
PM≥PF2−MF2=PF2−13，当且仅当P,M,F2三点共线时取等号，由双曲线的定义PF2−PD=2a=4，
所以PM−PN≥PF2−13−PD−1=3−13，即PM−PN的最小值为3−13.
故选：D.
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】
【例8】（2024·安徽·模拟预测）双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线过点−1,2，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．23D．22
【解题思路】由一条渐近线过点−1,2得ba=2，代入e=ca=1+ba2即可求解．
【解答过程】双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程为bx±ay=0，
将点−1,2代入bx+ay=0中，得ba=2，
故离心率e=ca=1+ba2=3，
故选：A．
【变式8-1】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3是双曲线E上的点，若△AMF的面积为92，则双曲线E的离心率为（ ）
A．3B．2C．62D．6
【解题思路】根据S△AMF=92、点M−2,3在E上，求出a,c可得答案．
【解答过程】由题设知，AF=a+c，则S△AMF=12yMAF=32AF=92，
所以a+c=3，且c>a，易知0又因为点M−2,3在E上，所以4a2−9b2=1，所以4b2−9a2=a2b2，
因为a2+b2=c2，所以4c2−a2− 9a2=a2c2−a2，
则a4−13a2=c2a2−4=(3−a)2×a2−4，化简得
a3−3a2−4a+6=a−1a2−2a−6)=0，
解得a=1或a=1±7（舍去）．所以a=1,c=2，
故E的离心率为ca=2．
故选：B．
【变式8-2】（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足F1M⊥F1N，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3+12B．3+1C．2D．5+1
【解题思路】设M(x,y)，根据中点关系得M(2c,y)，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得y2=3c2，根据点M在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为e的方程求解即可.
【解答过程】由题意，F1−c,0,F2c,0，设M(x,y)，则N(0,−y)，
因为F2为线段MN的中点，所以x=2c，即M(2c,y)，则F1M=(3c,y),F1N=(c,−y)，
因为F1M⊥F1N，所以F1M⋅F1N=3c2−y2=0，即y2=3c2，
又M在C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)双曲线上，所以4c2a2−3c2b2=1，
结合b2=c2−a2整理得4c4−8c2a2+a4=0，所以4e4−8e2+1=0，
解得e2=1+32或e2=1−32（舍去），由e>1，解得e=3+12.
故选：A.
【变式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D．233,+∞
【解题思路】设点Ax,y，则可取C−3y,3x，代入双曲线方程整理可得y2x2=3a2+b2a2+3b2，结合渐近线列式求解即可.
【解答过程】由题意可知：双曲线的渐近线方程为y=±bax，
设点Ax,y，则可取C−3y,3x，
则x2a2−y2b2=13y2a2−3x2b2=1，整理得y2x2=3a2+b2a2+3b2解得b2>a2，即c2−a2>a2，可得c2a2>2，则e=ca=c2a2>2，
所以该双曲线离心率的取值范围是2,+∞．
故选：A.
【题型9 双曲线的简单几何性质问题】
【例9】（2024·福建福州·模拟预测）以y=±3x为渐近线的双曲线可以是（ ）
A．x23−y2=1B．x2−y29=1
C．y23−x2=1D．y2−x29=1
【解题思路】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.
【解答过程】对于选项A，由x23−y2=1得渐近线方程为y=±33x，所以选项A错误，
对于选项B，由x2−y29=1得渐近线方程为y=±3x，所以选项B正确，
对于选项C，由y23−x2=1得渐近线方程为y=±3x，所以选项C错误，
对于选项D，由y2−x29=1得渐近线方程为y=±13x，所以选项D错误，
故选：B.
【变式9-1】（2024·湖南·三模）双曲线C:y2a2−x2=1(a>0)的上焦点F2到双曲线一条渐近线的距离为a2，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（ ）
A．−4B．4C．−2D．2
【解题思路】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及c2=a2+1的关系即可求解.
【解答过程】由对称性，不妨设F20,c，双曲线的渐近线是y=±ax，
则由题意ca2+1=cc=1=a2，解得a=2，故所求为−a2=−4.
故选：A.
【变式9-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知双曲线方程为2x2−y2=λ（λ≠0），则不因λ的值变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．焦距C．离心率D．渐近线方程
【解题思路】分λ>0和λ<0，再代入选项讨论即可.
【解答过程】因为双曲线方程为2x2−y2=λ（λ≠0），
所以双曲线的渐近线方程为2x2−y2=0，即y=±2x.
所以渐近线方程不变，故D选项正确；
双曲线方程化为x2λ2−y2λ=1，
当λ>0，双曲线的焦点和顶点在x轴上，顶点坐标为2λ2,0，焦距为6λ，
离心率为6λ22λ2=3，显然顶点坐标和焦距是随λ变化的，则AB错误；
当λ<0，双曲线方程化为y2−λ−x2−λ2=1，
双曲线的焦点和顶点在y轴上，顶点坐标为0,−λ，焦距为−6λ，
离心率为−6λ2−λ=62，则C错误；
故选：D.
【变式9-3】（2024·河北·模拟预测）双曲线Γ:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1,F2，过F2的直线与其一支交于A，B两点，点B在第四象限.以F1为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段AF1,BF1分别交于M，N两点，且|AM|=3|BN|,F1B⊥F2B，则Γ的渐近线方程是（ ）
A．y=±6xB．y=±62x
C．y=±63xD．y=±64x
【解题思路】设|BN|=t(t>0)，则|AM|=3|BN|=3t，由已知结合双曲线定义，在△AF1B中由勾股定理求得t=a，在△BF1F2中，利用勾股定理得a2=25c2，进而可求答案．
【解答过程】解：如图，由题意得：|F1M|=|F1N|=2a，
设|BN|=t(t>0)，则|AM|=3|BN|=3t，
所以|AF1|=2a+3t，|BF1|=2a+t，
由双曲线的定义得：|AF1|−|AF2|=|BF1|−|BF2|=2a，
所以|AF2|=3t，|BF2|=t，则|AB|=|AF2|+|BF2|=4t，
因为F1B⊥F2B，在Rt△AF1B中，|BF1|2+|AB|2=|AF1|2，
即(2a+t)2+(4t)2=(2a+3t)2，解得t=a，
所以|BF1|=3a，|BF2|=a，
在Rt△BF1F2中，|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，
即(3a)2+a2=(2c)2，
可得a2=25c2，
所以b2=a2−c2=35c2，
所以a2b2=23，即ab=63，
故双曲线Γ的渐近线方程为y=±63x．
故选：C．
【题型10 双曲线的实际应用问题】
【例10】（2024·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cs∠F1F2P=7−14，则该双曲线的离心率为（ ）

A．2B．2C．72D．7
【解题思路】根据三角函数的定义表示出F2P，利用勾股定理表示出F1P，根据双曲线的定义得到2a=c，即得离心率.
【解答过程】设双曲线C的焦距为2c，因为cs∠F1F2P=7−14，F1P⊥F2P，
所以F2P=F1F2cs∠F1F2P=7−12c，F1P=F1F22−F2P2=7+12c，
所以2a=F1P−F2P=c，故该双曲线的离心率为ca=2．
故选：B.
【变式10-1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB=205米，若水面上升5米，则水面宽为（ ）
A．102米B．152米C．123米D．30米
【解题思路】设双曲线方程为y2a2−x2a2=1a>0,y<0，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设Dx,−a−5.由题可得B105,−a−10，代入方程可得a，后可得x，即可得答案.
【解答过程】设双曲线方程为y2a2−x2a2=1a>0,y<0，如图建立直角坐标系.
水面上升5米后，设水面宽为CD，设Dx,−a−5，其中x>0.
又由题可得B105,−a−10，代入双曲线方程可得：
a+102a2−500a2=1⇒a+102−500=a2⇒a=20 ，则Dx,−25.
将D点坐标代入双曲线方程可得：625400−x2400=1⇒x=15，则D15,−25.
又由对称性可得C−15,−25，则水面上升5米，则水面宽为30米.
故选：D.
【变式10-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离3403mB．东偏南45°方向，距离3403m
C．西偏北45°方向，距离1703mD．东偏南45°方向，距离1703m
【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【解答过程】如图，

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（−680，0），B（680，0），C（0，680）.
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C 同时听到巨响声，得PA=PC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=−x，因B点比A点晚2s听到爆炸声，故，PB−PA=340×2=680
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线左支x2a2−y2b2＝1(x<0)上，
依题意得a=340，c=680，∴b2=c2−a2=6802−3402=3×3402,
故双曲线方程为x23402−y23×3402＝1，将y=−x 代入上式，得x=±1706，∵x<0，∴x=−1706，y=1706 ，即P(−1706，1706)，
故PO＝3403 .
故巨响发生在接报中心的西偏北450距中心3403m处．
故选：A.
【变式10-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为5022 m，楼顶直径为506 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为（ ）
A．350 mB．375 mC．400 mD．450 m
【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
由已知可得a ，将点C坐标代入解得b 的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程
解得B 的坐标即可求得地标建筑的高.
【解答过程】解：以地标建筑的最细处所在直线为x 轴，双曲线的虚轴为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可得：A50,0，C2522,−300，
设B256,y0 y0>0，双曲线的方程是x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
则a=5025222502−−3002b2=1，解得a=50b=1002 ，
所以双曲线的方程是：x22500−y220000=1，
将点B256,y0代入得252×62500−y0220000=1，
解得y0=100，
所以该地标建筑的高为：300+100=400 m .
故选：C.
【题型11 椭圆与双曲线综合】
【例11】（2024·四川乐山·三模）设双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，椭圆C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2，若e1=23e2，则a=（ ）
A．28B．24C．22D．63
【解题思路】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求a的值.
【解答过程】由椭圆C2:x24+y2=1，可得a2=2,b2=1，
所以c2=4−1=3，所以椭圆的离心率e2=32，
又e1=23e2，所以双曲线的离心率为e1=3，
又双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，所以c=a2+1，
所以a2+1a=3，解得a=24.
故选：B.
【变式11-1】（2024·山西太原·一模）设双曲线x2a2−y2b2=1（a、b均为正值）的渐近线的倾斜角为α，且该双曲线与椭圆x24+y23=1的离心率之积为1，且有相同的焦距，则sinα=（ ）
A．37B．713C．32D．213
【解题思路】运用共焦点条件得到双曲线中c=1，由两曲线的离心率之积为1得ca=2，再用a2+b2=c2转化得到ba=3，进而得到sinα.
【解答过程】由题意易得，在双曲线中c=1，即a2+b2=1，
由于椭圆离心率为e=12，且由两曲线的离心率之积为1得ca=2.
∴c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=4，∴b2a2=3，∴ba=3，∴tanα=±3，又0<α<π，
∴α=π3或α=2π3，∴sinα=32
故选：C.
【变式11-2】（2024·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2a2−y2b2=1的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过255，则e2e1的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出e2e1=a2+b2a2−b2，令k=ba，结合ba≤255，即可求解.
【解答过程】由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e1=ca=1−b2a2，
双曲线x2a2−y2b2=1的离心率e2=ca=1+b2a2，可得e2e1=a2+b2a2−b2=1+(ba)21−(ba)2，
令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过255，即ba≤255，
则0则e2e1的最大值是3.
故选：B.
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22最小为（ ）
A．2+34B．2+32C．3+224D．3+222
【解题思路】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造1e12+3e22=4，利用基本不等式，即可求解.
【解答过程】设两曲线的半焦距为c，由余弦定理得F1F22=PF12+PF22−2PF1⋅PF2cs60∘．
在椭圆中，F1F22=PF1+PF22−2PF1⋅PF21+cs60∘，
得PF1⋅PF2= 2n21+cs60∘=43n2．
在双曲线中，F1F22=PF1−PF22+2PF1⋅PF21−cs60∘，
得PF1⋅PF2=2b21−cs60∘=4b2．从而4n23=4b2，得n2=3b2，
则m2=n2+c2=3b2+c2,a2=c2−b2，即m2+3a2=4c2,m2c2+3a2c2=4，
即1e12+3e22=4．
所以e12+e22=14e12+e221e12+3e22=144+e22e12+3e12e22≥14×(4+23)=2+32，
当且仅当e22=3e12=3+34时等号成立.
故选：B.
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，则“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】易得充分性成立，当m<0 时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线，可知必要性不成立.
【解答过程】当m∈(0,8)时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的椭圆， 故充分性成立；
当m<0 时，曲线C:x28+y2m=1表示焦点在x轴上的双曲线，
故由曲线C的焦点在x轴上推不出m∈(0,8)，即必要性不成立；
所以“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）设F1，F2是双曲线C: x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若△PQF2是正三角形，则|PF1|=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【解题思路】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.
【解答过程】对于双曲线C: x24−y28=1，则a=2，
根据双曲线定义有|QF1|−|QF2|=2a=4，
又|QF1|=|PF1|+|PQ|，|QF2|=|PQ|，故|PF1|=4．
故选：B.

3．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为2,0，以线段FP为直径的圆与圆O:x2+y2=3相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x24−y23=1B．x23−y2=1C．x212−y29=1D．x216−y33=1
【解题思路】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.
【解答过程】由题意可知：圆O:x2+y2=3的圆心为O0,0，半径r=3，
设F1−2,0，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为R，
若圆M与圆O外切，则PF1=2OM=2r+R，PF=2R，
可得PF1−PF=2r+R−2R=2r=23；
若圆M与圆O内切，则PF1=2OM=2R−r，PF=2R，
可得PF−PF1=2R−2R−r=2r=23；
综上所述：PF1−PF=23，
可知动点P的轨迹是以F1,F为焦点的双曲线，且a=3,c=2，则b=c2−a2=1，
所以动点P的轨迹方程为x23−y2=1.
故选：B.
4．（2024·天津南开·二模）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若F1F2=AF2，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．x23−y24=1B．x24−y3=1
C．x29−y216=1D．x216−y29=1
【解题思路】|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c=5a，4c=5b，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【解答过程】因为|AF2|=|F2F1|=2c，
由双曲线的定义可知AF1−AF2=2a，
可得|AF1|=2a+2c，
由于过F2的直线斜率为247，
所以在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1=−247，则cs∠AF2F1=−725，
由余弦定理得：cs∠AF2F1=−725=4c2+4c2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，
化简得39c2−50ac−25a2=0，可得3c=5a，即a=35c，b=45c，
可得a:b=3:4，a2:b2=9:16，
所以此双曲线的标准方程可能为：x29−y216=1.
故选：C.
5．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过坐标原点O的直线与双曲线C交于M,N两点，且点M在第一象限，满足OM=OF.若点P在双曲线C上，且NP=4NF，则双曲线C的离心率为（ ）
A．52B．102C．22D．5
【解题思路】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得∠FNF2是直角，再利用双曲线的定义，及已知的两焦半径关系，结合勾股定理，可得长度关系，即可求得离心率.
【解答过程】
设双曲线右焦点为F2，连接MF,MF2,NF2,PF2，
由题意可知M,N关于原点对称，所以OM=ON=OF=OF2，
所以∠FNF2是直角，由NP=4NF，可设NF=m，则NP=4m，即FP=3m
由双曲线的定义可知：PF2−PF=2a，NF2−NF=2a，
则PF2=2a+3m，NF2=2a+m，
由∠FNF2是直角得：PF22=PN2+NF22，
则2a+3m2=16m2+2a+m2，解得：m=a，
又由∠FNF2是直角得：FF22=FN2+NF22，
则FF22=a2+9a2=10a2=4c2，解得：ca=52=102，所以离心率e=102
故选：B.
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，点M在C上且MF⊥x轴，直线MA1，MA2与y轴分别交于点P，Q，若3OQ=4OP（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（ ）
A．y=±26xB．y=±210xC．y=±43xD．y=±215x
【解题思路】由题意求出直线MA1和直线MA2的方程，分别令x=0，可求出OQ,OP，结合3OQ=4OP代入化简即可得出答案.
【解答过程】由题意知Fc,0,A1−a,0,A2a,0，因为MF⊥x轴，
所以令x=c，可得c2a2−yM2b2=1，解得：yM=±b2a，设Mc,b2a，
直线MA1的斜率为：kMA1=b2a−0c+a=b2ac+a，
所以直线MA1的方程为：y=b2aa+cx+a，
令x=0可得y=b2a+c，所以OP=b2a+c，
直线MA2的斜率为：kMA2=b2a−0c−a=b2ac−a
所以直线MA2的方程为：y=b2ac−ax−a，
令x=0可得y=−b2c−a，所以OQ=b2c−a，
由3OQ=4OP可得4b2a+c=3b2c−a，解得：c=7a,
所以c2=a2+b2=49a2，解得：b2a2=48，即ba=±43
所以C的渐近线方程为y=±43x，
故选：C.
7．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为0,−6，若动点P位于y轴右侧，且到两定点F1−3,0，F23,0的距离之差为定值4，则△APF1周长的最小值为（ ）
A．3+45B．3+65C．4+45D．4+65
【解题思路】先根据双曲线的定义，判断P点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据PF1−PF2=2a和AF1=AF2把△PF1A的周长转化为PA+ PF2的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解.
【解答过程】由动点P到两定点F1−3,0，F23,0的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以F1−3,0，F23,0为焦点的双曲线的右支，
易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2得b2=5，则动点P的轨迹方程为x24−y25=1x>0，
如图：
又PF1−PF2=4，则PF1=PF2+4，且AF1=AF2=32+62=35
故△APF1的周长为:PA+AF1+PF1=PA+PF2+4+AF1=PA+PF2+4+35≥AF2+4+35=4+65，
当且仅当P，A，F2三点共线且P点位于A、F2之间时等号成立，故△APF1周长的最小值为4+65．
故选：D.
8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：x22−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①直线F1P的斜率的取值范围是−1,1；
②点P到C的两条渐近线的距离之积为12；
③|PO|2=PF1⋅PF2；
④PM=PN．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】利用解析几何中的坐标思想来研究，结合双曲线方程及联解方程组，通过坐标运算进行分析求解即可.
【解答过程】由题意知F1(−2,0)，F2(2,0)，设Px0,y0x0≥2，又点P在C上，所以x022−y022=1，
所以y02=x02−2，所以直线F1P的斜率kF1P=y0x0+2，
所以kF1P2=y0x0+22=x02−2x0+22，令t=x0+2，t≥2+2，
所以kF1P2=x02−2x0+22=(t−2)2−2t2=21t−12−1∈[0,1)
所以kF1P∈(−1,1)，即直线F1P的斜率的取值范围是(−1,1)，故①正确；
C的渐近线方程为y=±x，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为x0−y012+(−1)2⋅x0+y012+12=x02−y022=1．故②错误；
PF1⋅PF2=x0+22+y02⋅x0−22+y02 =x02+y02+4+4x0x02+y02+4−4x0
=x02+y02+42−16x02 =2x02+22−16x02 =4x04−8x02+4
=2x02−2=2x02−2=x02+y02=|OP|2，故③正确；
当y0≠0时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为y=kx−x0+y0，
由x22−y22=1y=kx−x0+y0得1−k2x2−2ky0−kx0x−y0−kx02−2=0，
所以Δ=−2ky0−kx02−41−k2−y0−kx02−2=0得，y0k−x02=0，
解得k=x0y0，
所以C在点P处的切线方程为y=x0y0x−x0+y0，即x0x−y0y=2．
当y0=0时，C在点P处的切线方程为x=x0，所以点P处的切线方程为x0x−y0y=2．
由x0x−y0y=2y=x，解得M2x0−y0,2x0−y0，
由x0x−y0y=2y=−x解得N2x0+y0,−2x0+y0
又2x0−y0+2x0+y02=x0，2x0−y0+−2x0+y02=y0，
所以点P是线段MN的中点，所以PM=PN，故④正确．
故选：C．
二、多选题
9．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线C的方程为x2a+y23=1，则（ ）
A．当a<0时，曲线C表示双曲线
B．当0C．当a=3时，曲线C表示圆
D．当a>3时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆
【解题思路】根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A，当a<0时，x2a+y23=1表示焦点在y轴双曲线，故A正确，
对于B，当0对于C, 当a=3时，x23+y23=1⇒x2+y2=3,表示圆，C正确，
对于D,当a>3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，D错误，
故选：AC.
10．（2024·重庆·三模）已知双曲线C:x2a2−y216=1(a>0)的左，右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上点，且△PF1F2的内切圆圆心为I(3,1)，则下列说法正确的是（ ）
A．a=3B．直线PF1的斜率为14
C．△PF1Fz的周长为643D．△PF1F2的外接圆半径为6512
【解题思路】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件F1A、F2A、IA以及与各个所需量的关系即可求出∠PF1A=2∠IF1A、∠PF2A=2∠IF2A和∠F2PF1，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式S△F1PF2=PF1+PF2+F1F2r2得△PF1Fz的周长、结合正弦定理得△PF1F2的外接圆半径.
【解答过程】如图1，由条件，点P应在双曲线C的右支上，
设圆I分别与△PF1F2的三边切于点M､N､A，则由题A3,0，
且PM=PN,F1M=F1A，F2N=F2A，
又∵PF1−PF2=F1M−F2N=AF1−F2A=xA+c−c−xA=2xA=2a
∴a=xA=3，A选项正确；
由选项A得F1−5,0,F25,0，连接IF1、IF2、IA，则tan∠IF1A=IAAF1=18，
所以kPF1=tan∠PF1A=tan2∠IF1A=2tan∠IF1A1−tan2∠IF1A=1663，B选项错误；
同理，tan∠PF2A=tan2∠IF2A=43，
∴tan∠F1PF2=−tan∠PF1A+∠PF2A=−125，
∴⇒tan∠F1PF22=32，
所以由焦三角面积公式得S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=323，
又S△F1PF2=PF1+PF2+F1F2r2，故得PF1+PF2+F1F2=643，
∴△PF1F2的周长为643，C选项正确；
由tan∠F1PF2=−125⇒sin∠F1PF2=1213，
由正弦定理F1F2sin∠F1PF2=2R得R=6512，D选项正确.
故选：ACD.
11．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点P1,2是双曲线C:3x2−y2=1上一点，过P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A,B，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为y=±3x
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．PA⋅PB=13
D．△PAB的面积为316
【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A，再根据点到直线的距离判断BC，最后根据几何关系，求∠APB，再代入面积公式，即可求解.
【解答过程】因为双曲线的方程为C:3x2−y2=1，所以a=33,b=1，所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x.故A正确；
双曲线的右焦点233,0到渐近线y=3x的距离为d=22=1，故B正确；
由点到直线的距离公式可得PA⋅PB=3−22×3+22=14.故C错误.
如图，因为KOA=3，所以∠AOx=60∘.在△PAD和△OBD中，∠PAD=∠OBD=90∘，
∠PDA=∠ODB，所以∠APD=∠BOD=60∘，所以
S△PAB=12×PA⋅PBsin60∘=12×14×32=316，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·北京大兴·三模）双曲线y2−x2=1的焦点坐标是 0,2，0,−2 .
【解题思路】根据双曲线的方程可得答案.
【解答过程】因为双曲线y2−x2=1的焦点在y轴上，
a2=b2=1，c=2，
所以双曲线y2−x2=1的焦点坐标是0,2，0,−2.
故答案为：0,2，0,−2.
13．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若∠F1PF2的内角平分线与x轴的交点M平分线段OF2，则双曲线C的离心率为 102 ．
【解题思路】根据角平分线的性质可得PF1=3PF2，结合双曲线的定义得PF2=a,PF1=3a，根据直角三角形△PF1F2勾股定理即可求解.
【解答过程】

∵∠F1PF2的内角平分线与x轴的交点M平分线段OF2，
∴根据角平分线的性质可得PF1PF2=MF1MF2=c+c2c2=3⇒PF1=3PF2，
根据双曲线的定义PF1−PF2=2a⇒PF2=a,PF1=3a，
又∵PF1⊥PF2,F1F2=2c，
∴3a2+a2=2c2⇒c2a2=52，
∴双曲线C的离心率为e=ca=102，
故答案为：102.
14．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线E：x24−y25=1的左，右焦点，设点P是E的右支上一点，则5PF1−1PF2的最大值为 3−52 .
【解题思路】设PF1=m，PF2=n，根据双曲线的定义得到m−n=4，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解答过程】双曲线E:x24−y25=1中a=2，b=5，则c=a2+b2=3，
设PF1=mm≥a+c=5，PF2=nn≥c−a=1，
由双曲线的定义可得m−n=2a=4，
则5PF1−1PF2=5m−1n=14m−n5m−1n
=146−mn+5nm≤146−2mn⋅5nm=146−25=3−52，
当且仅当mn=5nm，即m=5n，即n=5+1>1，m=5+5时取等号，
所以5PF1−1PF2的最大值为3−52．
故答案为：3−52．
四、解答题
15．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过A−7,−62,B27,3两点；
(2)与双曲线x22−y2=1有公共的渐近线,且过点2,2．
【解题思路】（1）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可.
（2）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可.
【解答过程】（1）可设双曲线的方程为mx2−ny2=1，
则有49m−72n=1,28m−9n=1,解得m=125,n=175,
则双曲线的标准方程为x225−y275=1.
（2）设所求双曲线的方程为x22−y2=t(t≠0).
将点2,2代入双曲线方程得222−22=t,解得t=−1，
因此，所求双曲线的标准方程为y2−x22=1.
16．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）与双曲线y24−x22=1有相同的渐近线，且经过点M2,−2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长，焦点坐标，离心率．
【解题思路】（1）先求出双曲线y24−x22=1的渐近线方程y=±2x，从而由题意可得ba=2，所以双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的方程可化为x2a2−y22a2=1，再把M(2,−2)坐标代入方程中求出a的值，从而可得双曲线C的方程；
（2）由双曲线方程可得a=1，b=2，c=3，从而可得C的实轴长，焦点坐标，离心率．
【解答过程】（1）在双曲线y24−x22=1中，a′=2，b′=2，
则渐近线方程为y=±a′b′x=±2x，
∵双曲线C:x2a2−y2b2=1与双曲线y24−x22=1有相同的渐近线，
∴ba=2，
∴方程可化为x2a2−y22a2=1，
又双曲线C经过点M(2,−2)，代入方程，
∴2a2−22a2=1，解得a=1，b=2，
∴双曲线C的方程为x2−y22=1.
（2）由（1）知双曲线C:x2−y22=1中，
∵a=1，b=2，c=3，
∴实轴长2a=2，离心率为e=ca=3，
双曲线C的焦点坐标为(±3,0).
17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=95的距离的比是53，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动点M在y轴右侧，定点A5,2,求|MA|+35|MF|的最小值．
【解题思路】（1）根据题意，由(x−5)2+y2|x−95|=53化简求解；
（2）过点M作MN垂直于直线l: x=95，垂足为N，设MN=d，得到MF=53d，然后由MA+35MF=MA+d求解.
【解答过程】（1）解：由题意得：(x−5)2+y2|x−95|=53，
化简得：x29−y216=1.
（2）如图所示：
过点M作MN垂直于直线l: x=95，垂足为N，
设MN=d，则MFd=53，即MF=53d，
所以MA+35MF=MA+d，
显然，当M,N,A三点共线时，MA+35MF取得最小值，
为xA−a2c=5−95=165.
18．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线C:x22−y2=1,P是C上的任意一点.
(1)设点A的坐标为4,0，求PA的最小值；
(2)若F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，∠F1PF2=60∘，求△PF1F2的面积.
【解题思路】（1）设出点P的坐标为x0,y0，表示出PA，利用点P再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出PF1PF2=4，结合面积公式计算即可.
【解答过程】（1）

设点P的坐标为x0,y0，
则|PA|2=x0−42+y02=x0−42+x022−1=32x02−8x0+15=32x0−832+133，
因为x0≥2，所以当x0=83时，PA取得最小值393.
（2）由双曲线的定义知PF1−PF2=22①,
由余弦定理得(23)2=PF12+PF22−2PF1PF2cs60∘②,
根据①②可得PF1PF2=4，所以S△PF1F2=12⋅PF1PF2sin60∘=12×4×32=3.
19．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设双曲线E：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）过P13,0，P23,4，P33,2，P4−3,2四个点中的三个点．
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线m，n，其中m与E的右支交于A，B两点，与直线x=32交于点M，n与E的右支相交于C，D两点，与直线x=32交于点N，求1MA+1MB+1NC+1ND的最大值．
【解题思路】（1）由题意可得双曲线不过点P2，将其余点坐标代入双曲线方程计算即可得；
（2）借助韦达定理与两点间距离公式表示出1MA+1MB并化简后，可得1NC+1ND，结合基本不等式即可得解.
【解答过程】（1）由P23,4，P33,2，P4−3,2，P3与P2不能同过，P3与P4对称，
故该双曲线不过点P2，
则有3a2−0b2=19a2−2b2=1，解得a2=3b2=1，即双曲线方程为x23−y2=1；
（2）由双曲线方程为x23−y2=1，故F2,0，
由题意可知，m，n的斜率均存在，
设m的斜率为k，则n的斜率为−1k，
即lm:y=kx−2，设Ax1,y1、Bx2,y2，
令x=32，则y=k32−2=−k2，即M32,−k2，
联立双曲线x23−y2=1y=kx−2，有3k2−1x2−12k2x+12k2+3=0，
由双曲线性质可知k∈−∞,−ba∪ba,+∞，即k∈−∞,−33∪33,+∞，
此时Δ>0恒成立，
有x1+x2=12k23k2−1，x1x2=12k2+33k2−1，
则MA=1+k2⋅x1−32，MB=1+k2⋅x2−32，
故1MA+1MB=11+k2⋅x1−32+11+k2⋅x2−32=11+k2⋅x1−32+x2−32x1−32x2−32
=11+k2⋅x1+x2−3x1x2−32x1+x2+94=11+k2⋅12k23k2−1−312k2+33k2−1−32⋅12k23k2−1+94
=11+k2⋅12k2−33k2−112k2+3−18k2+943k2−1=11+k2⋅3k2+33k2+34=41+k2，
同理可得1NC+1ND=41+−1k2=4k1+k2，
则1MA+1MB+1NC+1ND=41+k2+4k1+k2=4k2+2k+11+k2=41+2k1+k2
=41+21k+k≤41+221k⋅k=42，当且仅当k=1，即k=±1时，等号成立，
即1MA+1MB+1NC+1ND的最大值为42.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)
(3)了解双曲线的简单应用
2023年新高考I卷：第16题，5分
2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分
2023年北京卷：第12题，5分
2023年天津卷：第9题，5分
2024年新高考I卷：第12题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分
双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程