第02讲 函数与基本初等函数（2022-2024高考真题）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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一、单项选择题
1．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100B．f(20)>1000
C．f(10)<1000D．f(20)<10000
【解题思路】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【解答过程】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x−1)+f(x−2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）已知x1,y1，x2,y2是函数y=2x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．lg2y1+y22x1+x22
C．lg2y1+y22x1+x2
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【解答过程】由题意不妨设x1对于选项AB：可得2x1+2x22>2x1·2x2=2x1+x22，即y1+y22>2x1+x22>0，
根据函数y=lg2x是增函数，所以lg2y1+y22>lg22x1+x22=x1+x22，故B正确，A错误；
对于选项D：例如x1=0,x2=1，则y1=1,y2=2，
可得lg2y1+y22=lg232∈0,1，即lg2y1+y22<1=x1+x2，故D错误；
对于选项C：例如x1=−1,x2=−2，则y1=12,y2=14，
可得lg2y1+y22=lg238=lg23−3∈−2,−1，即lg2y1+y22>−3=x1+x2，故C错误，
故选：B.
3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d=S−1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3N2=2N1B．2N2=3N1
C．N22=N13 D．N23=N12
【解题思路】根据题意分析可得S−1lnN1=2.1,S−1lnN2=3.15，消去S即可求解.
【解答过程】由题意得S−1lnN1=2.1,S−1lnN2=3.15，则2.1lnN1=3.15lnN2，即2lnN1=3lnN2，所以N23=N12.
故选：D.
4．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0]B．[−1,0]C．[−1,1]D．[0,+∞)
【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【解答过程】因为fx在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足−−2a2×−1≥0−a≤e0+ln1，解得−1≤a≤0，
即a的范围是[−1,0].
故选：B.
5．（2024·天津·高考真题）若a=4.2−0.3，b=4.20.3，c=lg4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．b>c>a
【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【解答过程】因为y=4.2x在R上递增，且−0.3<0<0.3，
所以0<4.2−0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2−0.3<1<4.20.3，即0因为y=lg4.2x在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，
所以lg4.20.2所以b>a>c，
故选：B.
6．（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【解答过程】根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b，所以二者互为充要条件.
故选：C.
7．（2024·全国·高考真题）设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为（ ）
A．18B．14C．12D．1
【解题思路】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为−b,+∞，分类讨论−a与−b,1−b的大小关系，结合符号分析判断，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，进而可得x+a的符号，即可得b=a+1，代入可得最值.
【解答过程】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为−b,+∞，
令x+a=0解得x=−a；令ln(x+b)=0解得x=1−b；
若−a≤−b，当x∈−b,1−b时，可知x+a>0,lnx+b<0，
此时f(x)<0，不合题意；
若−b<−a<1−b，当x∈−a,1−b时，可知x+a>0,lnx+b<0，
此时f(x)<0，不合题意；
若−a=1−b，当x∈−b,1−b时，可知x+a<0,lnx+b<0，此时f(x)>0；
当x∈1−b,+∞时，可知x+a≥0,lnx+b≥0，此时f(x)≥0；
可知若−a=1−b，符合题意；
若−a>1−b，当x∈1−b,−a时，可知x+a<0,lnx+b>0，
此时f(x)<0，不合题意；
综上所述：−a=1−b，即b=a+1，
则a2+b2=a2+a+12=2a+122+12≥12，当且仅当a=−12,b=12时，等号成立，
所以a2+b2的最小值为12；
解法二：由题意可知：f(x)的定义域为−b,+∞，
令x+a=0解得x=−a；令ln(x+b)=0解得x=1−b；
则当x∈−b,1−b时，lnx+b<0，故x+a≤0，所以1−b+a≤0；
x∈1−b,+∞时，lnx+b>0，故x+a≥0，所以1−b+a≥0；
故1−b+a=0， 则a2+b2=a2+a+12=2a+122+12≥12，
当且仅当a=−12,b=12时，等号成立，
所以a2+b2的最小值为12.
故选：C.
8．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f(x)=−lnxB．f(x)=12x
C．f(x)=−1xD．f(x)=3|x−1|
【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【解答过程】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−lnx在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=1x在0,+∞上单调递减，
所以fx=12x在0,+∞上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−1x在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于D，因为f12=312−1=312=3，f1=31−1=30=1,f2=32−1=3，
显然fx=3x−1在0,+∞上不单调，D错误.
故选：C.
9．（2023·全国·高考真题）若fx=x+aln2x−12x+1为偶函数，则a=（ ）．
A．−1B．0C．12D．1
【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
【解答过程】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(−1)，∴(1+a)ln13=(−1+a)ln3，解得a=0，
当a=0时，fx=xln2x−12x+1，2x−12x+1>0，解得x>12或x<−12，
则其定义域为x|x>12或x<−12，关于原点对称.
f−x=−xln2−x−12−x+1=−xln2x+12x−1=−xln2x−12x+1−1=xln2x−12x+1=fx，
故此时fx为偶函数.
故选：B.
10．（2023·全国·高考真题）已知函数fx=e−(x−1)2．记a=f22,b=f32,c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解答过程】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为62−1−1−32=6+32−42，而(6+3)2−42=9+62−16=62−7>0，
所以62−1−1−32=6+32−42>0，即62−1>1−32
由二次函数性质知g(62)因为62−1−1−22=6+22−42，而(6+2)2−42=8+43−16=43−8=4(3−2)<0，
即62−1<1−22，所以g(62)>g(22)，
综上，g(22)又y=ex为增函数，故ac>a.
故选：A.
11．（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.
【解答过程】因为fx=xexeax−1为偶函数，则fx−f−x=xexeax−1−−xe−xe−ax−1=xex−ea−1xeax−1=0，
又因为x不恒为0，可得ex−ea−1x=0，即ex=ea−1x，
则x=a−1x，即1=a−1，解得a=2.
故选：D.
12．（2023·天津·高考真题）设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．aC．c【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5由y=x0.5在[0,+∞)上递增，则a=1.010.5>c=
所以b>a>c.
故选：D.
13．（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−2,0
C．0,2D．2,+∞
【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，
则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a24在区间0,1上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，
所以a的取值范围是2,+∞.
故选：D.
14．（2022·天津·高考真题）函数fx=x2−1x的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性、单调性及其在−∞,0上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】函数fx=x2−1x的定义域为xx≠0，
且f−x=−x2−1−x=−x2−1x=−fx，
函数fx为奇函数，A选项错误；
又当x<0时，fx=x2−1x≤0，C选项错误；
当x>1时，fx=x2−1x=x2−1x=x−1x函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
15．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（ ）
A．−3B．−2C．0D．1
【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,⋯,f6的值，即可解出．
【解答过程】[方法一]：赋值加性质
因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx−1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=−fx−1，fx−1=−fx−4，故fx+2=fx−4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6．因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3=f2−f1=−1−1=−2，f4=f−2=f2=−1，f5=f−1=f1=1，f6=f0=2，所以
一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由fx+y+fx−y=fxfy，联想到余弦函数和差化积公式
csx+y+csx−y=2csxcsy，可设fx=acsωx，则由方法一中f0=2,f1=1知a=2,acsω=1，解得csω=12，取ω=π3，
所以fx=2csπ3x，则
fx+y+fx−y=2csπ3x+π3y+2csπ3x−π3y=4csπ3xcsπ3y=fxfy，所以fx=2csπ3x符合条件，因此f(x)的周期T=2ππ3=6，f0=2,f1=1，且f2=−1,f3=−2,f4=−1,f5=1,f6=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3．
故选：A．
16．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fk=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
【解题思路】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x−2)=−2，从而得到f3+f5+…+f21=−10，f4+f6+…+f22=−10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3=6从而得到f1的值即可求解.
【解答过程】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2−x=gx+2，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f3+f5+…+f21=−2×5=−10，
f4+f6+…+f22=−2×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=−2−f0=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g2−x+gx+4=12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5−g3=−1.
所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+…+f21+f4+f6+…+f22=−1−3−10−10=−24.
故选：D.
17．（2022·天津·高考真题）化简(2lg43+lg83)(lg32+lg92)的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.
【解答过程】原式=(2×12lg23+13lg23)(lg32+12lg32)
=43lg23×32lg32=2，
故选：B.
18．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,lg83=b，则4a−3b=（ ）
A．25B．5C．259D．53
【解题思路】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【解答过程】因为2a=5，b=lg83=13lg23，即23b=3，所以4a−3b=4a43b=2a223b2=5232=259．
故选：C.
19．（2022·全国·高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=lg910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，lg89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
又lg8lg10lg10lg9，即lg89>m，
所以b=8m−9<8lg89−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=lg910∈(1,1.5)．
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f′(x)=mxm−1−1，
令f′(x)=0，解得x0=m11−m ，由m=lg910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9lg910−10=0，所以a>0>b.
故选：A.
20．（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x，有（ ）
A．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0
C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13
【解题思路】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【解答过程】f−x+fx=11+2−x+11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；
f−x−fx=11+2−x−11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；
故选：C．
二、多项选择题
21．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp0，其中常数p0p0>0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（ ）．
A．p1≥p2B．p2>10p3
C．p3=100p0D．p1≤100p2
【解题思路】根据题意可知Lp1∈60,90,Lp2∈50,60,Lp3=40，结合对数运算逐项分析判断.
【解答过程】由题意可知：Lp1∈60,90,Lp2∈50,60,Lp3=40，
对于选项A：可得Lp1−Lp2=20×lgp1p0−20×lgp2p0=20×lgp1p2，
因为Lp1≥Lp2，则Lp1−Lp2=20×lgp1p2≥0，即lgp1p2≥0，
所以p1p2≥1且p1,p2>0，可得p1≥p2，故A正确；
对于选项B：可得Lp2−Lp3=20×lgp2p0−20×lgp3p0=20×lgp2p3，
因为Lp2−Lp3=Lp2−40≥10，则20×lgp2p3≥10，即lgp2p3≥12，
所以p2p3≥10且p2,p3>0，可得p2≥10p3，
当且仅当Lp2=50时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为Lp3=20×lgp3p0=40，即lgp3p0=2，
可得p3p0=100，即p3=100p0，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：Lp1−Lp2=20×lgp1p2，
且Lp1−Lp2≤90−50=40，则20×lgp1p2≤40，
即lgp1p2≤2，可得p1p2≤100，且p1,p2>0，所以p1≤100p2，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
22．（2024·上海·高考真题）已知fx=x,x>01,x≤0,则f3= 3 ．
【解题思路】利用分段函数的形式可求f3.
【解答过程】因为fx=x,x>01,x≤0,故f3=3，
故答案为：3.
23．（2024·上海·高考真题）已知fx=x3+a，x∈R，且fx是奇函数，则a= 0 ．
【解题思路】根据奇函数的性质可求参数a.
【解答过程】因为fx是奇函数，故f−x+f(x)=0即x3+a+−x3+a=0，
故a=0，
故答案为：0.
24．（2024·全国·高考真题）已知a>1且1lg8a−1lga4=−52，则a= 64 ．
【解题思路】将lg8a,lga4利用换底公式转化成lg2a来表示即可求解.
【解答过程】由题1lg8a−1lga4=3lg2a−12lg2a=−52，整理得lg2a2−5lg2a−6=0，
⇒lg2a=−1或lg2a=6，又a>1，
所以lg2a=6=lg226，故a=26=64
故答案为：64.
25．（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+lg2x，则f12= 1 ．
【解题思路】根据给定条件，把x=12代入，利用指数、对数运算计算作答.
【解答过程】函数f(x)=4x+lg2x，所以f(12)=412+lg212=2−1=1.
故答案为：1.
26．（2023·天津·高考真题）设a∈R,函数fx=ax2−2x−x2−ax+1,若fx恰有两个零点，则a的取值范围为 −∞,0∪0,1∪1,+∞ ．
【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．
【解答过程】（1）当x2−ax+1≥0时，fx=0⇔ a−1x2+a−2x−1=0，
即a−1x−1x+1=0，
若a=1时，x=−1，此时x2−ax+1≥0成立；
若a≠1时，x=1a−1或x=−1，
若方程有一根为x=−1，则1+a+1≥0，即a≥−2且a≠1；
若方程有一根为x=1a−1，则1a−12−a×1a−1+1≥0，解得：a≤2且a≠1；
若x=1a−1=−1时，a=0，此时1+a+1≥0成立．
（2）当x2−ax+1<0时，fx=0⇔ a+1x2−a+2x+1=0，
即a+1x−1x−1=0，
若a=−1时，x=1，显然x2−ax+1<0不成立；
若a≠−1时，x=1或x=1a+1，
若方程有一根为x=1，则1−a+1<0，即a>2；
若方程有一根为x=1a+1，则1a+12−a×1a+1+1<0，解得：a<−2；
若x=1a+1=1时，a=0，显然x2−ax+1<0不成立；
综上，
当a<−2时，零点为1a+1，1a−1；
当−2≤a<0时，零点为1a−1，−1；
当a=0时，只有一个零点−1；
当0当a=1时，只有一个零点−1；
当1当a>2时，零点为1,−1．
所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．
故答案为：−∞,0∪0,1∪1,+∞．
27．（2022·北京·高考真题）函数f(x)=1x+1−x的定义域是 −∞,0∪0,1 ．
【解题思路】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【解答过程】解：因为fx=1x+1−x，所以1−x≥0x≠0，解得x≤1且x≠0，
故函数的定义域为−∞,0∪0,1；
故答案为：−∞,0∪0,1.
28．（2022·北京·高考真题）设函数f(x)=−ax+1, x【解题思路】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0或−a2+1≥a−22， 解得 0【解答过程】解：若a=0时，f(x)={1(x−2)2,x<0,x≥0，∴f(x)min=0；
若a<0时，当x若a>0时，
当xf(a)=−a2+1，
当x>a时，f(x)min={0(a−2)2(0∴−a2+1≥0或−a2+1≥（a−2）2，
解得0综上可得0≤a≤1；
故答案为：0（答案不唯一）；1.
29．（2022·浙江·高考真题）已知函数f(x)=−x2+2, x≤1,x+1x−1, x>1,则ff12= 3728 ；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是 3+3 ．
【解题思路】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【解答过程】由已知f(12)=−122+2=74，f(74)=74+47−1=3728，
所以 ff(12)=3728，
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3，所以−1≤x≤1，
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤3，所以11≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+3，所以[a,b]⊆[−1,2+3]，
所以b−a的最大值为3+3.
故答案为：3728；3+3.
30．（2022·天津·高考真题）设a∈R，对任意实数x，记fx=minx−2,x2−ax+3a−5．若fx至少有3个零点，则实数a的取值范围为 a≥10 .
【解题思路】设gx=x2−ax+3a−5，ℎx=x−2，分析可知函数gx至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围.
【解答过程】设gx=x2−ax+3a−5，ℎx=x−2，由x−2=0可得x=±2.
要使得函数fx至少有3个零点，则函数gx至少有一个零点，则Δ=a2−12a+20≥0，
解得a≤2或a≥10.
①当a=2时，gx=x2−2x+1，作出函数gx、ℎx的图象如下图所示：
此时函数fx只有两个零点，不合乎题意；
②当a<2时，设函数gx的两个零点分别为x1、x2x1要使得函数fx至少有3个零点，则x2≤−2，
所以，a2<−2g−2=4+5a−5≥0，解得a∈∅；
③当a=10时，gx=x2−10x+25，作出函数gx、ℎx的图象如下图所示：
由图可知，函数fx的零点个数为3，合乎题意；
④当a>10时，设函数gx的两个零点分别为x3、x4x3要使得函数fx至少有3个零点，则x3≥2，
可得a2>2g2=4+a−5≥0，解得a>4，此时a>10.
综上所述，实数a的取值范围是10,+∞.
故答案为：10,+∞.
31．（2022·全国·高考真题）若fx=lna+11−x+b是奇函数，则a= −12 ，b= ln2 ．
【解题思路】根据奇函数的定义即可求出．
【解答过程】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称
∴a≠0
若奇函数的f(x)=ln|a+11−x|+b有意义，则x≠1且a+11−x≠0
∴x≠1且x≠1+1a，
∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，
∴1+1a=−1，解得a=−12，
由f(0)=0得，ln12+b=0，
∴b=ln2，
故答案为：−12；ln2．
[方法二]：函数的奇偶性求参
f(x)=ln|a+11−x|+b=ln|a−ax+11−x|+b=ln|ax−a−11−x|+b
f(−x)=ln|ax+a+11+x|+b
∵函数f(x)为奇函数
∴f(x)+f(−x)=ln|ax−a−11−x|+ln|ax+a+11+x|+2b=0
∴ln|a2x2−(a+1)2x2−1|+2b=0
∴a21=(a+1)21⇒2a+1=0⇒a=−12
−2b=ln14=−2ln2⇒b=ln2∴a=−12,b=ln2
[方法三]：
因为函数fx=lna+11−x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a+11−x≠0可得，1−xa+1−ax≠0，所以x=a+1a=−1，解得：a=−12，即函数的定义域为−∞,−1∪−1,1∪1,+∞，再由f0=0可得，b=ln2．即fx=ln−12+11−x+ln2=ln1+x1−x，在定义域内满足f−x=−fx，符合题意．
故答案为：−12；ln2．声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60~90
混合动力汽车
10
50∼60
电动汽车
10
40