第06讲 数列（2022-2024高考真题）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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一、单项选择题
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=（ ）
A．−2B．73C．1D．29
2．（2024·全国·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1=（ ）
A．72B．73C．−13D．−711
3．（2023·全国·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和．若a2+a6=10,a4a8=45，则S5=（ ）
A．25B．22C．20D．15
4．（2023·全国·高考真题）设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S5=5S3−4，则S4=（ ）
A．158B．658C．15D．40
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=csann∈N∗，若S=a,b，则ab=（ ）
A．－1B．−12C．0D．12
6．（2023·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2023·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=−5，S6=21S2，则S8=（ ）．
A．120B．85C．−85D．−120
8．（2022·全国·高考真题）已知等比数列an的前3项和为168，a2−a5=42，则a6=（ ）
A．14B．12C．6D．3
9．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+1α1，b2=1+1α1+1α2，b3=1+1α1+1α2+1α3，…，依此类推，其中αk∈N∗(k=1,2,⋯)．则（ ）
A．b110．（2022·北京·高考真题）设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
11．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列an满足首项a1>0,q>1，记In=x−yx,y∈a1,a2∪an,an+1，若对任意正整数n集合In是闭区间，则q的取值范围是 ．
12．（2024·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10= .
13．（2024·北京·高考真题）设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M=k|ak=bk,k∈N∗，给出下列4个结论：
①若an与bn均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若an与bn均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
14．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列an，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a9=192，则a7= ；数列an所有项的和为 ．
15．（2023·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和．若8S6=7S3，则an的公比为 ．
16．（2023·全国·高考真题）已知an为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=−8，则a7= .
17．（2022·全国·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d= ．
18．（2022·北京·高考真题）已知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：
①an的第2项小于3； ②an为等比数列；
③an为递减数列； ④an中存在小于1100的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．（2024·全国·高考真题）已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1−3.
(1)求an的通项公式；
(2)求数列Sn的前n项和.
20．（2024·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知4Sn=3an+4．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=(−1)n−1nan，求数列bn的前n项和Tn．
21．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前n项和为Sn．若a1=1,S2=a3−1．
(1)求数列an前n项和Sn；
(2)设bn=k,n=akbn−1+2k,ak（ⅰ）当k≥2,n=ak+1时，求证：bn−1≥ak⋅bn；
（ⅱ）求i=1Snbi．
22．（2024·全国·高考真题）设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aji(1)写出所有的i,j，1≤i(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13−可分数列；
(3)从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和ji18．
23．（2023·全国·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=11,S10=40．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和Tn．
24．（2023·全国·高考真题）设Sn为数列an的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列an+12n的前n项和Tn．
25．（2023·天津·高考真题）已知an是等差数列，a2+a5=16,a5−a3=4．
(1)求an的通项公式和i=2n−12n−1ain∈N∗．
(2)设bn是等比数列，且对任意的k∈N*，当2k−1≤n≤2k−1时，则bk（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k−1（Ⅱ）求bn的通项公式及前n项和．
26．（2023·全国·高考真题）设等差数列an的公差为d，且d>1．令bn=n2+nan，记Sn,Tn分别为数列an,bn的前n项和．
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21，求an的通项公式；
(2)若bn为等差数列，且S99−T99=99，求d．
27．（2023·全国·高考真题）已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和，S4=32，T3=16．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn．
28．（2023·北京·高考真题）已知数列an,bn的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m}, an,bn的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0．对于k∈0,1,2,⋯,m，定义rk=maxi∣Bi≤Ak,i∈{0,1,2,⋯,m}，其中，maxM表示数集M中最大的数.
(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；
(2)若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj−1,j=1,2,⋯,m−1,，求rn；
(3)证明：存在p,q,s,t∈0,1,2,⋯,m，满足p>q,s>t, 使得Ap+Bt=Aq+Bs．
29．（2022·天津·高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=a2−b2=a3−b3=1．
(1)求an与bn的通项公式；
(2)设an的前n项和为Sn，求证：Sn+1+an+1bn=Sn+1bn+1−Snbn；
(3)求k=12nak+1−(−1)kakbk．
30．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列an的首项a1=−1，公差d>1．记an的前n项和为Snn∈N∗．
(1)若S4−2a2a3+6=0，求Sn；
(2)若对于每个n∈N∗，存在实数cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．
31．（2022·全国·高考真题）已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4．
(1)证明：a1=b1；
(2)求集合kbk=am+a1,1≤m≤500中元素个数．
32．（2022·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
33．（2022·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2．