重难点03 指、对、幂数比较大小问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc6550" 【题型1 利用函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc6550 \h 2
\l "_Tc6066" 【题型2 中间值法比较大小】 PAGEREF _Tc6066 \h 3
\l "_Tc24583" 【题型3 特殊值法比较大小】 PAGEREF _Tc24583 \h 4
\l "_Tc4986" 【题型4 作差法、作商法比较大小】 PAGEREF _Tc4986 \h 6
\l "_Tc5758" 【题型5 构造函数法比较大小】 PAGEREF _Tc5758 \h 7
\l "_Tc11593" 【题型6 数形结合比较大小】 PAGEREF _Tc11593 \h 9
\l "_Tc24977" 【题型7 含变量问题比较大小】 PAGEREF _Tc24977 \h 12
\l "_Tc4660" 【题型8 放缩法比较大小】 PAGEREF _Tc4660 \h 14
1、指、对、幂数的大小比较问题
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的性质比较大小】
【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=lg0.33，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.
【解答过程】a=30.3>30=1，0c=lg0.33b>c.
故选：A.
【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=lg213，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.
【解答过程】因为y=lg2x在x∈0,+∞上单调递增，
所以a=lg213因为y=1.2x为增函数，故b=1.20.2>1.20=1即b>1；
因为y=0.5x为减函数，故0<0.52.1<0.50=1即0综上a故选：A.
【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=lg4a4,c=lg4lg4a，则（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>a>b
【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=lg4a4=0.34<1，且0.34>0，则0c=lg4lg4a=lg40.3<0，
所以a>b>c，
故选：A.
【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a= lg0.20.3，b=lna，c=2a，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>aB．a>b>cC．b>a>cD．c>a>b
【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.
【解答过程】因为y=lg0.2x在(0,+∞)上单调递减，所以lg0.21因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以lna因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1，
综上，c>a>b.
故选：D.
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1−2lg2，c=2−lg310，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>aB．a>b>cC．a>c>bD．b>a>c
【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，
b=1−2lg2=1−lg4，且0=lg1因为lg310>lg39=2，则c=2−lg310<0，
故选：B.
【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=1e−12,b=lg65,c=lg56，则（ ）
A．a【解题思路】取两个中间值1和32，由a=e>32，b【解答过程】a=1e−12=e>94=32，b=lg65因此b故选：C．
【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a=e−1，b=lga，c=e0，则（ ）
A．bC．a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.
【解答过程】a=e−1∈(0,1)，b=lga=lge−1=−lge<0，c=e0=1，
所以b故选：A.
【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=lg0.90.3，c=lg1312，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12,1”分析大小即可.
【解答过程】因为y=0.5x在R上单调递减，则0.53.1<0.51=12，即a<12；
又因为y=lg0.9x在0,+∞上单调递减，则lg0.90.3>，即b>1；
可得c=lg1312=lg32，且y=lg3x在0,+∞上单调递增，
则12=lg33综上所述：a故选：D.
【题型3 特殊值法比较大小】
【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a=lg0.50.6，b=0.49−0.3，c=0.6−0.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>aB．b>a>cC．b>c>aD．c>a>b
【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.
【解答过程】因为y=lg0.5x在0,+∞上单调递减，所以lg0.51因为y=x0.6在0,+∞上单调递增，又0.49−0.3=0.7−0.6=1070.6，0.6−0.6=530.6，
又53>107>1，所以530.6>1070.6>10.6，故c>b>1，所以c>b>a.
故选：A.
【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5，c=lg163，则（ ）
A．c【解题思路】由对数函数单调性得c<12，构造函数f(x)=2x+x,x∈R，由函数的单调性得12【解答过程】由对数函数单调性得，c=lg163构造函数f(x)=2x+x,x∈R，则f(a)=2a+a=2，f(b)=2b+b=5
因为y=2x和y=x单调递增，所以f(x)单调递增，
因为2<5，即f(a)又f(12)=212+12=22+12<2，所以f(a)>f(12)，即a>12，
所以c故选：A．
【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若a=lg1314，b=(13)14，c=lg314，d=14则（ ）
A．a>b>d>cB．a>b>c>dC．b>d>a>cD．a>d>b>c
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.
【解答过程】因为a=lg1314=lg34>lg33=1，131<1314<130⇒13lg314所以a>b>d>c.
故选：A．
【变式3-3】（2024·天津和平·一模）设13a=2,b=lg123−lg129,c=12−13，则有（ ）
A．aC．b【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a最小，再利用b3>c3得出b,c大小.
【解答过程】由13a=2可得a=lg132b=lg123−lg129=lg1213=lg23>1，c=12−13=213=32>0，
下面比较b,c，
因为32>2322=8，所以3>232，
所以b=lg23>lg2232=32，
而c3=323=2<323=278，故c<32，所以c综上，b>c>a.
故选：B.
【题型4 作差法、作商法比较大小】
【例4】（2023·四川成都·一模）若a=3−14，b=32−13，c=lg1225，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a
【解题思路】先根据指对函数的单调性可得01，再作商比较a,b的大小，从而可求解.
【解答过程】因为0令ab=3−1432−13=3−14+13×2−13=3112×2−13，而3112×2−1312=311212×2−1312=3×2−4=316<1，即3112×2−13<1，所以a又因为c=lg1225=lg12410>lg12510>lg1212=1，所以c>b>a.
故选：D.
【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则（ ）
A．a【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出a,b,c的大小关系.
【解答过程】因为b−a=ln33−ln22=2ln3−3ln26=ln9−ln86>0，所以b>a；
又因为c−a=ln55−ln22=2ln5−5ln210=ln25−ln3210<0，所以a>c；
综上所述：c故选：C.
【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a=ln26,b=4ln2⋅ln3,c=(1+ln3)2，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c【解题思路】作差法比较a,b的大小，利用对数的性质比较a,c的大小.
【解答过程】a=ln26=ln2+ln32，c=(lne+ln3)2
因为ln2+ln3a=ln26=ln2+ln32，b=4ln2⋅ln3，
则a−b=ln2+ln32−4ln2⋅ln3=ln2−ln32>0，即b所以b故选：D.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a=20.4,b=30.25,c=lg0.70.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；利用作商法比较a,b的大小，即可得答案.
【解答过程】因为函数y=2x在R上单调递增，所以a=20.4<20.5=2．
又ab=×2030.25×20120=2835120=256243120>1，所以b因为0.52=0.25<0.343，故0.5<0.343=0.732,y=lg0.7x在(0,+∞)上单调递减，
所以lg0.70.5>>2，所以a所以实数a,b,c的大小关系为b故选：B．
【题型5 构造函数法比较大小】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a=ln72，b=ln7×ln2，c=ln7ln2，则（ ）
A．b【解题思路】根据0【解答过程】因为0ln7，故c的值最大．
下面比较a，b的大小．
构造函数fx=lnx−ln2−lnx⋅ln2=1−ln2lnx−ln2，
显然fx在0,+∞上单调递增．
因为f8=ln8−ln2−ln8⋅ln2=ln22−ln8=ln2lne2−ln8<0，所以a−b=f7故选：C．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设a=514，b=54，c=lg45，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a
【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】先比较a和b，构造函数y=x4在上0,+∞单调递增，
∵5144=5>625256=544，∴514>54，即a>b；
又∵4b=5，4c=4lg45=lg454，且45=4×256>54=625，
∴ 4c=lg454c，
∴a>b>c.
故选：A.
【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a=lg0.20.3,b=lg0.30.2,c=lg23，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．bC．a【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．
【解答过程】∵01，c=lg23>1，
又bc=lg0.30.2⋅lg32=lg2−1lg3−1⋅lg2lg3=lg22−lg2lg23−lg3，
因为函数fx=x2−x=x−122−14，在0,12上单调递减，且f0=0，又因为12>lg3>lg2>0，
所以flg3∴b故选：C．
【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+lg2a=0,2023−b=lg2023b,c=lg76，则（ ）
A．aC．b【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.
【解答过程】设f(x)=x2+lg2x， f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f12=−34<0,f(1)=1>0，所以12设g(x) =12023x−lg2023x， g(x)在(0,+∞)上单调递减，
又g(1)=12023>0,g(2023)=120232023−1<0，所以1< b<2023，
因为c=lg76综上可知，c故选：B.
【题型6 数形结合比较大小】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a=lnπ,b=lg3π,c=πln2，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b【解题思路】
利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【解答过程】∵e<3<π，∴a=lgeπ>lg3π=b>lg33=1，即a>b>1，
∵a=lnπ=lnπ2, c=πln2=ln2π，
下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=x2与y=2x，
由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，

当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈(2,4)时，x2>2x
由x=π∈(0,2)，故π2 <2π，故lnπ所以b故选：A.
【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若lg3x=lg4y=lg5z<−1，则（ ）
A．3x<4y<5zB．4y<3x<5zC．4y<5z<3xD．5z<4y<3x
【解题思路】设lg3x=lg4y=lg5z=m<−1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.
【解答过程】令lg3x=lg4y=lg5z=m<−1，则x=3m,y=4m,z=5m，
3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，
在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，
故5z<4y<3x
故选：D.
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a=12a,12b=lgab,ac=lg12c，则实数a,b,c的大小关系为（ ）
A．aC．c【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c∈0,1，得到lgab<1=lgaa，求出b>a，根据单调性得到c=12ac<12a=a，从而得到答案.
【解答过程】令fx=12x−x，其在R上单调递减，
又f0=1>0,f1=12−1=−12<0，
由零点存在性定理得a∈0,1，
则y=lgax在0,+∞上单调递减，
画出y1=12x与y=lgax的函数图象，

可以得到b∈0,1，
又y2=ax在R上单调递减，画出y2=ax与y3=lg12x的函数图象，

可以看出c∈0,1，
因为12b<120=1，故lgab<1=lgaa，故b>a，
因为a,c∈0,1，故ac>a1=a，
由ac=lg12c得，c=12ac<12a=a．
综上，c故选：D．
【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2x=3y=lg5z，则x,y,z大小关系正确的是（ ）
A．x>y>zB．x>z>y
C．z>x>yD．z>y>x
【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=lg5x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.
【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，
所以2x=3y=lg5z=t>1，
进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=lg5x与直线y=t>1的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知z>x>y
故选：C.
【题型7 含变量问题比较大小】
【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a､b､c都是正数，且4a=6b=9c，则下列结论错误的是（ ）
A．c【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,b,c，再利用换底公式和对数运算，判断选项.
【解答过程】设4a=6b=9c=k>1，所以a=lg4k=1lgk4，b=lg6k=1lgk6，c=lg9k=1lgk9，
A.由对数函数的单调性可知，0B.ba+c=1lgk61lgk4+1lgk9=1lgk6⋅lgk36lgk4⋅lgk9=1lgk6⋅2lgk6lgk4⋅lgk9
=2lgk4⋅lgk9=2ac，故B错误；
C.4a⋅9c=6b2=36b=4⋅9b=4b⋅9b，故C正确.
D.1a+1c=lgk4+lgk9=lgk36=2lgk6=2b，则1c=2b−1a，故D正确.
故选：B.
【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若aea=blnba>0，则（ ）
A．abD．无法确定
【解题思路】令aea=blnb=k，k>0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.
【解答过程】因为a>0，
所以aea>a>0，
因为aea=blnb，
所以blnb>0，可得b>1，
令aea=blnb=k，k>0，
所以ea=ka,lnb=kb，
设f(x)=ex，g(x)=lnx，ℎ(x)=kx，
作出它们的图象如图：
由图可知a故选：A.
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>bB．b>c>a
C．a>b>cD．a>c>b
【解题思路】分析可知，lna、lnb、lnc同号，分a、b、c∈0,1和a、b、c∈1,+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】∵lnc=alnb,lna=blnc且a、b、c均为不等于1的正实数，
则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna、lnb、lnc同号.
①若a、b、c∈0,1，则lna、lnb、lnc均为负数，
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b；
②若a、b、c∈1,+∞，则lna、lnb、lnc均为正数，
lna=blnc>lnc，可得a>c，lnc=alnb>lnb，可得c>b，此时a>c>b.
综上所述，a>c>b.
故选：D.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，b=lg23+lg86，c+lg2c=2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a【解题思路】根据ec+e−2a=ea+e−c可得ec−e−c=ea−e−2a，由此可构造函数fx=ex−e−x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+lg2c=2变形为lg2c=2−c，利用函数y=lg2x与函数y=2−x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．
【解答过程】ec+e−2a=ea+e−c⇒ec−e−c=ea−e−2a，
故令fx=ex−e−x，则fc=ec−e−c，fa=ea−e−a．
易知y=−e−x=−1ex和y=ex均为0,+∞上的增函数，故fx在0,+∞为增函数．
∵e−2aea−e−a，即fc>fa，则c>a>0．
易知b=lg23+lg236=lg2336>2，lg2c=2−c，
作出函数y=lg2x与函数y=2−x的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在1,2内，即1∴c∴a故选：B．
【题型8 放缩法比较大小】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=lg312,c=lg26,d=3−23，则有（ ）
A．a>b>cB．b>a>d
C．c>a>bD．b>c>a
【解题思路】由题意首先得02,c=lg26=1+lg23>2，从而我们只需要比较lg34,lg23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【解答过程】a=0.311.5<0.310=1，所以0b=lg312=1+lg34>2,c=lg26=1+lg23>2，
又因为lg34lg23=ln4⋅ln2ln3⋅ln3所以b故选：B.
【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a=lg35，b=21314，c=3lg72+lg87，则（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．c>a>b
【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.
【解答过程】因为a=lg35=12lg325<12lg327=32，
34=8125614<8124314=1314，所以b=21314>32且b<2，
c=3lg72+lg87=lg78+lg87>2lg78⋅lg87=2，
所以c>b>a.
故选：B.
【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=19−17,b=6−34,c=lg53−29lg35，则（ ）
A．aC．b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a【解答过程】因为a=19−17=219+17<216+16=14，
b=6−34=14216>14256=14,14216<1481=13，故b∈14,13，
c=lg53−29lg35=13lg527−19lg325>13lg525−19lg327=23−13=13，
所以a故选：A.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a=lg8.14，b=lg3.1e，c=ln2.1,，则（ ）
A．aC．c【解题思路】先证明b>0,c>0，利用比商法结合基本不等式证明c【解答过程】因为b=lg3.1e>0，c=ln2.1>0，
所以cb=×ln3.1又e2≈7.389，所以6.51所以cb<1，故c因为a=lg8.14=ln4ln8.1=2ln2ln8.1=ln2ln8.1，
又e2≈7.389，所以8.1>e2，所以ln8.1>1，
所以a所以a所以a故选：A.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设a=lg62，b=lg123，c=lg405，则（ ）
A．a【解题思路】取到数计算得1b=1+2lg2lg3，1c=1+3lg2lg5，作差法比较1b,1c的大小，即可得到b,c大小，利用中间值25即可比较a,c大小.
【解答过程】∵1b=lg312=1+lg34=1+lg4lg3=1+2lg2lg3，1c=lg540=1+lg58=1+lg8lg5=1+3lg2lg5，
∴1b−1c=2lg2lg3−3lg2lg5=2lg2×lg5−3lg2×lg3lg3×lg5=lg22lg5−3lg3lg3×lg5=lg2lg25−lg27lg3×lg5<0，
∴1b<1c，又b>0，c>0，∴b>c.
∵1c=1+lg58<1+lg5125=1+lg5532=52，∴c>25；
∵1a=lg26=1+lg23>1+lg28=1+lg2232=52，∴a<25，
∴a∴a故选：D.
2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m=4，a=2m−3，b=4m−5，则（ ）
A．a>0>bB．b>0>aC．a>b>0D．b>a>0
【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得lg23>lg34>lg45，即可判断大小.
【解答过程】由3m=4⇒m=lg34，
lg23−lg34=lg3lg2−lg4lg3=lg23−lg2⋅lg4lg2⋅lg3>lg23−lg2+lg422lg2⋅lg3=4lg23−lg284lg2⋅lg3=lg29−lg284lg2⋅lg3>0，
lg34−lg45=lg4lg3−lg5lg4=lg24−lg3⋅lg5lg3⋅lg4>lg24−lg3+lg522lg3⋅lg4=4lg24−lg2154lg3⋅lg4=lg216−lg2154lg3⋅lg4>0，
∴lg23>lg34>lg45，
∴b=4m−5>4lg45−5=0，a=2m−3<2lg23−3=0，
∴b>0>a.
故选：B.
3．（2024·贵州毕节·一模）已知a=3lg83，b=−12lg1316，c=lg43，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>a>b
C．b>c>aD．b>a>c
【解题思路】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简a,b,c，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a>b，即可得答案.
【解答过程】由题意可得a=3lg83=3×lg23lg223=lg23>1，
b=−12lg1316=−12×lg316lg313=lg34>1，0又lg23−lg34=lg3lg2−lg4lg3=(lg3)2−lg2lg4lg2lg3，
由于lg2>0,lg4>0，lg2≠lg4,∴lg2lg4<(lg2+lg42)2=(lg8)2<(lg3)2，
故lg23−lg34>0,∴a>b，
综合可得a>b>c，
故选：A.
4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a=320.7，b=230.7，c=lg34lg34，则（ ）
A．c【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1，让其和a,b,c进行比较，从而得出结果.
【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y=32x在R上单调递增，故a=320.7>320=1；
由y=23x的值域，且在R上单调递增可知，0根据对数函数的单调性，y=lg3x在(0,+∞)上单调递增，故lg34>lg33=1，由y=lg34x在(0,+∞)上单调递减，故c=lg34lg34故选：A.
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知a=e13，b=ln2，c=lg32，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>bB．a>b>cC．b>c>aD．c>b>a
【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c的大小，即可得答案；
【解答过程】∵ a=e13>e0=1，b=ln2∴ a最大，
∵ b−c=ln2−lg32=lg2lge−lg2lg3=lg2⋅1lge−1lg3>0，∴ b>c，
∴ a>b>c，
故选：B.
6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c满足e2a2=e3b3=e5c5=2，则（ ）
A．a>b>cB．aC．b>a>cD．c>a>b
【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c,再转化成整数幂比较即可.
【解答过程】因为e2a2=e3b3=e5c5=2,所以e2a=4,e3b=6,e5c=10,
即得2a=ln4,3b=ln6,5c=ln10得a=ln2,b=ln36,c=ln510,
因为y=lnx是0,+∞上的增函数,比较2,36,510的大小关系即是a,b,c,的大小关系 ,
2,36,510同时取15次幂,因为幂函数y=x15在0,+∞上是单调递增的，比较215,65,103即可,
因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65
即2>510>36,即得a>b>c.
故选：A.
7．（2023·湖南永州·一模）已知a=lg3π,b=1lg3π−1,c=12−lg3π，则（ ）
A．a【解题思路】先利用对数函数单调性求出a∈1,1.5，从而确定b>2，c∈1,2，作差法判断出a【解答过程】a=lg3π>lg33=1，
因为332=27>π，所以a=lg3π所以a∈1,1.5，
lg3π−1∈0,0.5，故b=1lg3π−1>2，
2−lg3π∈0.5,1，故c=12−lg3π∈1,2，
令a−c=lg3π−12−lg3π=2lg3π−lg3π2−12−lg3π=−lg3π−122−lg3π<0
所以a故选：D.
8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=−2x，若2a=lg2b=c，则（ ）
A．f(b)C．f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y=c,y=2x,y=lg2x,y=x的图像,得到a【解答过程】f(x)=−2x在R上单调递减，
在同一坐标系中作y=c,y=2x,y=lg2x,y=x的图像，如图：
所以a故选：A.
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A．2−0.01>2−0.001B．lg23>lg2π−1
C．lg1.85e−0.01
【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得lg33.01>1，由指数函数的性质可得e−0.01<1，即可判断．
【解答过程】解：对于A，因为−0.01<−0.001，所以2−0.01<2−0.001，所以A错误；
对于B，因为lg23>lg2π2=lg2π−1，所以B正确；
对于C，因为lg1.85>0,lg1.75>0，所以lg1.85=ln5ln1.8对于D，因为lg33.01>lg33=1,e−0.01e−0.01，所以D正确.
故选：BCD．
10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0A．balgca
C．cbaclgba
【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D.
【解答过程】对于A：∵0且b>c>1，∴ba>ca，故选项A错误；
对于B：∵0又∵b>c>1，∴lgab∴0>1lgbc>1lgca，即0>lgba>lgca，故B正确；
对于选项C：∵0且b>c>1，∴ba−1对于选项D：由选项B可知：0>lgba>lgca，∴0<−lgba<−lgca，
∵b>c>1，
∴c(−lgba)故选：BC.
11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（ ）
A．lga>lgbB．a+b=ab
C．12a>12bD．a+b>4
【解题思路】
根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.
【解答过程】由题意得a=lg315>lg31>0，b=lg515>lg51=0，
0<1a=lg153，0<1b=lg155，则0<1a<1b，则a>b>0，
对A，根据对数函数y=lgx在0,+∞上单调递增，则lga>lgb，故A正确；
对B，因为1a+1b=lg153+lg155=1，即a+bab=1，则a+b=ab，故B正确；
对C，因为a>b>0，根据指数函数y=12x在R上单调递减，则12a<12b，故C错误；
对D，因为a>b>0，1a+1b=1，
a+b=a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，
当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（2023·北京昌平·二模）3−2,213,lg25三个数中最大的数是 lg25 .
【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.
【解答过程】∵1<213=32<2，3−2=132=19<1，lg25>lg24=2，
∴lg25>213>3−2，
即三个数中最大的数是lg25.
故答案为：lg25.
13．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=lg1413，c=lg23，则三者大小关系为 a【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.
【解答过程】因为a=2−1.1<2−1=12，
b=lg1413=lg43>lg42=12，且b=lg1413=lg43<1，
c=lg23>lg22=1，
故a故答案为：a14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a=lg3322，b=22−33，c=ln1e，则a，b，c的大小关系为 c【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=−12，从而得到大小关系.
【解答过程】因为y=lg33x在0,+∞上单调递减，1>22>33，
故a=lg3322lg331=0，所以a∈0,1，
因为y=22x在R上单调递减，−33<0，
所以b=22−33>220=1，
c=ln1e=lne−12=−12，
故c故答案为：c四、解答题
15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x=lnπ，y=lg52，z=e−12．
(1)比较x，y的大小；
(2)比较y，z的大小．
【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x,y和中间值1比较大小，即可判断；
（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y,z和中间值12比较大小，即可判断.
【解答过程】（1）因为π>e，所以lnπ>lne=1，即x=lnπ∈1,+∞
因为1<2<5，所以0=lg51所以x>y；
（2）y=lg520，所以lg52∈0,12，
z=e−12=1e>14=12，所以e−12∈12,+∞，
所以y16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较aabb与baab(a>0,b>0)的大小；
（2）已知a>2，比较lg(a−1)a与lga(a+1)大小
【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；
（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.
【解答过程】（1）因为a>0,b>0，
所以aabbbaab=aba−b，
所以①当a=b>0时，aabbbaab=aba−b=1，
所以aabb=baab，
②当a>b>0时，ab>1,a−b>0，
即aba−b>1，
所以aabb>baab，
③当b>a>0时，0即aba−b>1，
所以aabb>baab，
综上所述：当a>0,b>0，aabb≥baab.
（2）lg(a−1)a−lga(a+1)
=lgalga−1−lga+1lga
=lg2a−lga+1lga−1lgalga−1，
因为a>2，所以lga+1>0,lga−1>0,lga>0，
所以lgalga−1>0，
由lga+1lga−1=lga2−122所以lg2a−lga+1lga−1>0，
所以lg2a−lga+1lga−1lgalga−1>0，
即lg(a−1)a−lga(a+1)>0，
故lg(a−1)a>lga(a+1).
17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：
(1)已知1(2)已知a=lg36，b=lg510，c=lg714．
【解题思路】(1)根据1(2)a=1+lg32，b=1+lg52，c=1+lg72，由换底公式比较lg32,lg52,lg72大小即可.
【解答过程】（1）∵1∴0=lg21∴c=lg2lg2xa=lg2x2∴b=lg2x2=2lg2x>lg2x>a，
∴c＜0＜a＜b，
∴c（2）∵a=lg36=lg33×2=1+lg32，
b=lg510=lg55×2=1+lg52，
c=lg714=lg77×2=1+lg72，
又∵0∴lg2lg3>lg2lg5>lg2lg7，
∴lg32>lg52>lg72，
∴1+lg32>1+lg52>1+lg72，
即a＞b＞c﹒
18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．
（1）求证：1z−1x=12y；
（2）比较3x,4y,6z的大小．
【解题思路】（1）令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化求出x,y,z，再利用对数的运算即可的证得结果；
（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.
【解答过程】（1）证明：令3x=4y=6z=m，
利用指数式和对数式的互化知x=lg3m，y=lg4m，z=lg6m
则1x=lgm3，1y=lgm4，1z=lgm6
∴1z−1x=lgm6−lgm3=lgm2=12y.
（2）3x<4y<6z
证明：因为正实数x，y，z，∴3x>0, 4y>0, 6z>0，
∴3x4y=3lg3m4lg4m=3lgmlg34lgmlg4=34×lg4lg3=34lg34=lg3464
又464<3，∴lg3464<1，∴3x<4y
∴4y6z=4lg4m6lg6m=4lgmlg46lgmlg6=23×lg6lg4=23lg46=lg236
又36<2，∴lg236<1，∴4y<6z
∴3x<4y<6z．
19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x2x2+1
(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；
(2)已知a=f20.5,b=flg25,c=f0.25，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．
【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；
（2）先比较20.5,lg25,0.25三个数的大小，再利用函数fx的单调性即可比较a，b，c的大小.
【解答过程】（1）函数f(x)=x2x2+1=1−1x2+1，
任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=1−1x12+1−1−1x22+1=1x22+1−1x12+1 =x12−x22x22+1x12+1=x1−x2x1+x2x22+1x12+1，
因为x1,x2∈(0,+∞)，且x1所以x22+1>0,x12+1>0，x1−x2<0，x1+x2>0
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数fx在区间0,+∞上是增函数.
（2）因为20.5>20=1，2=lg24所以0<0.25<20.5由（1）可知函数fx在区间0,+∞上是增函数，
所以f0.25