重难点05 利用导数证明不等式（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc28161" 【题型1 直接法证明不等式】 PAGEREF _Tc28161 \h 2
\l "_Tc1908" 【题型2 移项构造函数证明不等式】 PAGEREF _Tc1908 \h 3
\l "_Tc23651" 【题型3 分拆函数法证明不等式】 PAGEREF _Tc23651 \h 4
\l "_Tc17265" 【题型4 分析法证明不等式】 PAGEREF _Tc17265 \h 5
\l "_Tc16292" 【题型5 放缩法证明不等式】 PAGEREF _Tc16292 \h 6
\l "_Tc5051" 【题型6 指对同构】 PAGEREF _Tc5051 \h 8
\l "_Tc16474" 【题型7 隐零点法】 PAGEREF _Tc16474 \h 9
\l "_Tc4187" 【题型8 双变量不等式的证明】 PAGEREF _Tc4187 \h 10
\l "_Tc29928" 【题型9 函数与数列不等式综合证明问题】 PAGEREF _Tc29928 \h 11
\l "_Tc1792" 【题型10 导数新定义的不等式证明问题】 PAGEREF _Tc1792 \h 12
1、利用导数证明不等式
导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.
【知识点1 导数中的不等式证明的解题策略】
1．导数中的不等式证明的解题策略
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
2．移项构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
3．分拆函数法证明不等式
(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.
(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、商形式.便于求导后找到极值点.
4．放缩后构造函数证明不等式
某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.
【知识点2 指对同构】
1．指对同构证明不等式
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
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【题型1 直接法证明不等式】
【例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数f(x)=ex−12x2−x.
(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程.
(2)证明：∀x∈[0,+∞),f(x)>sinx.
【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知函数f(x)=x2−ax+lnx，x=1为f(x)的极值点.
(1)求a；
(2)证明：f(x)≤2x2−4x.
【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=xa−lnx，a>0．
(1)求fx的最小值ga；
(2)证明：ga≤a+1a−1．
【变式1-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数fx=2x2+x−lnx+m，m∈R.
(1)当m=0时，求曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当m≤1时，证明：fx≥0.
【题型2 移项构造函数证明不等式】
【例2】（2024·广西·模拟预测）设函数fx=lnx+ax+b，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=6x−3．
(1)求a,b的值；
(2)证明：fx>−25x−1．
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=xex，gx=lnx.
(1)求fx的极值；
(2)证明：xgx+2>exfx−2x.
【变式2-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数fx=mlnx+x2−x,fx的导函数为f′x.
(1)讨论fx的单调性；
(2)当m=1时，证明：f′x+1≤2exx+1+1x+1+x−1.
【变式2-3】（2024·上海松江·二模）已知函数y=x⋅lnx+a（a为常数），记y=f(x)=x⋅g(x).
(1)若函数y=g(x)在x=1处的切线过原点，求实数a的值；
(2)对于正实数t，求证：f(x)+f(t−x)≥f(t)−tln2+a；
(3)当a=1时，求证：g(x)+csx【题型3 分拆函数法证明不等式】
【例3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数fx=axexa≠0.
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a≥4e2时，证明：fxx+1−x+1lnx>0.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax−lnx,a∈R．
(1)若函数Fx=fx−x2有两个极值点，求a的取值范围；
(2)若曲线y=fx在点1e,f1e处的切线与y轴垂直，求证：fx【变式3-2】（2024·广西柳州·三模）已知函数fx=1+lnxex．
(1)求函数fx在点1,fx处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间；
(3)若f′x为fx的导函数，设gx=x2+xf′x．证明：对任意x>0，gx<1+e−2．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=12e2x+a−2ex−2ax．
(1)若曲线y=fx在0,a−32处的切线方程为4ax+2y+1=0，求a的值及fx的单调区间．
(2)若fx的极大值为fln2，求a的取值范围．
(3)当a=0时，求证：fx+5ex−52>32x2+xlnx．
【题型4 分析法证明不等式】
【例4】（2024·吉林·模拟预测）已知函数fx=x2−ax−aex.
(1)当a=0时，求函数fx的极值；
(2)求证：当00时，fx>aa−1.
【变式4-1】（2024·西藏·模拟预测）已知函数fx=xlnx+1−x2+axa∈R．
(1)若fx在定义域内是单调函数，求a的取值范围；
(2)若fx有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2>0．
【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数fx=alnx−x.
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx≤aea−1.
【变式4-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数f(x)=aex−x−32(a∈R)．
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna−a2．
【题型5 放缩法证明不等式】
【例5】（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=emxx2−3m+3mx+2m2+5m+3m2，其中m≠0.
(1)求曲线y=fx在点2,f2处切线的倾斜角；
(2)若函数fx的极小值小于0，求实数m的取值范围；
(3)证明：2ex−2x+1lnx−x>0.
【变式5-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=1x+alnx+2x−2，其中a∈R．
(1)当a≥1时，判断fx的单调性；
(2)若fx存在两个极值点x1,x2x2>x1>0．
（ⅰ）证明：x2−x1+2>2a；
（ⅱ）证明：x∈1,+∞时，fx>1x23−4x22+5x2−2．
【变式5-2】（2024·辽宁·二模）已知函数fx=lnx+ax2+a+2x+1，（a∈R，a≠0）.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若a=−2，证明：ex−x2+2x−xfx>1.
【变式5-3】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数fx=xlnx.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若两个不相等的正实数a，b满足fa=fb，求证：a+b<1；
(3)若π4<α<π2，求证：f(csα)【题型6 指对同构】
【例6】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax+1,a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a≤2时，证明：fxx≤e2x．
【变式6-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数f(x)=lnx+2x−a(x+1)(a∈R).
(1)当a=−1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x1,x2x1【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）己知函数fx=ex−e−x−2axa∈R.
(1)当a=2时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若函数gx=1,x=0ex−e−x2x,x≠0，求证：1≤gx≤ex+e−x2.
【变式6-3】（2024·湖北荆州·三模）已知函数fx=xex−alnx+x，其中e是自然对数的底数.
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线的斜截式方程；
(2)当a=e时，求出函数fx的所有零点；
(3)证明：x2ex>x+2lnx+2sinx.
【题型7 隐零点法】
【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数fx=xex−3ex.
（1）求fx的极值；
（2）若gx=f′x−x+lnx在14,1上的最大值为λ，求证：−6e−3【变式7-1】（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知函数 fx=aex−1−x−1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a≥1时， fx+x−lnx≥2a−2a+1.
【变式7-2】（2024·甘肃·一模）已知函数fx=ax−a+1lnx−1x+2a∈R.
（1）讨论函数fx单调性；
（2）当a=−2时，求证：fx【变式7-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xeax（a>0）.
(1)求fx在区间−1,1上的最大值与最小值；
(2)当a≥1时，求证：fx≥lnx+x+1.
【题型8 双变量不等式的证明】
【例8】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数f(x)=a(1−2lnx)+4x6(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若x1，x2x1≠x2为函数g(x)=kx2+1x2−lnx的两个零点，求证：x1x24>12e4．
【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=sinxex−m,x∈(0,π).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若x1（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：x1+x2<π.
【变式8-2】（2024·广东佛山·二模）已知fx=−12e2x+4ex−ax−5.
(1)当a=3时，求fx的单调区间；
(2)若fx有两个极值点x1，x2，证明：fx1+fx2+x1+x2<0.
【变式8-3】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数fx=3lnx−ax．
(1)讨论fx的单调性．
(2)已知x1,x2是函数fx的两个零点x1（ⅰ）求实数a的取值范围．
（ⅱ）λ∈0,12,f′x是fx的导函数．证明：f′λx1+1−λx2<0．
【题型9 函数与数列不等式综合证明问题】
【例9】（2024·山东淄博·一模）已知函数f(x)=lnx+λ1x−x(λ∈R).
（1）当x>1时，不等式fx<0恒成立，求λ的最小值；
（2）设数列an=1nn∈N∗，其前n项和为Sn，证明：S2n−Sn+an4>ln2.
【变式9-1】（2024·河南·模拟预测）已知函数fx=ln11−x（x≠0）.
(1)证明：x1−x>fx；
(2)若正项数列an满足an=fan+1，且a1∈0,1，记an的前n项和为Sn，证明：Sn>2na1n+2a1（n≥2）.
【变式9-2】（2024·重庆·二模）已知函数fx=xln2−x.
(1)求fx的单调区间；
(2)当0ax−1+a，求实数a的取值范围；
(3)已知数列an满足：a1=13，且an=fan+1.证明：13⋅2n−1≤an≤1n+2.
【变式9-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数gx=lnx+mx+1.
(1)当m<0时，求gx的单调区间；
(2)当m=1时，设正项数列xn满足：x1=1,xn+1=gxn，
①求证：xn2n−1≤1；
②求证：i=2nln1+1xi2<1.
【题型10 导数新定义的不等式证明问题】
【例10】（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的m,n阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f(2)(0)=R(2)(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f(2)(x)=f′(x)′，f(3)(x)=f(2)(x)′，…，f(m+n)(x)=f(m+n−1)(x)′.已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的2,2阶帕德近似为R(x)=a+bx+12x21+x+16x2.
(1)求实数a，b的值；
(2)设ℎx=fx−Rx，证明：xℎ(x)≥0；
(3)已知x1,x2,x3是方程lnx=λx−1x的三个不等实根，求实数λ的取值范围，并证明：x1+x2+x33>1λ−1.
【变式10-1】（23-24高三下·重庆·期中）若函数fx在定义域内存在两个不同的数x1,x2，同时满足fx1=fx2，且fx在点x1,fx1,x2,fx2处的切线斜率相同，则称fx为“切合函数”
(1)证明：fx=x3−2x为“切合函数”；
(2)若gx=xlnx−x2+ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为x1,x2．
（ⅰ）求证：x1x2<14；
（ⅱ）求证：a+12x1x2−x1x2<34．
【变式10-2】（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，导数为f′(x)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f′(c)=f(b)−f(a)b−a，其中c叫做f(x)在a,b上的“拉格朗日中值点”.已知函数f(x)=(a+1)x24lnx+b2(x−4)eax−b26x3+9b+158x2.
(1)若a=−1,b=0，求函数f(x)在1,7上的“拉格朗日中值点”x0；
(2)若a=−1,b=1，求证:函数f(x)在区间(0,+∞)图象上任意两点A，B连线的斜率不大于18−e−6；
(3)若a=1,b=−1,∀x1,x2,x3∈14,1，且x1fx3−fx2x3−x2.
【变式10-3】（2024·浙江绍兴·二模）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0). 已知f(x)=ex在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R(x)=1+ax1+bx.注：f″(x)=f′(x)′，f′′′(x)=f′′(x)′，f(4)(x)=f′′′(x)′，f(5)(x)=f(4)(x)′，…
(1)求实数a,b的值；
(2)当x∈0,1时，试比较fx与Rx的大小，并证明；
(3)定义数列{an}：a1=12，anean+1=ean−1，求证：12n≤an≤12n−1.
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知a=ln65,b=16,c=17e17则（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若0A．ex2+lnx1>ex1+lnx2B．ex2+lnx1C．x2ex1>x1ex2D．x2ex13．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数fx=lnx+1−ax有两个零点x1,x2，且x1A．a>1B．x1+x2<2a
C．x1⋅x2<1D．x2−x1>1a−1
4．（2024·河南郑州·三模）设x1,x2∈0,+∞，且ex1+lnx2=1，则（ ）
A．若x1=x2，则x1∈13,12B．若x1x2=1，则x1存在且不唯一
C．x1+x2>1D．x1+lnx2>0
5．（2024·安徽·三模）已知实数x1,x2,x3满足x12−x1=ex22−1=x31+x3+1=120，则（ ）
A．x1C．x26．（2024·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，且a+b=ab，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+b≤4B．lg2a+lg2b>2
C．blna>1D．a+b≥3
7．（2024·四川南充·模拟预测）设a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论正确的个数为（ ）
①lg2a+lg2b≥−2 ②2a+2b≥22 ③a+lnb<0 ④sinasinb<14
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·四川泸州·三模）已知x>0，ex+lny=1，给出下列不等式
①x+lny<0；②ex+y>2；③lnx+ey<0；④x+y>1
其中一定成立的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（2024·浙江温州·模拟预测）已知 eba2+1=ae2b+1， a，b∈R，且 aA．a−lna=b+e−bB．a+b>1
C．b=eaD．ab≤1e
10．（2024·江苏南通·三模）已知2a=lg12a,lg2b=12b，则（ ）
A．a+2a=b+2−bB．a+b=2b+2−a
C．2b+1>e1aD．2a>e1−1b
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x+ln(x−2),g(x)=xlnx．若fx1=2+3lnt,gx2=t3，则下列结论中正确的是（ ）
A．∀x∈(2,+∞),f(x)C．∃x0∈(2,+∞),fx0>gx0D．x1x2−2x2lnt≥−13e
三、填空题
12．（2023·福建福州·模拟预测）已知定义在0,+∞上函数fx满足：lnx+113．（2023·江西吉安·一模）若a=107,b=ln3,c=233,d=e0.3，则a,b,c,d的大小关系是 .
14．（2023·四川达州·二模）Sn是数列an前n项和，a1=3，an+1=an−44n2−1，给出以下四个结论：
①an=2n+12n−1；
②a1+a1a2+⋯+a1a2⋯an=n2+2n；
③Sn>n+ln2n+1；
④Sn>n2+ln2n2+1.
其中正确的是 （写出全部正确结论的番号）.
四、解答题
15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数fx=ex+a−1x−1，其中a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a=2时，证明：fx>xlnx−csx．
16．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数f(x)=lnx+ax−1(a∈R)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x1)=f′(x2)（x1≠x2），证明：fx1+fx2+1a>1．
17．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数fx，若实数x0满足fx0=x0，则x0称为fx的不动点．已知函数fx=ex−2x+ae−xx≥0．
(1)当a=−1时，求证fx≥0；
(2)当a=0时，求函数fx的不动点的个数；
(3)设n∈N*，证明112+1+122+2+⋯+1n2+n>lnn+1．
18．（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=ax−baxa>0,a≠1，b∈R．
(1)若y=fx在点0,f0处的切线方程为y=ex，求a，b的值；
(2)当b=1时，y=fx存在极小值点x0，求证：fx0≤−e1e．
19．（2024·北京·三模）已知fx=2x−alnx−ax−1．
(1)若a=−1，求曲线y=fx在点P1,2处的切线方程；
(2)若函数y=fx存在两个不同的极值点x1,x2，求证：fx1+fx2>0．