广西崇左市名校2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

这是一份广西崇左市名校2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则，已知复数，则，已知函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册占70%.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，若，则（ ）
A.10 B. C. D.
2.已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ）
A.立方分米 B.立方分米
C.立方分米 D.立方分米
7.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖.现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ）
A.“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”
B.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”
C.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”
D.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”
8.已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（ ）
A.的实部是
B.
C.的共轭复数是
D.在复平面内对应的点位于在第一象限
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.的图象关于点对称
D.不等式的解集是
11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ）
A.该几何体的表面积为
B.该几何体的体积为4
C.直线与直线所成的角为
D.二面角的余弦值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________.
13.某数学兴趣小组成员为了测量两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东方向上，且距离地2千米，则两地之间的距离是__________千米.
14.已知是的重心，的面积是，则的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；
（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
17.（15分）
已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）求在区间上的值域.
18.（17分）
2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拨后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
（1）求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
（2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
19.（17分）
是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记
（1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；
（2）若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；
（3）若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：.
2024年春季期高一年级期末教学质量监测
数学试题参考答案
1.A 由题意可得，解得.
2.C 由题意可得.因为，所以.
3.D 由题意可得解得或.
4.B 由，得；由，得或.
故“”是“”的充分不必要条件.
5.C 因为，所以，所以，则.
6.A 设该圆锥形容器的底面圆半径为，高为，则分米，分米，则该圆锥形容器的容积是立方分米.
7.C “至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件.
8.C 当是上的单调递增函数时，解得当是上的单调递减函数时，解得.综上，的取值范围是.
9.BD 因为，所以的实部是在复平面内对应的点位于在第一象限.
10.BC 由图可知，则.因为点在的图象上，所以，所以，解得，因为，所以，则A错误.因为点在的图象上，所以，解得，则B正确.因为，所以的图象关于点
对称，则C正确.由，即，即，得，解得，所以不等式的解集是，则D错误.
11.ABC 因为，所以.该几何体的表面积为，A正确.该几何体的体积为，B正确.
因为，所以直线与直线所成的角即直线与直线的夹角，其大小为.故直线与直线所成的角为，C正确.
设的中点为，连接（图略），即为二面角的平面角.，D错误.
12.79 因为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是.
13. 由题意可得.在中，由余弦定理可得，则千米.
14. 如图，取的中点，连接.设的内角的对边分别为.因为是的重心，所以在线段上，且.因为的面积是，所以，解得.因为是的中点，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，则.因为是的中点，所以，所以.
15.解：（1）由频率分布直方图可得，
解得.
（2）由题意，估计平均分分.
（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，
则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为.
16.证明：（1）记，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为，所以.
因为四边形是正方形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
17.解：由题意可得
（1）令，
解得，
故的单调递减区间为.
（2）因为，所以.
当，即时，取得最大值，最大值为
当，即时，取得最小值，最小值为.
故在区间上的值域为.
18.解：设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件.
（1）因为，所以.
又，所以，即.
又，所以，
即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和.
（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件，
则
，
所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.
19.（1）解：如图1，
因为，所以.
由正方体的定义可知，则，
故
.
因为，所以，
则.
（2）解：如图2，设，
则.
因为，
所以
则，解得，
故.
（3）证明：如图3，
因为是的等分点，所以
.
在中，由正弦定理可得，
则.
在中，同理可得.
因为，所以，
则.
同理可得.
故.