江苏省连云港高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省连云港高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）命题“∀x≥1，x2﹣1≤0”的否定是（ ）
A．∃x＜1，x2﹣1＞0B．∃x≥1，x2﹣1＞0
C．∀x＜1，x2﹣1≤0D．∀x＜1，x2﹣1＞0
2．（5分）设集合A＝{1，3}，B＝{x|x2﹣3x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝（ ）
A．{1，﹣2}B．{1，2}C．{1，0}D．{1，5}
3．（5分）一元二次方程ax2+2x+1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分必要条件是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜﹣1D．a＞1
4．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3B．4C．8D．16
5．（5分）已知x＞1，y＞0，x+y＝3，则（x﹣1）（ ）
A．B．C．D．1
6．（5分）不等式的解集为（ ）
A．{x|x≤﹣1或2≤x≤3}B．{x|x＜﹣1或2≤x≤3}
C．{x|x＜﹣1或2＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}
7．（5分）已知正实数a、b满足，则a+2b+1的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．9
8．（5分）已知命题p：∃x0∈R，（a﹣1）+（a﹣1）x0+1≤0，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤5B．1＜a＜5C．1＜a≤5D．1≤a＜5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知集合A＝（﹣2，5），集合B＝{x|x≤m}，使A∩B≠∅的实数m的值可以是（ ）
A．0B．﹣2C．4D．6
10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为
B．若x∈R，则函数的最小值为2
C．若实数a，b，c满足ac2＞bc2，则a＞b
D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（0，4）
（多选）11．（6分）已知集合{x|x2+ax+b＝0，a＞0}有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．a2﹣b2≤4
B．
C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0
D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）不等式的解集是 ．
13．（5分）|x+y|＝|x|+|y|是xy＞0的 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空）．
14．（5分）若x∈A，则，则称A是伙伴关系集合，在集合M＝{﹣4，﹣，﹣1，0，，1，2，4}的所有非空子集中 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合A＝{x|a＜x＜a2﹣2}，B＝（1，5）．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若B⫋A，求实数a的取值范围．
16．（15分）已知正数x，y满足xy＝4x+y．
（1）求xy的最小值；
（2）求2x+y的最小值．
17．（15分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅．
（1）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）∃x∈A且x∈B，求实数m的取值范围．
18．（17分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+a2≥0成立；命题q：x2+ax+2＝0有两个负根．
（1）若命题p为真命题，求a的取值范围．
（2）若命题p和命题q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
19．（17分）已知二次y＝ax2+bx+c的图像与直线y＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为[﹣1，3]．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜（m﹣1）x﹣3﹣m的解集中恰有一个整数，求实数m的取值范围．
2024-2025学年江苏省连云港高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“∀x≥1，x2﹣1≤0”的否定是（ ）
A．∃x＜1，x2﹣1＞0B．∃x≥1，x2﹣1＞0
C．∀x＜1，x2﹣1≤0D．∀x＜1，x2﹣1＞0
【分析】根据全称命题的否定选择．
【解答】解：∀x≥1，x2﹣7≤0的否定为：∃x≥1，x3﹣1＞0．
故选：B．
【点评】本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题．
2．（5分）设集合A＝{1，3}，B＝{x|x2﹣3x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝（ ）
A．{1，﹣2}B．{1，2}C．{1，0}D．{1，5}
【分析】将x＝1代入方程求出m，再求集合B即可．
【解答】解：由A∩B＝{1}可知13﹣3+m＝0⇒m＝3，
当m＝2时，x2﹣2x+2＝0，解得：x＝7或x＝2，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3．（5分）一元二次方程ax2+2x+1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分必要条件是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜﹣1D．a＞1
【分析】利用Δ和韦达定理，结合充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：设方程ax2+2x+3＝0（a≠0）的两根为p、q且p＜3＜q，
由题意Δ＝4﹣4a＞2，即a＜1，
由韦达定理，
由pq＜8，即，
故a＜8，
故方程ax2+2x+7＝0（a≠0）有一正根和一负根充分条件为a＜4；
由ax2+2x+8＝0（a≠0）中a＜6，
所以Δ＝4﹣4a＞3即方程有两个不等式实根，
设方程ax2+2x+3＝0（a≠0）的两根为p、q，
由韦达定理，
因为a＜0，所以pq＜0即两根一正，
故方程ax7+2x+1＝7（a≠0）有一正根和一负根必要条件为a＜0，
所以一元二次方程ax3+2x+1＝5（a≠0）有一个正根和一个负根的充分必要条件是a＜0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
4．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3B．4C．8D．16
【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解．
【解答】解：依题意B＝{2，3，4}3＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用集合子集个数的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，属于基础题．
5．（5分）已知x＞1，y＞0，x+y＝3，则（x﹣1）（ ）
A．B．C．D．1
【分析】利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵x＞1，y＞0，
∴y＝5﹣x＞0，
∴1＜x＜3，
∴（x﹣1）•y＝（x﹣1）（3﹣x）≤＝1（当且仅当x﹣4＝3﹣x，
∴（x﹣1）•y的最大值是8．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
6．（5分）不等式的解集为（ ）
A．{x|x≤﹣1或2≤x≤3}B．{x|x＜﹣1或2≤x≤3}
C．{x|x＜﹣1或2＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}
【分析】根据分式不等式的解法求解即可．
【解答】解：由得，或，
解得6＜x＜3或x＜﹣1，
所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或7＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题．
7．（5分）已知正实数a、b满足，则a+2b+1的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．9
【分析】将代数式（a+b）+（b+1）与相乘，展开后利用基本不等式可求得a+2b+1的最小值．
【解答】解：因为正实数a、b满足，
则，
当且仅当时，即当时，
故a+2b+4的最小值为9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8．（5分）已知命题p：∃x0∈R，（a﹣1）+（a﹣1）x0+1≤0，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤5B．1＜a＜5C．1＜a≤5D．1≤a＜5
【分析】求得命题p的否定，结合不等式恒成立，求解即可．
【解答】解：∵命题p：∃x0∈R，是假命题，
∴∀x∈R，（a﹣3）x2+（a﹣1）x+8＞0恒成立是真命题；
当a＝1时，2＞0恒成立，
当a＞1时，需a﹣8＞02﹣2（a﹣1）＜0，解得7＜a＜5，
当a＜1时，a﹣6＜0恒成立，
综上可得a的取值范围为6≤a＜5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知集合A＝（﹣2，5），集合B＝{x|x≤m}，使A∩B≠∅的实数m的值可以是（ ）
A．0B．﹣2C．4D．6
【分析】利用集合交集以及空集的定义，列式求解即可．
【解答】解：因为集合A＝（﹣2，5），且A∩B≠∅，
则m＞﹣3．
故选：ACD．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与空集的定义的理解与应用，属于基础题．
10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为
B．若x∈R，则函数的最小值为2
C．若实数a，b，c满足ac2＞bc2，则a＞b
D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（0，4）
【分析】由一元二次不等式的解法可判断A，由基本不等式可判断B，由不等式的性质可判断C，由二次函数的性质可判断D．
【解答】解：对于A，解不等式（2x﹣1）（6﹣x）＜0得或x＞1或x＞1}，
对于B，函数，当且仅当4＝﹣3时，等号成立，
显然x2＝﹣7无解，所以函数，故B错误，
对于C，若实数a，b5＞bc2，则a＞b，故C正确，
对于D，当x∈R时2﹣kx+4＞0恒成立，
当k＝0时，6＞0恒成立，
当k≠0时，则，解得0＜k＜4，
综上，k的取值范围是[6，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知集合{x|x2+ax+b＝0，a＞0}有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．a2﹣b2≤4
B．
C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0
D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4
【分析】由集合{x|x2+ax+b＝0，a＞0}有且仅有两个子集，得到判别式Δ＝0，由此利用作差法判断A，利用基本不等式判断B，利用根与系数的关系判断C与D．
【解答】解：集合{x|x2+ax+b＝0，a＞8}有且仅有两个子集2﹣4b＝4，所以a2＝4b＞4，
对于A，因为a2﹣b2﹣4＝﹣b2+4b﹣6＝﹣（b﹣2）2≤5，所以a2﹣b2≤5，选项A正确；
对于B，因为a2+＝2b+＝4时取等号5+≥4；
对于C，因为不等式x5+ax﹣b＜0的解集为（x1，x4），所以x1x2＝﹣b＜2，选项C错误；
对于D，因为不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x3），且|x1﹣x2|＝3，
所以（x1+x2）2﹣4x1x8＝（x1﹣x2）8，即a2﹣4（b﹣c）＝16，化简得8c＝16，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系应用问题，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）不等式的解集是 [﹣3，2） ．
【分析】利用分式不等式的解法求解．
【解答】解：不等式可化为：，
所以（8x+6）（x﹣2）≤6且x﹣2≠0，
解得﹣3≤x＜2，
即不等式的解集是[﹣4．
故答案为：[﹣3，2）．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题．
13．（5分）|x+y|＝|x|+|y|是xy＞0的 必要不充分 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空）．
【分析】根据题意再结合充分必要条件定义可解．
【解答】解：若|x+y|＝|x|+|y|，不一定能推出xy＞0，y＝1，
若xy＞2，则x，能推出|x+y|＝|x|+|y|，
则|x+y|＝|x|+|y|是xy＞0的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
【点评】本题考查充分条件与必要条件定义，属于基础题．
14．（5分）若x∈A，则，则称A是伙伴关系集合，在集合M＝{﹣4，﹣，﹣1，0，，1，2，4}的所有非空子集中 15 ．
【分析】根据新定义求出集合A中的元素可为﹣2与﹣，﹣1，1，2与必然同时出现，然后写出非空子集，即可得个数．
【解答】解：∵﹣2∈A时，则∈A；
﹣1∈A时，则∈A；
1∈A时，则∈A；
2∈A时，则∈A，
∴集合M＝{﹣4，﹣2，﹣，0，，1，5，4}的所有满足新定义的元素有6个，
那么A＝{﹣6，﹣}或A＝{﹣3}或A＝{1}或A＝{，
A＝{﹣2，﹣，﹣1}或A＝{﹣2，﹣，﹣，，8}或A＝{﹣1，，2}或A＝{1，，
A＝{﹣2，﹣，﹣1，﹣，﹣1，，﹣，1，，2}或A＝{﹣1，4，，
A＝{﹣3，﹣，﹣7，1，，
共有15个，
故答案为：15．
【点评】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合A＝{x|a＜x＜a2﹣2}，B＝（1，5）．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若B⫋A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当A＝∅时，满足A⊆B，当A≠∅时，根据子集关系列式可得结果；
（2）根据真子集关系列式可求出结果．
【解答】解：（1）当A＝∅时，a≥a2﹣2，即﹣8≤a≤2时；
当A≠∅时，由A⊆B可得，
综上所述：实数a的取值范围是a∈[﹣1，]．
（2）因为B是A的真子集，所以，﹣]．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于中档题．
16．（15分）已知正数x，y满足xy＝4x+y．
（1）求xy的最小值；
（2）求2x+y的最小值．
【分析】（1）直接利用基本不等式即可求解；
（2）利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）因为正数x，y满足xy＝4x+y，
当且仅当y＝4x，即x＝2，
所以xy≥16，
即xy的最小值为16；
（2）由题意可得，＝1，
7x+y＝（2x+y）（）＝6+，
当且仅当y＝2，即x＝6+时取等号．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
17．（15分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅．
（1）若s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）∃x∈A且x∈B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接利用充分条件和必要条件的应用建立不等式，进一步求出实数m的取值范围；
（2）利用集合间的关系建立不等式组，进一步求出m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣5x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣3}且B≠∅；
由于s：x∈B是t：x∈A的充分不必要条件，
故﹣1≤m+1＜6m﹣1＜6或﹣4＜m+1＜2m﹣4≤6，解得；
故实数m的取值范围（2，．
（2）由于B≠Φ，得m+1＜2m﹣1，此时m+1＞3，
由x∈A且x∈B，得到A∩B≠Φ，
所以m+1＜6，解得m＜7；
故实数m的取值范围为（2，5）．
【点评】本题考查的知识点：集合间的关系，不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（17分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+a2≥0成立；命题q：x2+ax+2＝0有两个负根．
（1）若命题p为真命题，求a的取值范围．
（2）若命题p和命题q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【分析】（1）一元二次不等式有解问题，借助二次函数的性质即可解得；
（2）根据已知条件，判断命题P和命题q一真一假，分类讨论即可得到．
【解答】解：（1）若命题P为真命题，根据二次函数的性质可得2≤0，解得a≥5或a≤﹣1，
故a的取值范围为{a|a≥1或a≤﹣5}；
（2）若命题q为真，即一元二次方程有两个负根1，x2，
则，解得 ，
命题p和命题q有且只有一个是真命题，则P真q假或P假q真，
P真q假时，有，解得1，
P假q真时，，此时a不存在，
综上，a的取值范围为{a|1．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，还考查了二次方程根的存在条件的应用，复合命题真假关系的应用，属于中档题．
19．（17分）已知二次y＝ax2+bx+c的图像与直线y＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为[﹣1，3]．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜（m﹣1）x﹣3﹣m的解集中恰有一个整数，求实数m的取值范围．
【分析】（1）二次函数图像与直线y＝﹣4有且仅有一个公共点，说明最值为﹣4，不等式ax2+bx+c≤0的解集为[﹣1，3]，ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3．列式求解即可
（2）x的不等式ax2+bx+c＜（m﹣1）x﹣3﹣m的解集中恰有一个整数，令f（x）＝x2﹣（m+1）x+m，转化为函数的零点问题，列出条件求解．
【解答】解：（1）不等式ax2+bx+c≤0的解集为[﹣7，3]，整理得：b＝﹣2a，
y＝ax2+bx+c的图像与直线y＝﹣5有且仅有一个公共点，可得②，b＝﹣2．
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）不等式ax4+bx+c＜（m﹣1）x﹣3﹣m的解集中恰有一个整数，由（1）得：x2﹣（m+1）x+m＜0，
令f（x）＝x3﹣（m+1）x+m，f（1）＝0，
需满足或，
解得：﹣1≤m＜2或2＜m≤3．
实数m的取值范围[﹣4，0）∪（2．
【点评】本题考查一元二次不等式，是基础题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/16 12:34:07；用户：树理化；邮箱：17625822904；学号：56605566