江苏省赣榆高级中学经济开发区校区2024-2025学年高二上学期数学10月测试题

这是一份江苏省赣榆高级中学经济开发区校区2024-2025学年高二上学期数学10月测试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．C．D．
3．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．6
5．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
6．已知抛物线的焦点为，顶点为，上一点位于第二象限，若，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．抛物线上两点（不与重合），满足，则面积的最小值是（ ）
A．4B．8C．16D．18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C是圆
B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
10．已知圆：.直线：，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆一定相交
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1
C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数或
D．圆上一点到直线的距离的最大值为
11．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若轴，则的周长为
B．若直线交双曲线的左支于点，则
C．面积的最小值为
D．的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分共15分.
12．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ．
13．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A､B两点（点A在点B的上方），若，则直线l的方程为 .
14．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，满分共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）已知直线l：与圆C：相切.
(1)求实数a的值；
(2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程.
16．（本小题满分15分）已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
17．（本小题满分15分）已知直线：与抛物线：恒有两个交点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．
18．（本小题满分17分）已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点
(1)求的周长；
(2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；
(3)若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值．
19．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.
答案
一、单选题
1．已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A 【分析】联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．
【详解】联立，解得，
∴直线x﹣y+2＝0和2x+y+1＝0的交点为（﹣1，1），
又直线l和直线x﹣3y+2＝0垂直，
∴直线l的斜率为﹣3．
则直线l的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），即3x+y+2＝0．
故选：A．
2．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A 【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点P连线的斜率，进而得到直线AB的斜率，再由点斜式得解．
【详解】圆的圆心为(1，0)，半径为5，
则圆心与点P连线的斜率为，
则直线AB的斜率为－1，
由点斜式可得，直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．
故选：A．
3．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C 【分析】根据题意可知矩形ABCD是椭圆的外切矩形，故可得，结合选项即可求解.
【详解】矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，则.
对于A:，不符合，
对于B:，不符合，
对于C:，符合，
对于D:，不符合，
故选：C.
4．已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C 【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，
所以（当且仅当，时，等号成立）.
故选：C．
5．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，从而判断出为直角三角形，然后即可求出的面积.
【详解】易知，，所以，，即，
由椭圆的定义，知，又因为，
所以，又，
所以为直角三角形，所以.
故选：D.
6．已知抛物线的焦点为，顶点为，上一点位于第二象限，若，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，结合焦半径公式与斜率公式计算即可得.
【详解】设Px,y，则有，，
则有，即，
故，故.
故选：D.
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，可得，由双曲线定义得到，结合勾股定理可求出，在中，可得，即可求出离心率.
【详解】如图，，，
所以，
由双曲线的定义知，
又，则在中，，
在中，，
即，可得.
故选：A
8．抛物线上两点（不与重合），满足，则面积的最小值是（ ）
A．4B．8C．16D．18
【答案】C
【分析】设直线为且，且，联立抛物线应用韦达定理求得，根据已知有，直线过定点，再由求最值.
【详解】由题设，可设直线为且，且，
联立，消去得y2-4ky-4m=0，故，
则，
由，易知，则或（舍），
故的方程为过定点(4,0)，由上知：，
则面积为，时等号成立.
故选：C
二、多选题
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C是圆
B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
【答案】AC
【分析】
根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.
【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，
半径为的圆，所以A选项正确.
B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.
C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.
D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，
所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.
故选：AC
10．已知圆：.直线：，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆一定相交
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1
C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数或
D．圆上一点到直线的距离的最大值为
【答案】CD
【分析】由直线所过定点，判断直线与圆的位置关系验证选项A；由圆心到直线距离判断圆上的点到直线距离验证选项B；由截距为0和不为0两个类型求直线方程验证选项C；由圆心到直线距离的最大值求圆上一点到直线的距离的最大值验证选项D.
【详解】直线：，即，
由，得，直线：过定点，
，点在圆外，直线不一定与圆相交，A选项错误；
当时，直线：，到直线的距离为，圆的半径为2，，
所以圆上有四个点到直线的距离为1，B选项错误；
当直线过原点时，有，解得，满足直线在两坐标轴上的截距相等，
当时，直线方程可化为，直线在两坐标轴上的截距相等，有，故C选项正确；
圆到直线的最大距离为，圆的半径为2，
则圆上一点到直线的距离的最大值为，D选项正确.
故选：CD
11．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若轴，则的周长为
B．若直线交双曲线的左支于点，则
C．面积的最小值为
D．的取值范围为
【答案】BD
【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.
【详解】双曲线的标准方程为，则，
易知点、，双曲线的渐近线方程为.
对于A选项，当轴，直线的方程为，
联立，可得，此时，，
则，
此时，的周长为，A错；
对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，
因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，
即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，
所以，，即，B对；
对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，
因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，可得，
联立可得，即点，
联立可得，，即点，
所以，，，
所以，，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，
，
当时，，
当时，，
因为函数在上单调递减，
此时，
当时，因为函数在上单调递减，
此时，
综上所述，的取值范围是，D对.
故选：BD.
【方法指导】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
三、填空题
12．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ．
【答案】
13．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A､B两点（点A在点B的上方），若，则直线l的方程为 .
【答案】
【分析】结合已知条件，设出直线的方程，然后联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线定义求解直线斜率，进而求出直线方程.
【详解】由题意，的焦点的坐标，准线：，
因为且点A在点B的上方，故直线的斜率一定存在且大于0，
不妨设直线的方程：，，，，，
由可得，，
，
，，
由抛物线定义可知，，，
又由，即，
结合可得，，，
从而，解得，
故直线方程为：，即.
故答案为：.
14．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值．
【详解】根据题意可得，，
，，
所以，
由双曲线性质可得，设，，
则，
设，，
设，，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数 是上的增函数.
所以当时，取得最小值4，
即的最小值为4，此时点为右顶点.
故答案为：4.

四、解答题
15．已知直线l：与圆C：相切.
(1)求实数a的值；
(2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径可求得参数值；
（2）由三角形面积求得圆心到直线的距离，然后再由圆心到直线的距离公式求得得直线方程．
【详解】（1）将圆C：化为标准方程，
得，故圆心，半径为.
因为直线l：与圆C相切，所以，
解得，所以圆C的标准方程为.
（2）设圆心C到直线m的距离为d.
则，所以，解得.
故，解得或.
所以直线m的方程为或.
16．已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)椭圆，的方程是：
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程；
（2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程.
【详解】（1）设，，，因为，
所以，且，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.
设椭圆C的方程为，记，则，，
所以，，所以，所以的标准方程为.
（2）设点，则，
作差得，除以得，
又由点是AB的中点，则有，所以，
变形可得，所以直线的方程是即，
经检验符合题意，故直线的方程为.
17．已知直线：与抛物线：恒有两个交点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立消元后，根据判别式大于零得到不等式恒成立，运用数形结合法即得.
(2)根据的值确定抛物线方程，两方程联立后再运用焦点弦公式即得.
【详解】（1）将直线与抛物线方程联立，得，
又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立，
故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为.
（2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：．
将直线与抛物线方程联立，并令，，得，，由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故．
18．已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点
(1)求的周长；
(2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；
(3)若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解；
（2）由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到，再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的方程；
（3）根据题意设直线：，联立方程，结合判别式得到，分类讨论两条直线和与椭圆的位置情况，由即可求得h的值.
【详解】（1）因为曲线E：，
所以，则，
所以，，
故的周长为；
（2）依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：，
联立，消去，得，
恒成立，
由韦达定理得：，，
因为，，
所以，则，
从而有，
消去，得，即，
所以直线AB的方程为；
（3）依题意，知过点的直线斜率存在，
设该直线：，，
联立，消去，得，
若直线或为切线，则，解得，
注意到该曲线，即该曲线没有左右顶点，所以有三种情况：
情况1：两条直线均是切线，
因为，所以，即，解得，所以；
情况2：两条直线分别过椭圆左右顶点，
由对称性可知，又，所以，
此时，解得，所以；
情况3：其中一条直线是切线，另一条过椭圆的左（或右）顶点，
不妨设直线为切线时斜率为正，即，则，
因为，所以，解得；
综上：符合条件的h的值为或或．
【方法指导】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率可得，由可得，即可得答案；（2）设点到直线的距离为，由题意及韦达定理可得在直线PQ斜率存在或不存在两种情况下的面积表达式，由基本不等式可得面积取最大值时需满足条件，即可得此时的值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意，得，可得.又，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点到直线的距离为.
①直线的斜率不存在时.
设直线的方程为，且，则，
所以，当时等号成立.即当时，的面积最大，
此时，.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，
由消去并整理可得.
由题意知.
由韦达定理，，
则.
又，所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以当，且）时，的面积最大.
此时
.
综上所述，当的面积最大时，.
【方法指导】本题涉及求椭圆中三角形最值及相关斜率问题，关键为分斜率存在与斜率不存在两种情况写出三角形面积表达式，对于求面积最值，基本不等式是很有效的工具.