上海市金山中学2025届高三上学期9月月考数学试题(无答案)

这是一份上海市金山中学2025届高三上学期9月月考数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则______．
2．若，则______．
3．已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______．
4．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为______．
5．若函数，则的值域为______．
6．已知为第二象限，，则______．
7．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是______．
8．在中，分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是______．
9．已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是______．
10．已知，则中正数的个数为______．
11．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成；
已知，，且；
为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______（结果四舍五入精确到）
12．关于的方程有实根，则的最小值是______．
二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）
13．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
14．已知，若函数在上是减函数，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
15．如图，正方体中，是的中点，则（ ）
A．直线与直线相交，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线垂直，直线平面
16．已知是定义在上的函数，其图像是一条连续不断的曲线；设函数，下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则存在实数，使得在上严格增
B．对于任意实数，若在上严格递增，则在上严格增
C．对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D．若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值
三、解答题（共78分）
17．（第1小题6分，第2小题8分，共14分）
如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，；
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
18．（第1小题6分，第2小题8分，共14分）
已知（且），且满足，；
（1）求函数的解析式；
（2）函数满足条件，若存在实数，使得，，成等差数列，求正实数的取值范围；
19．（第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分，共14分）
某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售；若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货；该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据（注：视频率为概率，，）；
（1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
（2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布和数学期望；
（3）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值；
20．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分）
已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和；若分别是线段和的中点，求面积的最大值；
21．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，共18分）
若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”；
（1）试判断函数与是否为“函数”，并说明理由；
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有；
每天下午6前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10
5