山东省威海市环翠中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（五四制）

这是一份山东省威海市环翠中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（五四制），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．已知、为实数，且，则的值是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
4．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对边平行C．对角线互相垂直D．对角线相等
5．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则下列说法：
①若，则四边形为矩形；
②若，则四边形为菱形；
③若四边形是平行四边形，则与互相平分；
④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ）
A．B．C．D．
7．化简二次根式得（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则的值为（ ）
A．9或B．1或8C．9D．
9．如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，则菱形面积和正方形面积之比为（ ）
A．1B．C．D．
10．如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．要使式子有意义，则的取值范围为__________．
12．方程的根为__________．
13．设，是关于的方程的两个根，且，则__________．
14．若是关于一元二次方程的一个实数根，则的值是__________．
15．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为__________．
16．在矩形中，点在边上，是以为一腰的等腰三角形，若，，则线段的长为__________．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题8分）
计算：（1）；（2）．
18．（本小题8分）
解下列方程：（1）；（2）．
19．（本小题8分）
在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值．
解：设，两边平方，；
；
；
，，；
；
请利用以上方法，解决下列问题：
（1）求；
（2）若，求的值．
20．
21．（本小题8分）
已知关于的一元二次方程．
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值．
22．（本小题8分）
如图，在平行四边形中，的平分线交于点，点在上，且，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
23．（本小题8分）
如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，若，，，求的长．
24．（本小题8分）
如图，是锐角中边上的高，将沿所在的直线翻折得到，将沿所在的直线翻折得到，延长，相交于点．
（1）如图1，若，求证：四边形为正方形；
（2）如图2，若，当是等腰三角形时，求的度数；
（3）如图3，连结，分别交，于点、，连结交于点，若，求__________度．
答案和解析
1．【答案】D
【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简及立方根，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．【答案】D
【解析】解：，
，
，
则．
故选D．
先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
本题考查配方法解一元二次方程．
3．【答案】C
【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出的值，代入求得的值，代入代数式求值即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：菱形不具有的性质是对角线相等，
选项D符合题意，
故选：D．
根据菱形的性质可判断．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．
5．【答案】A
【解析】【分析】
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形．
【解答】解：由中位线定理知一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
故④选项正确．
故选：A．
6．【答案】C
【解析】解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故选：C．
先利用正方形的性质得到，在图2中，连接交于，证明是等边三角形得，再根据菱形的性质和勾股定理求得的长即可求．
本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．
7．【答案】C
【解析】解：二次根式有意义，
，
故选：C．
先判断出，再由二次根式的性质即可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：方程有两个实数根，
，解得：，
原方程的两个实数根为、，
，，
，
，即，
解得：，（舍去）．
故的值是9．
故选：C．
利用判别式得出的取值范围，利用根与系数的关系得到，，把变形得到，整体代入得到关于的方程，解方程即可求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
9．【答案】C
【解析】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
四边形是菱形，
，
即，
，
，
，正方形面积，
菱形面积和正方形面积之比，
故选：C．
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，于是得到，根据直角三角形的性质得到，求得于是得到，正方形面积
，即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
10．【答案】D
【解析】解：，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
根据已知可证明，则，（等角的余角相等），；故正确的是②③．
此题主要考查了等腰三角形、正方形对角线相互垂直平分相等和直角三角形的性质．
11．【答案】且
【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．【答案】，
【解析】解：，
或，
，．
故答案为：，．
根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解，右边等于0时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
13．【答案】2
【解析】解：根据题意，知，则，
将其代入关于的方程，得．
解得，
故答案是：2．
根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14．【答案】
【解析】解：是方程的一个实数根，
，
，
．
故答案为：．
先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
15．【答案】
【解析】【分析】
延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出为等腰直角三角形是解题的关键．
【解答】解：如图，延长交于点，
，，，
，，
和是直角三角形，
在和中，，
，
，，
，，
又，，
，，
在和中，，
，
，，，
，
同理可得，
在中，，
故答案为．
16．【答案】2.5或2，
【解析】解：四边形是矩形，
，，
①当时，点是的中垂线与的交点，；
②当时，
在中，，则，
．
综上所述，线段的长为2.5或2，
故答案是：2.5或2．
分两种情况：①，此时点是的中垂线与的交点；②，在直角中，利用勾股定理求得的长度，然后求得的长度即可．
本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【解析】（1）先根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和平方差公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18．【答案】解：（1），
，
则或，
解得，；
（2），
，
，即，
，
，．
【解析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．【答案】解：（1）设，
两边平方得，，
，
，
，
，
，
（2），
两边平方，，
即，
，
所以，解得．
【解析】（1）设，运用平方计算求出，根据求出结果即可；
（2）两边平方后整理得，再平方解无理方程得到结果．
本题考查二次根式的性质，应用二次根式的性质计算是解题的关键．
20．【答案】
【解析】
21．【答案】解：（1）方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
当时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为、，
根据题意得：，．
、为边长为5的菱形的两条对角线的长，
，
解得：或．
，，
，
．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则的值为．
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据，即可确定的值．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于的一元二次方程．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形为菱形，
，，
又，
，
，
，
菱形的面积．
【解析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论．
（2）根据菱形的性质得到，，利用勾股定理求出，进而求出结论．
本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
且，
，
在和中，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
．
【解析】（1）证，得，，再证，得四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得到，进而求得，，再由直角三角形的性质得，然后由勾股定理可求得，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
24．【答案】60
【解析】解：（1），且和分别是由和翻折得到．
，．
四边形为矩形．
又，
四边形为正方形；
（2）设，则，
，
而
是等腰三角形，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
为或或；
（3）由（1）知，，，
，
，
故答案为：60．
（1）根据折叠的性质知而，，由此可证得四边形是矩形；而，所以四边形是正方形；
（2）利用翻折先求出，再对等腰三角形进行分类讨论即可求得答案；
（3）利用等腰三角形求出，求得即可得解．
本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，等腰三角形性质等知识，对等腰三角形进行正确的分类讨论是解题关键．