福建省漳州市龙文区龙文中学2024年数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份福建省漳州市龙文区龙文中学2024年数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
3、（4分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，作BF⊥AM于点F，连接BE. 若AF=1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．D．
4、（4分）直线与轴、轴的交点坐标分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5、（4分）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）某校篮球队队员的年龄分布情况如下表，则该校篮球队队员的平均年龄为（ ）
A．13岁B．13.5岁C．13.7岁D．14岁
7、（4分）一个三角形的三边分别是6、8、10，则它的面积是（ ）
A．24B．48C．30D．60
8、（4分）一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩（单位：分）分别是110，90，105，91，85，1．则该小组的平均成绩是（ ）
A．94分B．1分C．96分D．98分
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.
10、（4分）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动，若限定点，分别在，边上移动，则点在边上可移动的最大距离为__________．
11、（4分）若分解因式可分解为，则=______。
12、（4分）如图所示,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移得到的,左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(-4,2),(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是__.
13、（4分）若，则的取值范围为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点作AG∥DB，交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．
15、（8分）计算：
（1）-2
（2）（-）•（+）
16、（8分）解方程：x2﹣6x+8＝1．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），C（0，1）.
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（-5，-3），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A2B2C2和△A1B1C关于点P中心对称，请直接写出旋转中心P的坐标.
18、（10分）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，并绘制成如下统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题
（1）小丽共调查了 名居民的年龄，扇形统计图中a= %，b= %；
（2）补全条形统计图；
（3）若该辖区0~14岁的居民约有3500人，请估计年龄在60岁以上的居民人数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________．
20、（4分）如图，直线、、、互相平行，直线、、、互相平行，四边形面积为，四边形面积为，则四边形面积为__________．
21、（4分）已知：等腰三角形ABC的面积为30，AB=AC= 10，则底边BC的长度为_________ m.
22、（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
23、（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图1，在正方形中，，为对角线上的一点，连接和．
（1）求证：；
（2）如图2，延长交于点，为上一点，连接交于点，且有．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②如图3，取中点，连接、，当四边形为平行四边形时，求的长．
25、（10分）反比例函数y1=（x＞0）的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2）
（1）求这两个函数解析式；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标．
26、（12分）某体育用品商店，准备用不超过2800元购买足球和篮球共计60个，已知一个篮球的进价为50元，售价为65元；一个足球的进价为40元，售价为50元.
（1）若购进x个篮球，购买这批球共花费y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）设售出这批球共盈利w元，求w与x之间的函数关系式；
（3）体育用品商店购进篮球和足球各多少个时，才能获得最大利润？最大利润是多少？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=．
故选：B．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
2、C
【解析】
利用完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案．
【详解】
∵，
∴a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：C．
本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．
3、B
【解析】
先证明ΔABF≌ΔDAE得到BF=AE，设BF=x，则AE=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积=得，解之即可求得BF的长.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90º，
∴∠DAE+∠BAF=90º，
∵BF⊥AM，DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90º，
∴∠ABF+∠BAF=90º，
∴∠ABF=∠DAE，
在ΔABF和ΔDAE中
∴ΔABF≌ΔDAE(AAS)，
∴BF=AE，DE=AF=1
设BF=x，则AF=x，
由四边形ABED的面积为6得：
，即，
解得：（舍去），
∴BF=3，
故选：B.
本题主要考查正方形的性质、三角形面积公式以及全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的知识是解答的关键.
4、A
【解析】
分别根据点在坐标轴上坐标的特点求出对应的x、y的值，即可求出直线y=2x-3与x轴、y轴的交点坐标．
【详解】
解：令y=0，则2x-3=0，
解得x=，
故此直线与x轴的交点的坐标为（，0）；
令x=0，则y=-3，
故此直线与y轴的交点的坐标为（0，-3）；
故选：A.
本题考查的是坐标轴上点的坐标特点，一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
5、D
【解析】
由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【详解】
根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;
故选D.
此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．
6、C
【解析】
根据加权平均数的计算公式计算可得．
【详解】
解：该校篮球队队员的平均年龄为：(岁)
故答案为：C.
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义和计算公式．
7、A
【解析】
先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形,再利用面积法代入求解即可．
【详解】
∵,
∴三角形是直角三角形,
∴面积为:．
故选A．
本题考查勾股定理逆定理的应用,关键在于熟悉常用的勾股数．
8、C
【解析】
根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，即可得解.
【详解】
根据题意，该小组的平均成绩是
故答案为C.
此题主要考查平均数的应用，熟练掌握，即可解题.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（-2，-2）
【解析】
先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
【详解】
“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案是：（﹣2，﹣2）．
考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．
10、1
【解析】
分别利用当点M与点A重合时，以及当点N与点C重合时，求出AH的值进而得出答案．
【详解】
解：如图1，当点M与点A重合时，根据翻折对称性可得AH=AD=5，
如图2，当点N与点C重合时，根据翻折对称性可得CD=HC=13，
在Rt△HCB中，HC2=BC2+HB2，即132=（13-AH）2+52，
解得：AH=1，
所以点H在AB上可移动的最大距离为5-1=1．
故答案为：1．
本题主要考查的是折叠的性质、勾股定理的应用，注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．
11、-7
【解析】
将（x+3）(x+n)的形式转化为多项式，通过对比得出m、n的值，即可计算得出m+n的结果.
【详解】
（x+3）（x+n）=+（3+n）x+3n，
对比+mx-15，
得出：3n=﹣15，m=3+n，
则：n=﹣5，m=﹣2.
所以m+n=﹣2﹣5=﹣7.
本题考查了因式分解，解题关键在于通过对比两个多项式，得出m、n的值.
12、（5，4）
【解析】
由左图案中左眼的坐标是（－4，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），可知左图案向右平移了7个单位长度，向上平移了2个单位长度变为右图案．因此右眼的坐标由（－2，2）变为（5，4）．
故答案为（5，4）.
13、
【解析】
根据二次根式的性质可知，开方结果大于等于0，于是1-a≥0，解不等式即可．
【详解】
∵，
∴1−a≥0，
∴a≤1，
故答案是a≤1.
本题考查二次根式的性质与化简，能根据任意一个非负数的算术平方根都大于等于0得出1−a≥0是解决本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=CD，BE=AB，
∴DF=BE, DF∥BE,
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵AG∥DB，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴BF=CD=DF，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF为菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形中斜边中线等于斜边一半，解题的关键是掌握和灵活应用相关性质.
15、（1）；（2）﹣1．
【解析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可．
【详解】
(1)原式
=2
；
(2)原式=2﹣5
=﹣1．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16、x1＝2 x2＝2．
【解析】
应用因式分解法解答即可.
【详解】
解：x2﹣6x+8＝1
（x﹣2）（x﹣2）＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2 x2＝2．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
17、（1）见解析；（2）见解析；（3）(-1，-1)
【解析】
（1）分别将A，B绕C点旋转180°，得到A1，B1，再顺次连接即可得△A1B1C；
（2）由A(-3，1)到A2(-5，-3)是向左平移2个单位，再向下平移4个单位，将B，C以同样的方式平移得到B2，C2，再顺次连接即可得△A2B2C2；
（3）连接B1B2，CC2，交点即为旋转中心P．
【详解】
（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心P的坐标为(-1，-1)．
本题考查网格作图，熟练掌握点的旋转与平移是解题的关键，寻找旋转中心的方法是连接旋转前后对应点，交点即为旋转中心．
18、（1）500，20%，12%；（2）110，图见解析；（3）2100人
【解析】
（1）由题意根据“15～40”的百分比和频数可求总数，进而求出a、b的值；
（2）根据题意利用总数和百分比求出频数再补全条形图即可；
（3）根据题意用样本估计总体，进而得出年龄在60岁以上的居民人数即可．
【详解】
解：（1）解：（1）根据“15到40”的百分比为46%，频数为230人，可求总数为230÷46%=500，
0~14岁有100人，60岁以上有60人，所以.
故答案为：500，20%，12%.
（2）由题意可得41-59岁有：22%500=110（人），画图如下，
（3）由题意估计出总人数：（人），
年龄在60岁以上的居民人数：（人）.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x＋3＝1(或x－1＝1)
【解析】
试题分析：把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=1或x+3=1．
解：（x﹣1）（x+3）=1，
x﹣1=1或x+3=1．
故答案为x﹣1=1或x+3=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
20、1
【解析】
由平行四边形的性质可得S△EHB＝S△EIH，S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，由面积和差关系可求四边形IJKL的面积．
【详解】
解：∵AB∥IL，IJ∥BC，
∴四边形EIHB是平行四边形，
∴S△EHB＝S△EIH，
同理可得：S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，
∴四边形IJKL面积＝四边形EFGH面积−（四边形ABCD面积−四边形EFGH面积）＝11−（18−11）＝1，
故答案为：1．
本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得出S△EHB＝S△EIH是解题的关键．
21、或
【解析】
作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
【详解】
作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°,△ABC的面积=AB⋅CD=×10×CD=30，
解得：CD=6，
∴AD==8m；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB−AD=2m,
∴BC==；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=18m，
∴BC==；
综上所述：BC的长为或.
故答案为：或.
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论等腰三角形.
22、①②④
【解析】
分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。∴BE=DF。
∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF。∴CE=CF。∴①说法正确。
∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形。∴∠CEF=45°。
∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°。∴②说法正确。
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF。
∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG。
∴BE+DF≠EF。∴③说法错误。
∵EF=2，∴CE=CF=。
设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，
∴。
∴。∴④说法正确。
综上所述，正确的序号是①②④。
23、k＞﹣1且k≠1．
【解析】
由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)证明步骤见解析;(2) ①EF⊥AM，理由见解析;②
【解析】
(1)证明△ABM≌△CBM(SAS)即可解题,
(2) ①由全等的性质和等边对等角的性质等量代换得到∠ECF=∠AEF,即可解题,
②过点E作EH⊥CD于H,先证明四边形EBCH是矩形,再由平行四边形的性质得到E,G是AB的三等分点,最后利用斜边中线等于斜边一半即可解题.
【详解】
解 (1)在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,BM=BM
∴△ABM≌△CBM(SAS)
∴AM=CM
(2) ①EF⊥AM
由(1)可知∠BAM=∠BCM,
∵CE=EF,
∴∠ECF=∠EFC,
又∵∠EFC=∠AEF,
∴∠ECF=∠AEF,
∴∠AEF+∠BAM=∠BCM+∠ECF=90°,
∴∠ANE=90°,
∴EF⊥AM
②过点E作EH⊥CD于H,
∵EC=EF,
∴H是FC中点(三线合一),∠EHC=90°,
在正方形ABCD中,∠EBC=∠BCH=90°,
∴四边形EBCH是矩形,
∴EB=HC,
∵四边形AECF是平行四边形,G为AE中点,
∴AE=CF,BE=DF
∴CH=HF=DF
同理AG=EG=BE
∵AB=1
∴AE=
由①可知∠ENA=90°,
∴NG=(斜边中线等于斜边一半)
本题考查了正方形的性质,平行四边形的性质,矩形的判定,直角三角形斜边的中线的性质,中等难度,熟悉图形的性质是解题关键.
25、（1）y1=；y2=﹣x+3；（2）点P（0，）．
【解析】
将已知点A分别代入反比例函数和一次函数里，即可求出k、b，再将k、b的值代入两个函数里，就可以求出两个函数的解析式；
作A点关于y轴的对称点，并与B连接这条线段即为所求。根据已知求出B点坐标，再求出新线的解析式，最后求出P点坐标．
【详解】
（1）将点A（1，2）代入y1=，得：k=2，
则y1=；
将点A（1，2）代入y2=﹣x+b，得：﹣1+b=2，
解得：b=3，
则y2=﹣x+3；
（2）作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接A′B，交y轴于点P，即为所求，
如图所示：
由得：或，
∴B（2，1），
设A′B所在直线解析式为y=mx+n，
根据题意，得：，
解得：，
则A′B所在直线解析式为y=3x﹣5，
当x=0时，y=，
所以点P（0，）．
函数解析式．
26、（1）y与x之间的函数关系式为;
（2）w与x之间的函数关系式;
（3）当时，w最大为800元.
【解析】
（1）由题意得购进篮球x个，则购进足球的个数为 ，再根据篮球足球的单价可得有关y与x的函数关系式；
（2）已知篮球和足球购进的个数分别乘以其售价减去成本的差即可表示利润w与x的函数关系式；
（3）由总费用不超过2800得到x的取值范围，再x的取值范围中找到w的最大值即可.
【详解】
解：（1）设购进x个篮球，则购进了个足球.
,
∴y与x之间的函数关系式为 ;
（2） ,
∴w与x之间的函数关系式；
（3）由题意，，
解得，，
在中，
∵ ，∴ y随x的增大而增大，
∴当时，w最大为800元.
∴当购买40个篮球，20个足球时，获得的利润最大，最大利润为800元.
此题考查了一次函数及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意所述的等量关系及不等关系，列出不等式.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分