专题01直线与方程（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

这是一份专题01直线与方程（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案，共10页。学案主要包含了清单01，清单02，清单03，清单04，考点题型一，变式1-1，变式1-2，变式1-3等内容，欢迎下载使用。


【清单01】直线的倾斜角与斜率
一、直线倾斜角的定义
1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.
2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，
3.范围：[0,π)
4.图形：
二、直线的斜率
1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为α，则当α≠90°时，称k=tanα为直线l的斜率；当α=90°时，称直线l的斜率不存在.
2.公式：已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)，是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k=y2−y1x2−x1，当x1=x2时，直线l的斜率不存在.
【清单02】直线方程的五种形式
【清单03】两条直线的平行与垂直
一、两条直线平行与斜率之间的关系
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
三、一般式判断两条直线的位置关系
【清单04】距离公式
一、两点间距离公式
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2−x1）2+（y2−y1）2
二、点到直线距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.
三、两条直线距离公式
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【考点题型一】直线的倾斜角
方法总结：直线的倾斜角需要注意符合倾斜角的取值范围，（0，π]
【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点1,0和2,3，则该直线的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【变式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+3y−3=0的夹角为60°，则θ的值为（ ）
A．30°或150°B．60°或0°C．90°或30°D．60°或180°
【变式1-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线l1:2x+y−1=0,l2:x−3y=0,l3:x−3=0的倾斜角分别为α,β,γ，则（ ）
A．α<β<γB．β<α<γC．α<γ<βD．β<γ<α
【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点M3,y，N0,3的直线的倾斜角为2π3，则y的值为（ ）
A．0B．−23C．43D．3
【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线l经过两点A2,m、B−m,2m−1且l的倾斜角为45∘，则m的值为（ ）
A．12B．2C．1D．−12
【考点题型二】直线的斜率
方法总结：
1.定义：倾斜角α的正切值，（α≠90°）
2.记法：k=tanα
3.经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)x1≠x2的斜率公式，k=y2−y1x2−x1
【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过A−1,2，B−4,8两点的直线的斜率是（ ）
A．2B．−2C．12D．−12
【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距PiPi+1i=1,2,3,…,9约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距AiAi+1i=1,2,3,…,9均为16m.最短拉索的锚P1，A1满足OP1=57m，OA1=86m，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．±0.40B．±0.42C．±0.43D．±0.45
【变式2-2】（23-24高二上·山东·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为15°，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（ ）
A．0B．233C．−23D．−233
【变式2-3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点A1,2，B3,m，C7,m+2共线，则m= ．
【变式2-4】(多选)（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台ABCD，AB=3AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则tanα的值可以为（ ）

A．19B．12C．1D．32
【考点题型三】斜率与倾斜角的变化
方法总结：:已知线段AB的两端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率都存在，解题步骤如下:
①连接PA,PB;
②由k =y2−y1x2−x1求出kPA和kPB;
③结合图形写出满足条件的直线l斜率的取值范围
【例3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线l经过点A(−1,2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．(−2,0]B．(−∞,−2]∪[0,+∞)C．[1,2]D．[−2,0]
【变式3-1】（多选）（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过A1−a,1+a和B3,a的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（ ）
A．−2B．0C．1D．2
【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点A2,3，B−5,2，若过点C−1,5的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是 .
【变式3-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线x−ay−1=0的倾斜角大于π4，则正实数a的取值范围 ．
【变式3-4】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）直线xcsθ+ysinθ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为（ ）
A．−∞,3B．2,+∞C．−∞,0∪0,3D．−∞,2
【考点题型四】直线方程的五种形式
方法总结：求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。
(1)已知直线的纵截距，常设方程的斜截式;
(2)已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式(截距均不为0)
(3)已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况;
(4)仅知道直线的横截距，常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距，m是参数)，注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用
如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+c=0(A，B不同时为0.)
【例4】（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A3,2，则过两点P1a1,b1、P2a2,b2的直线的方程为 ．
【变式4-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为 .
【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线l经过1,2
(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线l的方程；
(2)当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程.
【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点P2,1的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当△AOB的面积最小时，l的方程为（ ）
A．x+2y−4=0B．2x+y−5=0
C．x+3y−5=0D．3x+y−7=0
【变式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直线l1:ax−2y−2a+4=0，直线l2:a2x+4y−4a2−8=0
(1)若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；
(2)若l1 ∥ l2，求直线l2的方程.
【考点题型五】两条直线的平行与垂直
方法总结：
判断两条直线平行时，注意检验重合；
判断两条直线的垂直时，注意考虑斜率不存在与斜率为0的情况
【例5】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线ax+2ay+1=0与(a−1)x−(a+1)y−1=0垂直，则实数a的值是（ ）
A．0或3B．3
C．0或−3D．−3
【变式5-1】（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线l1:ax+3y+a2−5=0，l2:x+(a−2)y+4=0，若两条直线平行，则实数a=（ ）
A．−1B．1
C．3D．−1或3
【变式5-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线a+1x+3y+3=0与直线x+a−1y+1=0平行，则实数a的值为（ ）
A．2B．12
C．−2D．2或−2
【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,3)和N(4,0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为π2，则点Q的坐标为 ．
【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线2a−1x+y+1=0与直线x+by−1=0互相垂直，则ab的最大值为 .
【考点题型六】由直线的平行与垂直求直线方程
方法总结：
1.根据平行关系求直线方程的方法
(1)若直线l与已知直线y=kx+b平行，则可设l的方程为y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程
(2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线的方程.
2.根据垂直关系求直线方程的方法
(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y=kx+b垂直，则可设直线l的方程为y=-1kx+m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线的方程.
(2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx-Ay+m=0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程.
【例6】（23-24高二上·江苏南通·期中）过点3,4且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程为（ ）
A．3x−2y+1=0B．3x−2y−1=0
C．3x+2y+1=0D．2x+3y−18=0
【变式6-1】（22-23高二·贵州贵阳·阶段练习）过点(1,2)且垂直于直线3x−2y+5=0的直线方程为（ ）
A．2x+3y−8=0B．2x−3y+4=0
C．3x−2y+1=0D．2x+3y+8=0
【变式6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点1,2且与直线x−2y−3=0垂直的直线方程为 .
【变式6-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 △ABC的顶点A5,1，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−7=0．
(1)求顶点C的坐标.
(2)求直线BC的方程.
【变式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直线l的倾斜角为60°，且l过点P(3,−1).
（1）求l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
【考点题型七】直线过定点问题
方法总结：直线方程过定点问题常用的三种方法:
1.将方程化为点斜式y-y0=k(x-x0),其中k为参数,求得直线恒过定点(x0,y0)
2.分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起，没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标.
3. 赋值法:因为参数取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标.
【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直线kx−y+1−3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．3,1B．0,1
C．0,0D．2,1
【变式7-1】（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:y-4=-mx+2交于点P(P与A,B不重合),则PA+PB的最大值为（ ）
A．56B．55
C．52D．5
【变式7-2】（多选）（21-22高二上·江苏常州·期中）已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°B．对任意的k，直线l2恒过定点
C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都有公共点
【变式7-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设m∈R，过定点A的动直线x+my+2=0和过定点B的动直线mx−y−2m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|⋅|PB|的最大值为 ．
【变式7-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：(4λ+1)x−(λ+1)y+3=0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l被两平行直线l1：x−2y+2=0与l2：x−2y−6=0所截得的线段AB的中点恰好在直线2x+y+6=0上，求λ的值.
【考点题型八】距离公式及应用
方法总结：距离公式综合应用的三种常用类型
最值问题:
①利用对称转化为两点之间的距离问题
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离，
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值
求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值
(3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素--点和方向、利用直线方程的各种形式、结合直线的位置关系：平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.
【例8】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线l1:2x+y−1=0,l2:4x+2y+1=0，则l1,l2间的距离为（ ）
A．255B．55
C．3510D．510
【变式8-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过A(m,2),B(−m,m−1)两点的直线的倾斜角是45∘，则A,B两点间的距离为（ ）
A．2B．6
C．22D．32
【变式8-2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l过点P−2,−3，若点M2,−1和点N4,5到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A．3x−y−3=0B．3x−y+3=0
C．x−y−1=0D．x+y−3=0
【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,−2)，B(−3,4)，C(0,6).
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求△ABC的面积.
【变式8-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线l：m+nx−m−ny−2n=0及点P4,5
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程.
【考点题型九】和差最值与对称问题
方法总结：
将军饮马问题：利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
点关于直线的对称问题：
（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则
（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）
【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知x+y=0，则x2+y2−2x−2y+2+x−32+y2的最小值为（ ）
A．25B．15
C．17D．22
【变式9-1】（22-23高二上·江苏南京·期中）直线l与直线y=3x关于直线y=x+1对称，则直线l的倾斜角是（ ）
A．π12B．π6
C．π4D．π3
【变式9-2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为x,yx−12+y2≤14，河岸线所在直线方程为x+y=5.假定将军从点P(2,0)处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
【变式9-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）点A1,2关于直线l:x+2y−1=0的对称点的坐标为 ．
【变式9-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l过点−3,7，直线l'：x−3y+8=0．
(1)若直线l⊥l'，求直线l的方程；
(2)若直线l为入射光线，经直线l'反射，其反射光线经过点0,6，求l的方程．
名称
已知条件
标准方程
使用范围
点斜式
斜率k,直线上一点（x0，y0）
y-y=k（x-x0）
k存在
斜截式
斜率k,y轴上截距b
y=kx+b
k存在
两点式
直线上的两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2）(x2-x1≠0且y2-y1≠0)
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴
截距式
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，
xa+yb=1
直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于 )轴,且不过原点
一般式
A,B不同时为0
Ax+By+C=0
通用
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1=α2≠90°
α1=α2=90°
对应关系
k1=k2⇔l1∕∕l2,或l1，l2重合
两直线斜率都不存在⇔l1∕∕l2,或l1，l2重合
图示
类型
斜率存在且不为0
斜率不存在或斜率为0
条件
α1，α2不等于90°，不等于0°
α1或α2等于90°或0°
对应关系
k1⋅k2=−1⇔l1⊥l2
两直线的斜率一个不存在，一个斜率为0⇔l1⊥l2
图示
l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0
l1，l2相交
A1B2≠A2B1，
l1∕∕l2，
A1B2=A2B1,验证不重合
l1，l2重合
A1B2=A2B1,验证重合
l1⊥l2，
A1A2+B1B2=0