专题04双曲线的概念与几何性质（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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【清单01】双曲线的概念与标准方程
一.双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
二.双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
【清单02】双曲线的渐近线、离心率及几何性质汇总
一.等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
二.双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
三. 离心率
1.定义：e＝ca
2.范围：(1，＋∞)
3.拓展： = 1 \* GB3 ①e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2 = 2 \* GB3 ②e=1+b2a2 = 3 \* GB3 ③ba=e2−1
四.双曲线的几何性质汇总
【清单03】直线与双曲线的位置关系
一．直线与双曲线的位置关系
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)∆>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点
(2)∆=0时，直线与双曲线只有一个切点
(3)∆<0时，直线与双曲线没有公共点
当a=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点
【特别注意】(1)直线与双曲线的关系中:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
(2)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(3)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行:
(4)注意对直线的斜率是否存在进行讨论
二．弦长公式
①弦长公式:直线y=kx+b 与双曲线相交所得的弦长 d=1+k2|x1−x2|=1+1k2|y1−y2|.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,联立曲线方程和直线方程,根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解
③双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径,无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于2b2a
【考点题型一】双曲线的概念与标准方程
方法总结：
【例1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）方程x2+y+22−x2+y−22=2可化简为（ ）
A．x2+y23=1B．x2−y23=1x>0
C．y2+x23=1D．y2−x23=1y>0
【变式1-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知P是圆F1:x+32+y2=16上的一动点，点F23,0，线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q，则Q点的轨迹方程为（ ）
A．x25−y24=1B．x24−y29=1
C．x24−y25=1D．x24−y25=1x>0
【变式1-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程mx2+1−my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．m<0B．m>1
C．0【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的方程为x2k+2+y23−k=1,则k的取值范围是 .
【变式1-4】（21-22高二上·江苏镇江·期中）动圆M与圆C1：x+42+y2=1，圆C2：x2+y2−8x+7=0，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x215+y2=1B．x2−y215=1
C．x2−y215=1x≥1D．x2−y215=1x≤−1
【考点题型二】双曲线的离心率
方法总结：
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和 e=ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
【例2】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x，则C的离心率为（ ）
A．3B．5
C．3或62D．5或52
【变式2-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为（ ）
A．25B．105
C．22D．12
【变式2-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且△ABM的外接圆面积为3πa2，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2B．2
C．3D．5
【变式2-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）在△ABC中，AC⊥BC，sinA=35，以A，C为焦点且经过点B的椭圆离心率记为e1，以B，C为焦点且经过点A的双曲线离心率记为e2，则e1e2= .
【变式2-4】（23-24高二上·江苏徐州·期中）设F1，F2分别为椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=60°，若椭圆的离心率e1∈22,32，则双曲线C2的离心率e2的取值范围为（ ）
A．52,62B．62,+∞
C．324,62D．62,142
【考点题型三】双曲线的渐近线
方法总结：在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±ba与,满足关系式e2=1+k2
【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为8，且双曲线C的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线C的方程为（ ）
A．x28−y28=1B．x24−y24=1
C．x22−y22=1D．x2−y2=1
【变式3-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线C:x24−y23=m (m≠0)，则当实数m变化时，这些双曲线有（ ）
A．相同的焦点B．相同的实轴长
C．相同的离心率D．相同的渐近线
【变式3-2】(多选)（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知曲线C：mx2+ny2=1．（ ）
A．若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为1n
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±−mnx
D．若n=0，m>0，则C是两条直线
【变式3-3】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）下列双曲线中以y=±2x为渐近线的是（ ）
A．x24−y2=1B．x24−y216=1
C．y2−4x2=2D．y24−x2=1
【变式3-4】（多选）（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线C： x24−y29=1则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)
B．双曲线C与x24−y29=λ(λ≠0)有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D．直线y=32x+1与双曲线有两个交点
【考点题型四】焦点三角形
方法总结：求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：S∆PF1F2=b2tanθ2
【例4】（21-22高二·全国·课后作业）设双曲线x29−y216=1的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，若PF1⋅PF2=32，则PF1⋅PF2= ．
【变式4-1】（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知焦点为F1，F2的双曲线C的离心率为5，点P为C上一点，且满足2PF1=3PF2，若△PF1F2的面积为25，则双曲线C的实轴长为
【变式4-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右支分别交于A、B两点，若AF1＝2a，∠F1AF2=2π3，则S△AF1F2S△ABF2=
【变式4-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线x2−y23=1的左焦点F1作斜率为2的弦AB，求：
(1)线段AB的长；
(2)设点F2为右焦点，求△F2AB的周长.
【变式4-4】（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0有公共的焦点F1，F2，设P是C1，C2的一个交点，C1与C2的离心率分别是e1，e2，则下列结论正确的有（ ）
A．PF1⋅PF2=b12+b22B．△F1PF2的面积S=b1b2
C．若∠F1PF2=π3，则1e12+2e22=4D．tan∠F1PF22=b2b1
【考点题型五】直线与双曲线的位置关系
方法总结：直线与双曲线的具有三种位置关系:
相交:直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点;
相切:不平行于渐近线且交于一点;
(3)相离;
【例5】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线x29−y24=1与直线y=−23x+mm∈R的公共点的个数为（ ）
A．0B．1
C．0或1D．0或1或2
【变式5-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）若直线l:x+my−m−2=0与曲线x24−y2=1有且只有一个交点，则满足条件的直线l有（ ）
A．4条B．3条
C．2条D．1条
【变式5-2】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率为52，则b= ，若直线y=kx+3(k>0)与该双曲线有且仅有一个公共点，则k= .
【变式5-3】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线l:y=kx+2(k∈R)，与双曲线C:x23−y2=1的左支交于A，B两点.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若△OAB的面积为625（O为坐标原点），求此时直线l的斜率k的值.

【变式5-4】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C过点P62,1,Q(2,2).
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知A(3,4),过点13,0的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2为定值.

【考点题型六】中点弦问题
方法总结：双曲线中点弦的斜率公式：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【例6】（23-24高二上·河北·期中）已知双曲线C的中心在原点，过点2,0，且与双曲线x2−y22=1有相同的渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知A，B是双曲线C上的两点，且线段AB的中点为M3,3，求直线AB的方程．

【变式6-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆x24+y2=1有公共的焦点，且离心率为3．
(1)求双曲线C的方程．
(2)经过点M1,2作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

【变式6-2】（21-22高二上·江苏南通·期中）在①离心率为3，且经过点3,4；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数4，且焦距为2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由.
问题：已知曲线C：mx2+ny2=1m,n≠0的焦点在x轴上，______，是否存在过点P−1,1的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【变式6-3】(多选)（22-23高二下·云南保山·期中）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：ca+c=ac的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为B,PQ为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（ ）
A．e=5−1B．e=5+12
C．OA×OF=OB2D．kOM⋅kPQ=e

【变式6-4】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，AF2−AF1=4.
(1)求E的方程；
(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.

【考点题型七】直线与双曲线弦长问题
方法总结：设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【例7】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：x24−y2=1的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若AB=4，则这样的直线l有（ ）
A．0条B．2条
C．3条D．4条

【变式7-1】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的焦点F1,F2的坐标分别为−5,0和5,0，离心率为e=54，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线l与该双曲线交于交于A,B两点，且A,B中点P5,1，求直线AB的弦长．

【变式7-2】（22-23高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线x2−y23=1的左焦点F1作斜率为2的弦AB，求：
(1)线段AB的长；
(2)设点F2为右焦点，求△F2AB的周长.

【变式7-3】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）双曲线C：x26−y23=1的右焦点为F2，直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点.
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积.

【变式7-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P是双曲线E：x216−y29=1的右支上一点，F1、F2是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则点P的横坐标为（ ）
A．2B．4
C．163D．203

【考点题型八】双曲线中的和差最值问题
方法总结：
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【例8】（21-22高二上·四川成都·期中）若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线C2:x−52+y2=1上，点R在曲线C3:x+52+y2=1上，则PQ−PR的最大值是（ ）
A．9B．10
C．11D．12

【变式8-1】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F1,F2在x轴上，中心在坐标原点，点A的坐标为(5,3)，P为双曲线右支上一动点，则PF1−PA的最大值为（ ）
A．22+2B．42+2
C．22+4D．42+4

【变式8-2】（22-23高二上·吉林·期中）已知双曲线C:y24−x25=1的下焦点为F，A3,7，P是双曲线C上支上的动点，则PF−PA的最小值是（ ）
A．−2B．2
C．1D．−1

【变式8-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点M2，1，点P是双曲线C:x29−y216=1左支上的动点，点F2为双曲线右焦点，N是圆D:x+52+y2=1的动点，则PM−PN的最小值为 ．

【变式8-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知P是双曲线x29−y27=1上的点，F为双曲线的右焦点，点A的坐标为5,1，则PF+PA的最小值是 ．
【考点题型九】双曲线轨迹方程
方法总结：求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于x,y的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将x0=gxy0=ℎx代入fx0,y0=0.
【例9】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x−3)2+y2=1，动圆M与圆C1,C2均外切，记圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点C2且斜率为4的直线l与曲线C交于A,B两点，求△C1AB的面积．
【变式9-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点F1−3,0，F23,0，若动点Mx,y满足kMF1⋅kMF2=4，则动点M的轨迹方程为 .
【变式9-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线C:x24−y2=1的左焦点为F，过双曲线C右支上任意一点作其切线l，过点F作直线l的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为 .
【变式9-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点F(2,0)的距离是到直线x=32的距离的233．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设P(1,0)，直线x=tt≠3与M的轨迹方程相交于A,B两点，若直线BP与M的轨迹方程交于另一个点C，证明：直线AC过定点．
【变式9-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x=32的距离之比是常数233，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【考点题型十】双曲线的切线
方法总结：
性质1.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。
性质2.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。
性质3.双曲线上任一点处的切线与两条渐近线所围成的三角形的面积为定值。
【例10】（多选）（21-22高二下·江苏镇江·期中）已知双曲线C：x23−y2=1，则（ ）
A．双曲线C的焦距为4B．双曲线C的两条渐近线方程为：y=±33x
C．双曲线C的离心率为433D．双曲线C有且仅有两条过点Q1,0的切线
【变式10-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线C与双曲线x24−y22=1有共同的渐近线，且过点−3,62.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知P为直线x=2上任一点，过点P作双曲线C的两条切线PA､PB，切点分别为A､B，过C的实轴右顶点作垂直于x轴的直线与直线PA､PB分别交于M､N两点，点M､N的纵坐标分别为m､n，求mn的值.
【变式10-2】（22-23高二上·山西·期中）已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为34．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为双曲线C右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线C在点P处的切线PT平分∠F1PF2．
【变式10-3】（22-23高二下·福建福州·期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为13，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为2−3.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作l的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上.
【变式10-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知A,B分别是双曲线C:x29−y25=1的左、右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，直线PB与x=2分别交于M,N两点，记△PMN，△PAB的外接圆面积分别为S1,S2，则S1S2的最小值为（ ）
A．316B．181
C．34D．2581
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性质
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
文字语言
平面内与两个定点F1，F2，F的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言
||PF1|−|PF2||=2a,(2a<2c).
焦点
定点F1，F2
焦距
两焦点间的距离