专题05抛物线的概念与几何性质（考点清单）（含答案） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）学案

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【清单01】抛物线的概念与标准方程
一．抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)．
3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；
一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
二．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
【清单02】抛物线的几何性质
【清单03】直线与抛物线的位置关系
一.直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系主要有三种:相交、相切和相离
当直线与抛物线有两个不同的交点时，称为相交;
当直线与抛物线只有一个交点时，称为相切;
当直线与抛物线没有交点时，称为相离，
二.直线与抛物线的位置关系判定方法
1.相交:当直线的斜率k不为0时，;通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ>0，表示有两个不同的实根，即直线与抛物线相交
2.相切:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ=0，表示有两个相同的实根，即直线与抛物线相切。
3.相离:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ<0，表示没有实根，即直线与抛物线相离
三.直线与抛物线位置关系的应用
弦长问题:当直线过抛物线的焦点时，弦长AB可以通过公式AB=x1+x2+p计算;
当直线不过焦点时，弦长AB可以通过公式AB=1+k2|x1−x2|=1+1k2|y1−y2|计算。
【考点题型一】抛物线的定义与标准方程
方法总结：
1.求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
2.抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点Mx0,3，点M到抛物线C的焦点F的距离为3，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．x=−32B．x=−3C．x=-1D．x=−2
【变式1-1】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）对于抛物线上18x2=y，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为0,2B．开口向上，焦点为0,116
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y=−2
【变式1-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点F2,0，直线l：x=−2，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离．
(1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程；
(2)求动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值．
【变式1-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x−2y−4=0上．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．
【变式1-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为10，抛物线D：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，直线l交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，△MNF的面积为3.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)求抛物线D的方程.
【考点题型二】抛物线的准线
方法总结：
1.当抛物线的焦点在x轴上，且抛物线方程为y2=±2px(p>0)，准线为x=±P2
2.当抛物线的焦点在y轴上，且抛物线方程为x2=±2py(p>0)，准线为y=±P2
【例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线y=2px2p>0的准线与圆x2+y2−6x−7=0相切，则p的值为（ ）
A．2B．12
C．132D．164
【变式2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，则焦点F到准线l的距离为（ ）
A．1B．2
C．4D．8
【变式2-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C： y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若∠FPQ=120°，则F到y轴的距离为（ ）
A．3B．4
C．6D．12
【变式2-3】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A,B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若AB=8，则以下结论正确的是（ ）
A．p=32B．AF=6
C．BD=2BFD．F为AD中点
【变式2-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为3，则△PQF是面积为 ．
【考点题型三】抛物线弦长
方法总结：活用抛物线焦点弦的四个结论
抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2 α)(α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)
【例3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，线段AB的长为8，则p的值为（ ）
A．12B．1
C．2D．3
【变式3-1】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若△AOF面积是△BOF面积的两倍，则AB＝（ ）
A．4B．92
C．5D．112
【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F2,0，过点F且斜率为3的直线与C交于A,B两点，则AB= ．
【变式3-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线C:y2=2pxp>0，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A,B，当直线l的倾斜角为π6时，AB=16．
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程；
(2)记O为坐标原点，直线x=−3分别与直线OA,OB交于点M,N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
【变式3-4】（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求△OAB的面积（O为坐标原点）.
【考点题型四】中点弦
方法总结：抛物线的中点弦问题通常涉及到在抛物线上选取两点，然后找到这两点所确定的弦的中点，进而研究中点弦的性质。
【例4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线l过抛物线y2=8x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|=16，则线段AB的中点P到y轴的距离为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【变式4-1】（22-23高二下·江苏镇江·期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1.5cm，碗口直径为20cm，碗深10cm.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为12cm的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）

A．4.5cmB．5cm
C．5.5cmD．6cm
【变式4-2】（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A,B两点，M(5,2)，N为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为x2=8yB．若|AB|=12，则点N到x轴的距离为6
C．|AF|+|AM|的最小值为5D．若|AF|=7，则△AMF的面积为152
【变式4-3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线y2=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，则弦AB的长|AB|=
【变式4-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Px1,y1，Qx2,y2两点，若x1+x2=6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 .
【考点题型五】抛物线中的最值
方法总结：与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．
【例5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点0,2的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）.
A．172B．2
C．17D．92
【变式5-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点P是曲线x2=4y上一点，则点P到直线l:3x+4y+6=0最小的距离为 .
【变式5-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线y2=4x的焦点为F，定点A2,1，点P是抛物线上一个动点，则PF+PA的最小值为 ．
【变式5-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinival）.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到两个定点F1(−1,0)，F2(1,0)的距离之积等于2，化简得曲线C:x2+y2+1=2x2+1， 则OP的最大值为 .
【变式5-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线x2=4y，过P−1,2作互相垂直的两条直线l1,l2，l1与抛物线相交于A、B两点，l2与抛物线相交于C、D两点，线段AB、CD的中点分别为M、N．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)若线段MN的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．
【考点题型六】直线与抛物线的位置关系
方法总结：解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[注意] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
【例6】（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程y2=4x，过点P1,2的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．3条
【变式6-1】（多选）（23-24高二上·陕西·期中）过点1,0且与抛物线C:x2=4y只有一个交点的直线方程可能是（ ）
A．x=1B．y=0
C．x−y−1=0D．x+y−1=0
【变式6-2】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C的方程为y2=4x，求过点0,2且与抛物线C只有一个公共点的直线方程.
【变式6-3】（23-24高二下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+1与抛物线C：y2=mx相切.
(1)求m的值；
(2)已知点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且x1x2+y1y2=−4，过A，B分别作直线x=-1的垂线，垂足分别为A1，B1，当四边形AA1B1B面积取最小值时，求直线AB的方程.
【变式6-4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知抛物线C：y=x22，点Dx0,y0为抛物线C外一点（如图），过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求证：直线AB的方程为x0x−y−y0=0；
(2)若Dx0,y0在直线y=−12上，以E0,52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
【考点题型七】抛物线中的轨迹方程
方法总结：通过抛物线的定义:抛物线可以定义为平面内与一定点和一定直线(定直线不经过定点)的距离相等的点的轨迹，其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线。这个定义是抛物线轨迹方程的基础，通过这个定义可以推导出抛物线的标准方程。
【例7】（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知A−2,0、B2,0，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足PA+PB=6的动点P的轨迹为椭圆
B．平面内满足PA−PB=4的动点P的轨迹为双曲线的一支
C．平面内满足PA=PB的动点P的轨迹为抛物线
D．平面内满足PA=2PB的动点P的轨迹为圆
【变式7-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点1,0，且在y轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线；
(2)已知A2,2及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1, k2，且k1+k2=1，求证：直线BD经过定点.
【变式7-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）平面内动点G到点F2,0的距离与到直线x=−2距离相等.
(1)求动点G的轨迹方程C；
(2)设过点F的直线l交动点G的轨迹于Ax1,y1,Bx2,y2两点，求y1⋅y2值.
【变式7-3】（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点P(x,y)到定点F(0,1)的距离等于点P到直线y=−1的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l:y=x+m与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得MF⊥AB，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.
【变式7-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系xOy中，点P到点1,0的距离与到直线x=-1的距离相等，记动点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l与C相交异于坐标原点的两点M，N，若OM⊥ON，证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
F(P2,0)
x=−P2
y2=−2px(p>0)
F(-P2,0)
x=P2
x2=2py(p>0)
F(0,P2)
y=−P2
x2=−2py(p>0)
F(0,−P2)
y=P2
类型
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下