上海市奉贤中学2024-2025学年高三上学期开学摸底数学试卷

这是一份上海市奉贤中学2024-2025学年高三上学期开学摸底数学试卷，共8页。试卷主要包含了09等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．函数的定义域是______．
2．已知向量，若，则实数______．
3．已知等差数列的前项和为，若则______．
4．设，则的解集为______．
5．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如图），则该样本的第70百分位数是______．
6．设为常数，若，则函数的图像必定不经过第______象限．
7．设函数，若，则实数的值为______．
8．若对于任意实数，都有，则的值为______．
9．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且．若为线段上的动点，则的周长最小值为______．
10．随着我国国民教育水采的提高，越来越多的有志青年报考研究生，现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（60分）的考生中，按总分进行排序，择优录取、振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分，设思政、外语和专业课分配到的周数分别为，则自然数数组______时，振华被录取的可能性最大．
12．已知函数，正项等比数列满足，则______．
13．设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．下列说法中错误的是（ ）
A．一组数据的平均数、中位数可能相同
B．一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
C．平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D．极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
15．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限
D．若是关于的方程的一个根，则
16．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中），若（其中正整数，且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17，（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．
（1）若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求；
（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求；
（3）若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角的对边分别为．
（1）若，求角的大小；
（2）若边上的高等于，求的最大值．
19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图，在直三棱柱中，，且分别是、的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）
以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积；
（3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线．记、的斜率分别为，求证：．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题1满分6分，第2小题2满分8分）．
已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）设函数，
①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． 2．1 3．8 4． 5．48 6．二 7． 8． 9．
10． 11．2023 12．
二、选择题
13．A 14．B 15．B 16．C
三、解答题
17．【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）若一次抽取3张卡片，共包含共4个基本事件．其中事件包含2个基本事件
所以
（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含个基本事件，其中事件包含3个基本事件
所以
（3）一次抽取2张卡片，共包含个基本事件，事件，所以
18．【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：易知，由易知直三棱柱知面
所以面，从而是在面内的投影
中，为中点，则，由三垂线定理知
（2）等腰中，，从而
所以
由面，且，
所以
又因为，所以三棱锥的体积为．
（3）由（2）令点到面的距离为，则有
中，，从而．
所以
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的大小为．
另解（空间向量）相应给分
以为坐标原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系．
则
（1）
因为，所以．
（2）设平面的一个法向量
则有令，则
又，所以点到面的距离
中，，从而
所以即三棱锥的体积为．
（3）直线与平面所成角为，由（2）知平面的一个法向量，且则
所以直线与平面所成角的大小为．
19．略
20．【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）由题设知椭圆中，得，由得
所以椭圆的方程为
（2）设，由得
化简得．
表示的是以为圆心，2为半径的圆，其面积为．
（3）设，且，设过点的直线与椭圆相切，联立化简得
由得
点在直线上，得代入上式，得
化简得
因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根
由韦达定理得
由得，所以
又，所以．
21．【答案】（1） （2）① ②
【解析】（1）由导函数，得
故切线方程为，即，
（2），导函数，
①当时，，
令，得或，
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
极大值，极小值，
又，结合单调性
故函数有三个零点时的取值范围为即；
②令得或或，
所以． 科目
周数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
思政
20
40
55
65
72
78
80
82
83
84
85
外语
30
45
53
58
62
65
68
70
72
74
75
专业课
50
70
85
90
93
95
96
96
96
96
96
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值