湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷

这是一份湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知i为虚数单位，，则z的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知向量，，且，实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知过坐标原点的直线PO与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线l交于点，若，则直线PF的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
6．已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为，，…，，…则（ ）
A． B．0C．1D．
7．定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中a，b均为正实数．则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．若不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A．B．的最小值为
C．D．使的的最小值为11
10．若随机变量，，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
11．如图，在锐二面角的半平面内有一个四边形 ，点在AB上，，，和的面积均为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（ ）
A．
B．直线MN与AB所成的角为45°
C．直线MN与平面所成的角为30°
D．二面角的大小为60°
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，若，则的离心率为_________．
13．已知正三棱柱中，，动点在侧面内，且．若点的轨迹长为，则该正三棱柱的体积为_________．
14．记不超过的最大整数为 ．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是_________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂．
（1）当时，求3个周期结束后细胞数量为2个的概率；
（2）设2个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望．
16．（本小题满分15分）
如图，AB是半球的直径，，M，N是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围．
18．（本小愿满分17分）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为的左、右焦点，点，都在上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求直线AB的方程；
（3）若且，，求点A，B，，所构成的四边形的面积的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知数列满足：，，，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，求证：；
（3）求解方程：．