精品解析：广西南宁市第三十七中学2023-2024学年八年级上学期第一次大作业数学试题

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列现象中，属于平移的是（ ）
A. 滚动的足球B. 转动的电风扇叶片
C. 正在上升的电梯D. 正在行驶的汽车后轮
【答案】C
【解析】
【分析】利用平移的定义进行判断即可．
【详解】A. 滚动的足球是旋转，不符合题意；
B. 转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；
C. 正在上升的电梯是平移，符合题意；
D. 正在行驶的汽车后轮是旋转，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平移的定义，熟记平移的定义是解题的关键．
2. 下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
3. 画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，根据三角形高的定义逐一分析，即可得到答案．
【详解】选项A是中BC边上的高，故不符合题意；
选项B不是的高，故不符合题意；
选项C是中AC边上的高，故符合题意；
选项D为中边上的高，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，从而完成求解．
4. 不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：不等式组的解集为在数轴如下：

故选：C．
【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
5. 在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，结合各选项找到符合条件的点即可．
【详解】解：因为x轴上的点的纵坐标为0，各选项中纵坐标为0的点只有选项B，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0．
6. 如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两点之间，直线最短
C. 两点确定一条直线
D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂线段最短即可完成．
【详解】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知D正确
故选：D
【点睛】本题考查了垂线的性质的简单应用，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，掌握垂线段最短的性质并能运用于实际生活中是关键．
7. 已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平方根的性质．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．
【详解】解：∵实数a的一个平方根是2，
∴它的另一个平方根是，
故选：A．
8. 设，则下列式子不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由可得：，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由可得：，原变形错误，故此选项符合题意；
C、由可得：，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由可得：，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；③不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
9. 如图，能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】A．∵，
∴，故A符合题意；
B．由，不能判定，故B不符合题意；
C．由，不能判定，故C不符合题意；
D．由，不能判定，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键．
10. 已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误．
【详解】解：∵，
∴是的角平分线，故①符合要求；
∵，，
∴是的角平分线，故②符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故③符合要求；
∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故④符合要求；
故选：D．
11. 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
12. 如图，已知，按这样规律，则点的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过分析可得，的横坐标的规律是 的纵坐标个一循环，，所以，分别求出的横坐标和纵坐标即可得到结果．
【详解】解：的横坐标为
的纵坐标每个一循环，
的横坐标为，
的纵坐标为，
故的纵坐标为，
故的坐标为,，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点的坐标．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题关键．根据“三角形具有稳定性”，即可获得答案．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是三角形具有稳定性．
故答案：三角形具有稳定性．
14. 已知三角形的三边长分别是8、10、，则的取值范围是 _______．
【答案】2＜x＜18
【解析】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：10−8＜x＜10＋8，
即2＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
15. 比较大小：___________4．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据实数的大小比较方法判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查实数的大小比较，解答关键是熟练掌握比较方法：若，则．
16. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 _______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，设多边形的边数为n，根据多边形的内角和及外角和列得方程，解得n的值即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
17. 如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动_____分钟后，与全等．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：于，于，
，
设运动分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
，，，
；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故答案为：4．
18. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元法来解决”．参考他们的讨论，该方程组的解是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【详解】解：，
方程组中两个方程的两边都除以7，得，
∵方程组的解是，
∴，
∴，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19 计算：．
【答案】9
【解析】
【分析】先计算有理数的乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，再计算有理数的加减运算即可得．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，实数的混合运算法则，熟练掌握各运算法则是解题关键．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组．先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集．
【详解】解：
由①可得：，
由②可得：，
∴不等式组的解集为．
21. 如图，已知三角形的顶点，，．将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）画出三角形，并直接写出点，，的坐标；
（2）若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
（3）求三角形面积．
【答案】（1）见解析，，，；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移：
（1）根据平移的性质，画出三角形，进而写出点，，的坐标即可；
（2）根据平移规则，写出的坐标即可；
（3）分割法求出三角形的面积即可。
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所求，
，，；
【小问2详解】
解：∵将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
解：三角形的面积．
22. 某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下．请根据图表信息回答下列问题：

（每组数据含最小值，不含最大值）
（1）在频数分布表中，的值为 ，的值为 ．
（2）将频数直方图补充完整；
（3）眼科医生建议，视力低于4.6需要佩戴眼镜，该中学3000人，请估算戴眼镜的学生大概有多少？
【答案】（1）60，0.05
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据在的频数为人，频率为，由可求出调查总人数，进而求出，的值；
（2）求出的值，即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中“视力低于4.6”所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：（人），
（人）
，
故答案为：60，0.05；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如图所示：

（每组数据含最小值，不含最大值）
【小问3详解】
（人）
答：该中学3000人，戴眼镜的学生大概有人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，掌握是正确计算的前提．
23. 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）见解析 （2）∠ACB＝140°
【解析】
【分析】（1）根据“”证明，再利用全等三角形的性质求解；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【小问1详解】
证明：，
，
即．
在和中
，
，
；
【小问2详解】
解：，
．
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质知识．
24. 数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．”
已知：，，是的三个内角．
对进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程．

证明：过点A作
∵
∴
______=______（__________________）
∵（__________________）
∴
听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．

【答案】；；两直线平行，内错角相等；平角定义；作图以及证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明；根据平行线的性质与平角的定义可得出推理的依据，如图，作，交于点，利用平行线的性质即可求解结论．
【详解】证明：过点作，
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
（平角定义），
，
故答案为： ；；两直线平行，内错角相等；平角定义
证明：作，交于点 ，如图所示：

，
，，
，
，
即．
25. 某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品．若购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元；购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元．
（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲乙两种纪念品共件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于元，同时甲种纪念品又不能超过件，则该商场共有几种进货方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利元，每件乙种纪念品可获利元，在第（）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元；
（2）共有种进货方案；
（3）购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（）设购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元，根据题意列出方程组即可求解；
（）设购进甲种纪念品件，则乙种纪念品件，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据只能取整数，得出进货方案；
（）甲种纪念品获利最高，可得甲种纪念品的数量越多总利润越高，即得购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最高，据此计算即可求解；
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
【小问1详解】
解：设购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元，
依题意得，，
解得，
答：购进甲种纪念品每件需要元，购进甲种纪念品每件需要元；
【小问2详解】
解：设购进甲种纪念品件，则乙种纪念品件，
依题意得，，
解得，
∵只能取正整数，
∴共有种进货方案；
【小问3详解】
解：∵甲种纪念品获利最高，
∴甲种纪念品的数量越多总利润越高，
∴选择购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最高，
总利润元，
答：购进甲种纪念品件，乙种纪念品件利润最大，最大利润是元．
26. 如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
（1）若直线经过的内部，且E、F在射线上．
①如图1，若，，试判断和数量关系，并说明理由；
②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．
（2）如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故．
②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证．
（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．
【小问1详解】
解：①
证明：∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
②解：，理由如下：
∵，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，即．
视力
频数（人）
频率