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河北省唐山市开滦第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
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这是一份河北省唐山市开滦第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分，已知，则的最小值为，已知向量，则，直线和直线，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：李阳 审核人：周淑俊
说明：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
2.本试卷共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
一､单选择题（本题共8个小题，每小题5分，总共40分）
1.已知直线过点且方向向量为，则在轴上的截距为（ ）
A. B.1 C. D.5
2.已知空间中三点，那么点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.若为空间的一个基底，下列各组向量中能构成空间的一个基底的（ ）
A. B.
C. D.
4.为空间任一点，若，若四点共面，则（ ）
A.1 B. C. D.
5.经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，若，则的长度（ ）
A.22 B.44 C. D.
7.已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知向量，则（ ）
A. B.在上的投影向量为
C. D.向量共面
10.直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A.当时，或；
B.当时，；
C.当时，过直线和的交点且平行于的直线方程为：
D.当时，直线关于的对称直线方程为：
11.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.直线与所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
D.存在实数使得
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（每小题5分，总共15分）
12.已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为__________.
13.已知点为轴上一点，且，则点坐标为__________.
14.如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为__________.
四､解答题（本题共5个小题，共77分，用黑色字迹签字笔答在答题卡上，答在试卷上无效）
15.（本题13分）如图所示，平行六面体中，
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求.
16.（本小题15分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积.
17.（本小题15分）如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离
18.（本小题17分）已知直线.
（1）证明：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求的取值范围.
19（本小题17分）.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由
开滦二中2024~2025学年高二年级第一学期十月月考
数学答案
一､单选择题
1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C
二､多选题
9.ABD 10.BD 11.BD
三､填空题
12. 13. 14.
四､解答题
15.（1）则
所以
（2）由空间向量的运算法则，可得
所以
，
，
则
16.（1）
（2）4
【详解】（1）因为，所以设直线的方程为：，
将代入得，所以直线的方程为：，
联立所在直线方程：，解得，
设，因为为的中点，所以，
因为在直线上，在上，
所以，
解得，所以，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）点到直线的距离为：，
又，
所以.
17.【答案】（1）
（2）
18.【答案】（1）点A的坐标为
（2）或
（3）
【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，
联立方程组，解得，
所以直线过定点A，点A的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以，解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.
19.（1）证明见解析
（2）
（3）存在；的长为或
【详解】（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以平面平面，
所以平面；
（2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
（3）由（2）知，，，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或，
故当时，；当时，
则的长为或.
命题人：李阳 审核人：周淑俊
说明：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
2.本试卷共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
一､单选择题（本题共8个小题，每小题5分，总共40分）
1.已知直线过点且方向向量为，则在轴上的截距为（ ）
A. B.1 C. D.5
2.已知空间中三点，那么点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.若为空间的一个基底，下列各组向量中能构成空间的一个基底的（ ）
A. B.
C. D.
4.为空间任一点，若，若四点共面，则（ ）
A.1 B. C. D.
5.经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，若，则的长度（ ）
A.22 B.44 C. D.
7.已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知向量，则（ ）
A. B.在上的投影向量为
C. D.向量共面
10.直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A.当时，或；
B.当时，；
C.当时，过直线和的交点且平行于的直线方程为：
D.当时，直线关于的对称直线方程为：
11.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.直线与所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
D.存在实数使得
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（每小题5分，总共15分）
12.已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为__________.
13.已知点为轴上一点，且，则点坐标为__________.
14.如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为__________.
四､解答题（本题共5个小题，共77分，用黑色字迹签字笔答在答题卡上，答在试卷上无效）
15.（本题13分）如图所示，平行六面体中，
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求.
16.（本小题15分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积.
17.（本小题15分）如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离
18.（本小题17分）已知直线.
（1）证明：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求的取值范围.
19（本小题17分）.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由
开滦二中2024~2025学年高二年级第一学期十月月考
数学答案
一､单选择题
1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C
二､多选题
9.ABD 10.BD 11.BD
三､填空题
12. 13. 14.
四､解答题
15.（1）则
所以
（2）由空间向量的运算法则，可得
所以
，
，
则
16.（1）
（2）4
【详解】（1）因为，所以设直线的方程为：，
将代入得，所以直线的方程为：，
联立所在直线方程：，解得，
设，因为为的中点，所以，
因为在直线上，在上，
所以，
解得，所以，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）点到直线的距离为：，
又，
所以.
17.【答案】（1）
（2）
18.【答案】（1）点A的坐标为
（2）或
（3）
【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，
联立方程组，解得，
所以直线过定点A，点A的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以，解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.
19.（1）证明见解析
（2）
（3）存在；的长为或
【详解】（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以平面平面，
所以平面；
（2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
（3）由（2）知，，，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或，
故当时，；当时，
则的长为或.
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