柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（原卷版）

这是一份柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了 计算， 设，且满足等内容，欢迎下载使用。

1 分解因式：______.
2. 计算：__________.
3. 若，则的值为__________.
4. 如图是由几块相同小正方形搭成的立体图形的三视图，则这个立方体图形中共有__________块小正方体.

5. 当时，二次函数的图象与轴所截得的线段长度之和为______.
6. 在中，，则边上中线的长的取值范围是__________.
7. 如图，与均是等边三角形，若，则的度数是__________.
8. 上初三的小芳看到读高三的姐姐在解一道高考题：“已知，则__________”姐姐做不出，正在苦思闷想，小芳凑上去说：这个题我会做，并随口说出了答案，这个答案是__________.
9. 如图，已知正方形中，点在边上，且，把线段绕点顺时针旋转，使点落在所在的直线上的点处，则两点的距离为__________.

10. 如图，在中，的平分线交于点，且交于，则的长是__________.

11. 设，且满足：对实数，当时，均有，则的最小值为____________.
12. 记表示不超过实数的最大整数，记的数为“好数”，如0，7等都是“好数”，4不是“好数”，则100以内正整数中共有“好数”__________个.
二､解答题（共四道题90分，第13题，第14题，每题15分，第15题，第16题，17每题20分）
13. 二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：；请你根据初中所学知识解决下列问题：
（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
14. 关于三角函数有如下公式：
①
②
③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
，
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图，“高考”期间，学校在综合楼上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面，小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为，测得条幅端点B的俯角为，小芳在三楼C点测得条幅端点A的仰角为，测得条幅端点B的俯角为若楼层高度CD为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB的长.（结果保留根号）

15. 某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元.
（1）购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？
（2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？
（3）为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？
16. 如图所示，已知抛物线交轴于，交轴于点，且.

（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使为锐角？若存在，求出点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的边分别在轴和轴上，.点从点开始沿边匀速移动，点从点开始沿边匀速移动，点，点同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为秒.

（1）连接矩形对角线，当为何值时，以为顶点的三角形与相似；
（2）在点，点运动过程中，线段的中点也随着运动，请求出的最小值；
（3）将沿所在直线翻折后得到，试判断点能否在对角线上，如果能，求出此时的值，如果不能，请说明理由.