安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了试卷分值，已知，，则，设，，，则，已知O为坐标原点，点，，，，则，三次函数叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知数列满足，若，则（ ）
A．2B．－2C．－1D．
4．已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A．（1）和（10）B．（4）和（5）C．（5）和（6）D．（4）和（6）
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知O为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．三次函数叙述正确的是（ ）
A．当时，函数无极值点B．函数的图象关于点中心对称
C．过点的切线有两条D．当a<－3时，函数有3个零点
11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知复数与3i在复平面内用向量和表示（其中i是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为______．
13．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______．
14．设a、b、，则的最大值是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A；
（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．
条件①：；条件②：；条件③：AC边上中线的长为．
（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）
16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/．
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））
（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?
17．（15分）已知函数（a为常数，且，），且是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若，都有成立，求实数m的取值范围．
18．（17分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在处切线方程；
（3）若有两解，，且，求证：．
19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．
（2）①已知，都是正数，求证：；
②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．
合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．【答案】D
【解析】，∵，∴．故选D．
2．【答案】C
【解析】∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C．
3．【答案】C
【解析】因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C．
4．【答案】B
【解析】对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当，，时，，，，故C错误；
对于D，因为，，所以，故D错误．故选B．
5．【答案】B
【解析】，则，即，可得，解得或．那么．故选B．
6．【答案】C
【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：．
若S取最小值，则函数也取最小值，由二次函数的性质，可得函数的对称轴为，又∵x为正整数，故或6．故选C
7．【答案】A
【解析】构造函数，，则，，
当时，，时，，单调递减；
时，，单调递增．
∴在处取最小值，∴，（且），
∴，∴；
构造函数，，，
∵，，，∴，在上递增，
∴，∴，即，∴．故选A．
8．【答案】C
【解析】因为是奇函数，所以是偶函数，因为，
所以，令，，在R上单调递增．
又因为且是奇函数，
所以的周期为3，，则，
所以，则不等式，
因为在R上单调递增，所以，即．故选C．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．【答案】AC
【解析】∵，，，，
∴，，，，
，，易知，故A正确；
∵，，∴，故B错误；
，，
∴，故C正确；
，，故D错误．故选AC．
10．【答案】ABD
【解析】对于A：，，，单调递增，无极值点，故A正确；
对于B：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极大值为，所以若函数有3个零点，有极小值为，得到，故D正确．故选ABD．
11．【答案】AC
【解析】∵，∴，∴，
∵对任意的，都存在，使得成立，
∴，，∴，
∴，，在上单调递减．在上单调递增．
当时，，，，故A正确，
当时，，，故B错误，
当时，，，，故C正确，
当时，，．故错误．
故选AC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．【答案】
【解析】由题知，，，∴．
故本题答案为．
13．【答案】
【解析】当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m个单位后，再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．
故本题答案为．
14．【答案】
【解析】不妨设，则，
，
∴，
当且仅当，，，即，，时，等号成立．
故本题答案为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1）因为，
由正弦定理得．
即：，
所以，所以，
即，因为，所以，得；
（2）选条件②：．
在中，由余弦定理得：，即．
整理得，解得或．
当时，的面积为：，
当c=5时，的面积为：，
选条件③：AC边上中线的长为，
设AC边中点为M，连接BM，则，，
在中，由余弦定理得，
即．
整理得，解得或（舍）．
所以的面积为．
16．【解析】（1），；
（2）由题意可知要同时满足以下条件：，
∴，即单价最低定为2.6元/．
17．【解析】（1），因为是奇函数，
所以，所以，
所以，所以，；
（2）因为，，所以，所以，，
令，，，由于在单调递增，所以．
18．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；
（2），，所以处切线方程为：，
即；
（3）先证，由（1）可知：，要证，
也就是要证：，
令，，则，
所以在区间内单调递增，，即，再证，
由（2）可知曲线在点处的切线方程为，
令，
，∴在处取得极大值为0，
故当时，，，
则，即，
又，，
∴．
19．【解析】（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p不是最大，不满足假设，故，同理．
将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．
故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．
如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；
（2）①证明：先证：．
令，则，，且，
故，其中，
∴，
即，，∴．
②让n固定，设n个正实数之和为20，
由①可知，，
要是最大，最大即可，
令，其中，，
∴时，单调递增，时，单调递减，
而，
所以这些正实数乘积的最大值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
C
B
B
C
A
C
AC
ABD
AC