福建省福州第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份福建省福州第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
2．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，点D在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．已知等比数列中，，，则（ ）
A．26B．32C．512D．1024
5．已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．B．C．D．
6．函数在处有极值10，则点为（ ）
A．B．C．或D．不存在
7．设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于A点，直线交C的另一条渐近线于点B，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．对于随机事件A，B，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线C上
B．点（）在C上，则|
C．点Q在椭圆上，若，则
D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线：与：，若，则实数a的值为 ．
13．某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是 ．
14．若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为边上一点．
（1）若D为的中点，且，求b；
（2）若CD平分，且，求的面积．
16．（15分）
已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过，的直线为l，原点到直线l的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数m，使得以为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
17．（15分）
如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且．
（1）证明：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求多面体的体积．
18．（17分）
已知（a，且），且满足，．
（1）求函数的解析式；
（2）函数（）满足条件，若存在实数x，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围．
19．（17分）
已知函数，．
（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上为单调增函数，求a的取值范围；
（3）设m，n为正实数，且，求证：．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：由z在复平面内对应的点为，
则，
又，
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
2．【分析】先由任意角三角函数的定义求出，再利用诱导公式求解即可．
【解答】解：
∵角的终边过点，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了任意角三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
3．【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解．
【解答】解：
∵，
∴，
∴，
所以，．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
4．【分析】设等比数列的公比为q，联立，，解出，，代入，即可得到答案．
【解答】解：设等比数列的公比为q，
因为，，
所以，，
由，则，得，
解得，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题．
5．【分析】由已知结合函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：定义域，不符合题意；
为奇函数，不符合题意；
定义域为且为偶函数，当时，单调递增，
又，，显然不符合题意；
定义域为，且为偶函数，
又，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数解析式判断中的应用，属于基础题．
6．【分析】首先对求导，然后由题设在时有极值10可得解之即可求出a和b的值．
【解答】解：对函数求导得，
又∵在时有极值10，
∴，
解得或，
验证知，当，时，在无极值，
故选：B．
【点评】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．
7．【分析】因为是的最小值，所以为减函数，即有，则在上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可．
【解答】解：函数，
则当时，，
由于是的最小值，
则在上为减函数，即有，
则有在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
解得，
综上所述，，
即a的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
8．【分析】求得双曲线的渐近线方程和以为直径的圆的方程，联立渐近线方程和圆的方程，可得A的坐标，由中点坐标公式可得B的坐标，代入渐近线方程可得，可得离心率．
【解答】解：双曲线C：（，）的，，
以为直径的圆的方程为，
渐近线方程为，
由，解得，
由，可得B为的中点，即为，
由题意可得，可得，
则．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【分析】正确理解正态分布的概念，即可判断A，B两项，利用正态分布曲线的对称性以及概率分布的特点易推理判断C，D两项．
【解答】解：
由可得，，故A正确，B错误；
对于C，利用正态曲线的对称性可知，，
故，即C正确；
对于D，利用正态曲线的对称性可知，，
而，故，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
10．【分析】利用条件概率、事件和的概率公式求解．
【解答】解：
随机事件A，B，若，，，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查条件概率、事件和的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．【分析】对选项A，根据“双纽线”定义即可判断A正确；对选项B，根据“双纽线”定义得到，再计算即可判断B错误；对选项C，根据“双纽线”定义和椭圆定义即可判断C正确；对选项D，设，根据勾股定理得到再解方程即可判断D正确．
【解答】解：
对选项A，因为，由定义知，故A正确；
对选项B，点（）在C上，
则，
化简得，所以，，B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，
则，又，所以，
故，所以，C正确；
对选项D，设，则，
因为，则，又，
所以，化简得，故，
所以，故，所以，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．
【解答】解：
∵直线：，：，且，
则，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了两条直线的位置关系的应用，解题的关键是掌握两条直线垂直的充要条件，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
13．14
【分析】分甲最后出场和甲不在最后出场讨论，再由加法原理得解．
【解答】解：若甲最后出场，则有种，
若甲不在最后出场，则有种，
故共有种．
故答案为：14．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
14．
【分析】由，根据相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【解答】解：事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查和事件概率公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【分析】
（1）因为D为的中点，所以，两边平方可得，即可解得b；
（2）由平分，则，由，利用三角形的面积公式可求得b，进而可求得的面积．
【解答】解：
（1）在中，，，因为D为的中点，所以，
两边平方得，
则，解得．
（2）因为平分，所以，
又，
所以，解得，
所以．
【点评】本题考查向量在三角形中的应用，属于中档题．
16．（15分）
【分析】
（1）根据双曲线的渐近线方程及原点到直线l的距离是，即可求双曲线的标准方程；
（2）以为直径的圆经过双曲线的左焦点F，可知．将直线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用韦达定理可将向量关系转化为坐标关系，从而得解．
【解答】解：
（1）∵，
原点到直线：的距离，．
∴，．故所求双曲线方程为．
（2）把代入中消去y，整理得．
设，，则，，
，因为以为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以，
可得把，代入，
解得：
解，得，
∴满足，
∴
【点评】本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查双曲线的标准方程求解，考查直线与双曲线的位置关系，应注意判别式的验证．
17．（15分）
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，即可证明；
（2）建系，利用向量法，向量夹角公式，即可求解；
（3）将问题转化成四棱台与三棱锥的体积，即可求解．
【解答】解：
（1）证明：设，连接，，
由棱台的性质知，
又根据题意可知，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴直线平面；
（2）∵平面，又四边形为正方形，
∴，，两两垂直，故建系如图：
∵，
∴，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
则，，取，
同理取平面的一个法向量，
∴平面与平面夹角的余弦值为：；
（3）∵四棱台的体积为，
又三棱锥的体积为，
∴多面体的体积为．
【点评】本题考查线面平行的证明，面面角的求解，多面体的体积的求解，属中档题．
18．（17分）
【分析】
（1）直接将函数代入，计算即可；
（2）先求出（）的方程，然后利用等差中项建立等式，化简，求出定义域，然后利用函数在定义域上有解即可．
【解答】解：
（1）由题可知，，
解得，
所以，
（2）由题可知，得，
所以，，，
若存在实数x使、、为等差数列，
可得，
即若存在实数x，，
显然，，
因为，所以，
化简得，
故该方程在有解即可，
当时，得，不符合题意；
当时，得，
可得，
解得，
所以只需或都可，
得无解；
，
解得，
又因为，
所以，
故的取值范围是．
【点评】本题考查函数与数列的综合应用，属于中档题．
19．（17分）
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（2）由在上为单调增函数，可知在上恒成立，分离参数后结合基本不等式可求；
（3）要证：，只需证，只需证，结合不等式的特点，可进行构造函数，然后结合导数即可求解．
【解答】解：
（1）
由题意知，
∴，经检验，符合题意．
从而切线斜，切点为，
切线方程为．
（2），
因为在上为单调增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，得，
设，，
则，当且仅当时取等号，此时取得最小值2，
所以，即，
a的取值范围是；
（3）要证：，只需证，
即证，只需证，
设，由（2）知在上是单调函数，又，
所以，
即证成立，
所以，
【点评】本题主要考查了极值存在条件的应用，及导数的几何意义，导数与单调性关系的应用及利用导数证明不等式，属于导数知识的综合应用．