甘肃省陇南市八中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份甘肃省陇南市八中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0，且b＞0B．k＜0，且b＞0C．k＞0，且b＜0D．k＜0，且b＜0
2、（4分）如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（）
A．AB=BCB．∠ABC=90°C．AC⊥BDD．∠1=∠2
3、（4分）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）若x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的两个不相等的实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．+1B．﹣2C．﹣2D．0
5、（4分）用配方法解方程，则方程可变形为
A．B．C．D．
6、（4分）已知正比例函数，且随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）某科普小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为：160，165，170，163，172，把身高160 cm的成员替换成一位165 cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变大，方差变大
C．平均数变大，方差不变D．平均数变大，方差变小
8、（4分）如图在平面直角坐标系中若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知菱形ABCD的对角线长度是8和6，则菱形的面积为_____．
10、（4分）某市某活动中心组织了一次少年跳绳比赛，各年龄组的参赛人数如表所示：
则全体参赛选手年龄的中位数是________.
11、（4分）如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0,0）,B点坐标（8,0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了_________cm.
12、（4分）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____．
13、（4分）如图，是矩形的边上一点，以为折痕翻折，使得点的对应点落在矩形内部点处，连接，若，，当是以为底的等腰三角形时， ___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是，将沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D．
（1）求直线OB的解析式及线段OE的长.
（2）求直线BD的解析式及点E的坐标.
15、（8分）某中学需要添置一批教学仪器，方案一：到厂家购买，每件原价40元，恰逢厂家促销活动八折出售；方案二学校自己制作，每件20元，另外需要制作工具的租用费600元；设该学校需要购买仪器x件，方案一与方案二的费用分别为y1和y2（元）
（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）若学校需要购买仪器30～60（含30和60）件，问采用哪种方案更划算？请说明理由．
16、（8分）一水果店主分两批购进某一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．
（1）该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？
（2）该水果店主计两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于1716元，求a的最大值．
17、（10分）已知，关于x的一次函数y＝(1﹣3k)x+2k﹣1，试回答：
(1)k为何值时，图象交x轴于点(，0)？
(2)k为何值时，y随x增大而增大？
18、（10分）如图是甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩的折线统计图：
（1）分别计算甲、乙运动员射击环数；
（2）分别计算甲、乙运动员射击成绩的方差；
（3）如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛，请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若关于x的不等式组的解集为﹣＜x＜﹣6，则m的值是_____．
20、（4分）如图是小明统计同学的年龄后绘制的频数直方图，该班学生的平均年龄是__________岁.
21、（4分）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
22、（4分）使有意义的的取值范围是______.
23、（4分）如图，在中，，，，为的中点，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：(1) (2)
(3) (4)
25、（10分）请阅读材料，并完成相应的任务．
阿波罗尼奥斯（约公元前262~190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，可以说是代表了希腊几何的最高水平．阿波罗尼奧斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线的长度关系，即三角形任意两边的平方和等于第三边的一半与该边中线的平方和的2倍．
（1）下面是该结论的部分证明过程，请在框内将其补充完整；
已知：如图1所示，在锐角中，为中线．．
求证：
证明：过点作于点
为中线
设，，
，
在中，
在中，__________
在中，__________
__________
（2）请直接利用阿波罗尼奧斯定理解决下面问题：
如图2，已知点为矩形内任一点，
求证：（提示：连接、交于点，连接）
26、（12分）如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题分析：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选B．
考点：一次函数的性质和图象
2、B
【解析】
根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
【详解】
解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
C、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
D、是对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；
故选：B．
本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
3、D
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件得出答案.
【详解】
解：根据二次根式有意义的条件得：-x+3≥0，解得：.
故选：D.
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.
4、D
【解析】
根据韦达定理知x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣1，代入计算可得．
【详解】
解：∵x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣1，
∴原式＝﹣1﹣（﹣1）＝0，
故选：D．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理和整体代入思想的运用．
5、C
【解析】
把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．
【详解】
解：，
，
，
．
故选：C．
本题考查的是用配方法解方程，把方程的左边配成完全平方的形式，右边是非负数．
6、D
【解析】
根据正比例函数的性质，时，随的增大而减小，即，即可得解.
【详解】
根据题意，得
即
故答案为D.
此题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
7、D
【解析】
根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．
【详解】
解：原数据的平均数为×（160+165+175+163+172）=166（cm），
方差为×[（160-166）2+（165-166）2+（170-166）2+（163-166）2+（172-166）2]=19.6（cm2），
新数据的平均数为×（165+165+170+163+172）=167（cm），
方差为×[2×（165-167）2+（170-167）2+（163-167）2+（172-167）2]=11.6（cm2），
所以平均数变大，方差变小，
故选D．
本题考查了方差，利用平均数、中位数和方差的定义是解题关键
8、B
【解析】
首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．
【详解】
∵菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-6，0)、(4，0)，点D在y轴上，
∴AB=AO+OB=6+4＝10，
∴AD=AB=CD=10，
∴，
∴点C的坐标是：(10，8)．
故选：B．
本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求解.
【详解】
∵菱形的对角线长的长度分别为6、8，
∴菱形ABCD的面积S＝BD•AC＝×6×8＝1．
故答案为:1．
本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键.
10、1
【解析】
根据中位数的定义来求解即可，中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据.
【详解】
解：本次比赛一共有：5+19+13+13＝50人，
∴中位数是第25和第26人的年龄的平均数，
∵第25人和第26人的年龄均为1岁，
∴全体参赛选手的年龄的中位数为1岁．
故答案为1．
中位数的定义是本题的考点，熟练掌握其概念是解题的关键.
11、1
【解析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5（cm）；
∴AD+BD-AB=1AD-AB=10-8=1cm；
故橡皮筋被拉长了1cm．
故答案是：1．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12、x=1
【解析】
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．
【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（1，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
13、
【解析】
过点B'作B'F⊥AD，延长FB'交BC与点G，可证四边形ABGF是矩形，AF=BG=4，∠BGF=90°，由勾股定理可求B'F=3，可得B'G=2，由勾股定理可求BE的长.
【详解】
解：如图，过点B'作B'F⊥AD，延长FB'交BC与点G，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=8，∠DAB=∠ABC=90°
∵AB'=B'D，B'F⊥AD
∴AF=FD=4，
∵∠DAB=∠ABC=90°，B'F⊥AD
∴四边形ABGF是矩形
∴AF=BG=4，∠BGF=90°
∵将△ABE以AE为折痕翻折，
∴BE=B'E，AB=AB'=5
在Rt△AB'F中，
∴B'G=2
在Rt△B'EG中，B'E2=EG2+B'G2，
∴BE2=（4-BE）2+4
∴BE=
故答案为：.
本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求B'G的长是本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）直线OB的解析式为，；（2）直线BD的解析式为，.
【解析】
（1）先利用待定系数法求直线OB的解析式，再利用两点间的距离公式计算出OB，然后根据折叠的性质得到BE=BC=6，从而可计算出OE=OB-BE=4；
（2）设D（0，t），则OD=t，CD=8-t，根据折叠的性质得到DE=DC=8-t，∠DEB=∠DCB=90°，根据勾股定理得（8-t）2+42=t2，求出t得到D（0，5），于是可利用待定系数法求出直线BD的解析式；设E（x，），利用OE=4得到x2+（）2=42，然后解方程求出x即可得到E点坐标．
【详解】
解：（1）设直线OB的解析式为，
将点代入中，得，
∴，
∴直线OB的解析式为.
∵四边形OABC是矩形．且，
∴，，
∴，．
根据勾股定理得，
由折叠知，．
∴
（2）设D（0，t）
，
∴，
由折叠知，，，
在中，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴，.
设直线BD的解析式为．
∵，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为．
由（1）知，直线OB的解析式为.
设点，
根据的面积得，
∴，
∴.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了矩形的性质和折叠的性质．
15、（1）y1＝32x，y2＝20x+600；（2）30≤x＜50时，方案一划算．
【解析】
（1）根据题意得到y1，y2与x的关系即可；（2）分别根据题意列出不等式直接解题即可
【详解】
（1）由题意，可得：y1＝40×0.8x＝32x，y2＝20x+600；
（2）当32x＝20x+600时，
解得：x＝50，此时y1＝y2，即x＝50时，两种方案都一样，
当32x＞20x+600时，
解得：x＞50，此时y1＞y2，即50＜x≤60时，方案二划算，
当32x＜20x+600时，
解得：x＜50，此时y1＜y2，即30≤x＜50时，方案一划算．
本题主要考查一次函数与不等式的简单应用，本题关键在于理解题意找出y1，y2与x的关系
16、（1）水果店主购进第一批这种水果的单价是20元；（2）a的最大值是1．
【解析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到关于a的不等式，从而可以求得a的最大值．
【详解】
（1）设第一批水果的单价是x元，
，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
答：水果店主购进第一批这种水果的单价是20元；
（2）由题意可得，
，
解得，a≤1，
答：a的最大值是1．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用分式方程和不等式的性质解答．
17、（1）k＝﹣1；（2）
【解析】
（1）把点（，0）代入y＝（1﹣3k）x+2k﹣1，列出关于k的方程，求解即可；
（2）根据1﹣3k＞0时，y随x增大而增大，解不等式求出k的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一次函数y＝（1﹣3k）x+2k﹣1的图象交x轴于点（，0），
∴（1﹣3k）+2k﹣1＝0，
解得k＝﹣1；
（2）1﹣3k＞0时，y随x增大而增大，
解得．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．
18、（1）8（环），8（环）；（2）2.8，0.8；（3）选择甲，因为成绩呈上升趋势；选择乙，因为成绩稳定．
【解析】
（1）由折线统计图得出甲、乙两人的具体成绩，利用平均数公式计算可得；
（2）根据方差计算公式计算可得；
（3）答案不唯一，可从方差的意义解答或从成绩上升趋势解答均可．
【详解】
（1）＝×（6+6+9+9+10）＝8（环），
＝×（9+7+8+7+9）＝8（环）；
（2）＝×[（6﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝2.8，
＝×[（9﹣8）2×2+（7﹣8）2×2+（8﹣8）2]＝0.8；
（3）选择甲，因为成绩呈上升趋势；
选择乙，因为成绩稳定．
本题主要考查折线统计图与方差，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需数据及平均数、方差的计算公式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先解不等式组得出其解集为，结合可得关于的方程，解之可得答案．
【详解】
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得，
故答案为：1．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20、
【解析】
利用总年龄除以总人数即可得解.
【详解】
解：由题意可得该班学生的平均年龄为 .
故答案为：14.4.
本题主要考查频数直方图，解此题的关键在于准确理解频数直方图中所表达的信息.
21、4.1
【解析】
首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和1，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF求得答案．
【详解】
解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和1，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝41，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.1．
故答案为：4.1．
此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22、
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不等于零进行解答．
【详解】
解：依题意得：且x-1≠0，
解得．
故答案为：．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
23、
【解析】
根据勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．
【详解】
∵∠ABC=90°，BC=4cm，AB=3cm，
∴由勾股定理可知：AC=5cm，
∵点D为AC的中点，
∴BD=AC=cm，
故答案为：
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，本题属于基础题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)；(2)；(3)-5；(4).
【解析】
（1）先化简，再加减即可；
（2）先化简然后根据二次根式的乘法、除法法则运算；
（3）利用平方差公式计算；
（4）利用乘法公式展开，然后化简合并即可．
【详解】
解：(1)原式
(2)原式=
=
(3)原式
(4)原式
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
25、（1），，；（2）见解析
【解析】
（1）利用勾股定理即可写出答案；
（2）连接、交于点，根据矩形的性质能证明O是AC、BD的中点，在和中利用阿波罗尼奥斯定理可以证明结论.
【详解】
（1）在中，
在中，
∴
故答案是：；；；
（2）证明：连接、交于点，连接
∵四边形为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
由阿波罗尼奥斯定理得
.
本题考查了矩形的性质及勾股定理的运用，能充分理解题意并运用性质定理推理论证是解题的关键.
26、见解析
【解析】
分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点.
【详解】
如图即为所求作的菱形
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是掌握尺规作图和菱形的性质.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
年龄组
12岁
13岁
14岁
15岁
参赛人数
5
19
13
13