广东省东莞市常平嘉盛实验学校2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份广东省东莞市常平嘉盛实验学校2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么此时高为18米的旗杆的影长为（ ）
A．20米B．30米C．16米D．15米
2、（4分）电话每台月租费元，市区内电话(三分钟以内)每次元，若某台电话每次通话均不超过分钟，则每月应缴费(元)与市内电话通话次数之间的函数关系式是( )
A．B．
C．D．
3、（4分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
4、（4分）下列命题中是真命题的有( )个．
①当x＝2时，分式的值为零②每一个命题都有逆命题③如果a＞b，那么ac＞bc④顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．0B．1C．2D．3
5、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≤3C．x＞3D．x≥3
6、（4分）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）已知，则下列不等式一定成立的是( )
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，已知直线与的交点的横坐标为，根据图象有下列3个结论：①；②；③是不等式 的解集其中正确的个数是（ ）
A．0,B．1,C．2,D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果乘坐出租车所付款金额（元）与乘坐距离（千米）之间的函数图像由线段、线段和射线组成（如图所示），那么乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为__________元．
10、（4分）计算的倒数是_____．
11、（4分）如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是________m．
12、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是____．
13、（4分）已知，则_______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） (1)分解因式：﹣m+2m2﹣m3
(2)化简：( +)÷(﹣)．
15、（8分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点对称的；
（3）线段的长度为______．
16、（8分）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的中线，点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE，求证：四边形ADCE的是矩形．
17、（10分）小明的家离学校1600米，一天小明从家出发去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，正好在校门口追上他，已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度.
18、（10分）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如下表：
设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．
（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）试比较A、B两城总运费的大小；
（3）若B城的总运费不得超过3800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一组数2、a、4、6、8的平均数是5，这组数的中位数是______．
20、（4分）关于的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为2，则另一个根是 ．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，△BOC与△AOB相似．
22、（4分）课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，围成苗圃园的面积为72平方米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．可列方程为_____．
23、（4分）将直线y=2x-3向上平移5个单位可得______直线．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） 解不等式组：，并求出它的整数解的和．
25、（10分）这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形．请用此图证明．
26、（12分）如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．
（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，-1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
设此时高为18米的旗杆的影长为xm，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列出比例式，进而即可求解．
【详解】
设此时高为18米的旗杆的影长为xm，
根据题意得：=，
解得：x=30，
∴此时高为18米的旗杆的影长为30m．
故选：B．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理，是解题的关键．
2、C
【解析】
本题考查了一次函数的解析式，设为，把k和b代入即可.
【详解】
设函数解析式为：，
由题意得，k=0.2，b=28，
∴函数关系式为：.
故选：C.
本题考查了一次函数解析式的表示，熟练掌握一次函数解析式的表示方法是解题的关键.
3、D
【解析】
根据方程有两个不相等的实数根，则，结合一元二次方程的定义，即可求出m的取值范围.
【详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
∵，
∴的取值范围是：且；
故选：D.
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4、C
【解析】
根据分式为0的条件、命题的概念、不等式的性质、平行四边形的判定定理进行判断即可．
【详解】
①当x=2时,分式无意义，①是假命题；
②每一个命题都有逆命题，②是真命题；
③如果a>b，c>0，那么ac>bc，③是假命题；
④顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，④是真命题；
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，⑤是假命题，
故选C.
5、B
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】
由题意得，3﹣x≥0，解得，x≤3，故选：B．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6、C
【解析】
根据分式的性质，分式的加减，可得答案．
【详解】
A、c＝0时无意义，故A错误；
B、分子分母加同一个整式，分式的值发生变化，故B错误；
C、分子分母都除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C符合题意；
D、，故D错误；
故选C．
本题考查了分式的性质及分式的加减，利用分式的性质及分式的加减是解题关键．
7、C
【解析】
根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：A、因为， 不知道是正负数或者是0，不能得到，则A选项的不等式不成立；
B、因为，则，所以B选项的不等式不成立；
C、因为，则，所以C选项的不等式成立；
D、因为，则，所以D选项的不等式不成立．
故选C．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是知道不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
8、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＞0；当x＞-2时，直线y=3x+b在直线y=ax-2的上方，即x＞-2是不等式3x+b＞ax-2的解集．
【详解】
解：由图象可知，a＞0，故①正确；
b＞0，故②错误；
当x＞-2，直线y=3x+b在直线y=ax-2的上方，即x＞-2是不等式3x+b＞ax-2的解集，故③正确．
故选：C．
本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据图象可知，8（千米）处于图中BC段，用待定系数法求出线段BC的解析式，然后令求出相应的y的值即可．
【详解】
根据图象可知 位于线段BC上，
设线段BC的解析式为
将代入解析式中得
解得
∴线段BC解析式为 ，
当时，，
∴乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为1元．
故答案为：1．
本题主要考查一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题的关键．
10、
【解析】
求出tan30°，根据倒数的概念计算即可．
【详解】
，
，
则的倒数是，
故答案为：．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
11、1
【解析】
解：设甲的影长是x米，
∵BC⊥AC，ED⊥AC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m，
∴，
解得：x=1．
所以甲的影长是1米．
故答案是1．
考点：相似三角形的应用．
12、2
【解析】
过D作DE⊥AB于E，则DE=1，根据角平分线性质求出CD=DE=1，求出BD即可．
【详解】
过D作DE⊥AB于E．
∵点D到边AB的距离为1，∴DE=1．
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=1．
∵CDDB，∴DB=12，∴BC=1+12=2．
故答案为2．
本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
13、
【解析】
先对变形，得到b=，然后将b=代入化简计算即可.
【详解】
解：由，b=
则
故答案为-2.
本题考查了已知等式，求另一代数式值的问题；其解答关键在于对代数式进行变形，寻找它们之间的联系
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、解：（1）﹣m（1﹣m）2；（2）．
【解析】
（1）先提取公因式−m，再利用完全平方公式分解可得；
（2）先计算括号内分式的加减运算，再将除法转化为乘法，继而约分可得．
【详解】
解：（1）原式＝﹣m（1﹣2m+m2）＝﹣m（1﹣m）2；
（2）原式＝．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的基本步骤．
15、（1）如图见解析，，；（2）如图见解析；（3）．
【解析】
（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用两点之间的距离公式计算即可．
【详解】
（1）平移后的△A1B1C1如图所示，点A1（4，2），C1（3，-1）．
（2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如图所示．
（3）AA1=．
本题考查了平移变换、旋转变换、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
16、详见解析
【解析】
根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可．
【详解】
证明：∵点O是AC中点，
∴AO=OC，
∵OE=OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
17、小明的速度为80米/分.
【解析】
试题分析：设出小明和爸爸的速度，利用时间作为等量关系列方式方程解应用题.
试题解析：
设小明的速度是x米/分，爸爸的速度是2x米/分,由题意得
解得x=80,
经检验，x=80是方程的根，所以小明的速度是80米/分.
点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答.
18、（1）y1=−10x＋6000，y2＝5x＋1（2）x＝180时，y1＝y2；x＞180时，y1＜y2；x＜180时，y1＞y2；（3）当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为2元．
【解析】
（1）根据题意即可得出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；
（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
（1）根据题意得：y1＝20x＋30（200−x）＝−10x＋6000，
y2＝10（240−x）＋15（300−240＋x）＝5x＋1．
（2）若y1＝y2，则−10x＋6000＝5x＋1，解得x＝180，
A、B两城总费用一样；
若y1＜y2，则−10x＋6000＜5x＋1，解得x＞180，
A城总费用比B城总费用小；
若y1＞y2，则−10x＋6000＞5x＋1，解得0＜x＜180，
B城总费用比A城总费用小．
（3）依题意得：5x＋1≤3800，
解得x≤100，
设两城总费用为W，则W＝y1＋y2＝−5x＋9300，
∵−5＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝100时，W有最小值2．
200−100＝100（t），240−100＝140（t），100＋60＝160（t），
答：当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为2元．
本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5
【解析】
由平均数可求解a的值，再根据中位数的定义即可求解.
【详解】
解：由平均数可得，a=5×5-2-4-6-8=5，则该组数由小至大排序为：2、4、5、6、8，则中位数为5，
故答案为：5.
本题考查了平均数和中位数的概念.
20、-1
【解析】
试题分析：因为方程x2+mx-6=0的一个根为2，所以设方程另一个根x，由根与系数的关系可得：2x=-6，所以x=-1．
考点：根与系数的关系
21、（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）
【解析】
本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．
【详解】
解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，
若OC与OA对应，则OC=OA=6，C（﹣6，0）；
若OC与OB对应，则OC=1.5，C（﹣1.5，0）或者（1.5，0）．
∴C点坐标为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
故答案为（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．
22、x(31－2x)＝72 或x2－15x＋36＝1
【解析】
设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为(31－2x)米，依题意可列方程 x(31－2x)＝72，即x2－15x＋36＝1．
点睛：本题考查了长方形的周长公式的运用，长方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程是关键．
23、y=1x+1
【解析】
根据平移前后两直线解析式中k值相等，b的值上加下减即可得出结论．
【详解】
解：原直线的k=1，b=-3；向上平移5个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的k=1，b=-3+5=1．
∴新直线的解析式为y=1x+1．
故答案是：y=1x+1．
此题考查的是求直线平移后的解析式，掌握直线的平移规律是解决此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、﹣1＜x≤2，1.
【解析】
先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解．
【详解】
解不等式①，得：x≤2，解不等式4x﹣2＜5x﹣1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的整数解的和为0+1+2=1．
本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的和，所以要找出在这范围内的整数．
25、证明见解析
【解析】
利用面积关系列式即可得到答案．
【详解】
∵大正方形面积＝4个小直角三角形面积＋小正方形面积，
∴，
∴．
此题考查了勾股定理的证明过程，正确理解图形中各部分之间的面积关系是解题的关键．
26、（1）AG=1.5；AM+CM最小值为;（3）
【解析】
试题分析：（1）根据折叠的性质可得AG=GH，设AG的长度为x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；
（2）作点A关于直线y=-1的对称点A'，连接CA'与y=-1交于一点，这个就是所求的点，求出此时AM+CM的值；
（3）求出G、H的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式．
试题解析：（1）由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=，
设AG的长度为x，
∴BG=4-x，HB=5-3=2，
在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，
x2+4=（4-x）2，
解得：x=1.5，
即AG的长度为1.5；
（2）如图所示：作点A关于直线y=-1的对称点A'，连接CA'与y=-1交于M点，
∵点B（5，1），
∴A（1，1），C（5，4），A'（1，-3），
AM+CM=A'C=，
即AM+CM的最小值为；
（3）∵点A（1，1），
∴G（2.5，1），
过点H作HE⊥AD于点E，HF⊥AB于点F，如图所示，
∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，
∴，，
即，，
解得：EH=，HF=，
则点H（，），
设GH所在直线的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
则解析式为：．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质以及利用待定系数法求函数解析式等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握数形结合的思想．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
C（元/t）
D（元/t）
A
20
30
B
10
15