云南省大理白族自治州祥华集团联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份云南省大理白族自治州祥华集团联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线的倾斜角为，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
2．方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆：，：，动圆C与圆外切，与圆内切，则圆C的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（ ）
A．B．C．1D．
7．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为的重心，则（ ）
A．6B．8C．9D．12
8．已知，是椭圆C：的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有2个点到直线的距离等于
C．曲线：与：恰有四条公切线
D．已知圆C：，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线，其中A为切点，则的最小值为2
10．已知双曲线C：，P是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．该双曲线的渐近线方程为
B．若，则或12．
C．若是直角三角形，则满足条件的P点共4个
D．若点P在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切
11．己知抛物线C：的焦点为F，则下列结论正确的有（ ）
A．抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3
B．过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4
C．过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条
D．过点的直线l与抛物线C交于不同的两点，，则
二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）
12．已知三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是______．
13．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线，A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______．
14．已知双曲线C：的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为______．
四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤）
15．（本小题满分13分）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点且被圆C所截弦长为6，求直线l的方程．
16．（本小题满分15分）
如图甲，在中，，，，D，E分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．
（1）已知M，N为，上的动点，求证：；
（2）在翻折过程中，当二面角为时，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知双曲线C：的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P．且，．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设M、N是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线、的斜率分别为，，证明：为定值．
18．（本小题满分17分）
已知动点M到定点的距离比到直线的距离少1，
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆E：上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心O到直线的距离为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B、C落在椭圆E上，求动直角面积的最大值．
参考答案
12．（或）
13．
14．
15．（1）；（2），或．
【详解】（1）由题意可知，，设圆心坐标为，
则，解得或，
因为，所以，
所以圆C的方程为
（2）因为直线l过点且被圆C所截弦长为6，所以圆心到直线l的距离为，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，所以圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为，即，因为圆心到直线的距离为4，
所以，解得，所以直线l的方程为，
故所求线l的方程为，或．
16．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）通过和证明即可得出；
（2）以点B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立坐标系，利用向量法求解．
【详解】（1）证明：在图甲中，∵，∴，
又∵，∴且，
即在图乙中，，，又，故有，
而，故有；
（2）解：∵，，
所以为二面角的平面角，则，
在中，，，，
由余弦定理，可知，满足，则有，
由（1）知，，则，
如图，以点B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立坐标系，
则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，取，所以直线与平面所成角满足．
17．（1）（2）证明见解析
【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为c（），∵，，
∴，，解得，，
则，故双曲线C的标准方程为；
（2）设，，，，
则，∵M，N为双曲线C上的两点，
∴，两式相减得，
整理得，则，
故为定值，定值为4．
18．（1）（2），证明见解析
【详解】（1）因为动点M到定点的距离比到直线的距离少1，
所以动点M到定点的距离与到直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
所以轨迹方程为；
（2）如图，设，，
由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，
设其方程为，显然，，
联立方程组，整理得，
由韦达定理知，，
由，可得，可得，
即，整理得，
将①式代入上式，可得，
此时，直线的方程可表示为，即，
所以直线恒过定点．
19．（1）；（2）
【分析】（1）由距离之和为4可得，由O到直线的距离为可得，求出a，b，即可写出椭圆方程；
（2）设所在直线，联立椭圆，写出韦达定理，利用可求出m，表示出三角形面积，即可求出最大值．
【详解】（1）由题可知
（2）由题易知斜边不可能和x轴平行，故可设所在直线l：，
联立E：消去x整理得：，
设，，则有，，
，
由题可知（舍）或
可得所在直线l方程为：，恒过定点，
所以
令，，则，
在上递增，
所以，
所以面积的最大值为，此时所在直线l方程为：题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
D
D
D
D
B
ACD
ABD
题号
11
答案
ABD