广西壮族自治区贵百河联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区贵百河联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了关于的方程有一根为1，则一定是，已知函数，则有，从今年起年内，小李的年薪等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
2．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．定义运算：．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，两点到直线的距离相等，求的值（ ）
A．B．C．或D．或
5．从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60％分位数是（ ）
A．16B．30C．32D．51
6．关于的方程有一根为1，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则有（ ）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）
9．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A．B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为D．向量在上的投影向量为
10．从今年起年内，小李的年薪（万元）与年数的关系是，小马的年薪（万元）与年数的关系是，则下列判断正确的有（ ）
A．5年后小马的年薪超过小李B．6年后小马的年薪超过小李
C．小马的年薪比小李的增长快D．小马的年薪比小李的增长慢
11．已知内角、、的对边分别是、、，，则（ ）
A．B．的最小值为3
C．若为锐角三角形，则D．若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是__________．
13．已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足
，则__________．
14．如图，正方体的棱长为3，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线．
（1）若直线不经过第二象限，求的取值范围；
（2）若直线与轴、轴正半轴分别交于、两点，当的面积为时（为坐标原点），求此时相应的直线的方程．
16．（15分）已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（17分）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下，某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
19．（17分）在中，内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值．
2023级“贵百河-武鸣高中”10月高二年级新高考月考测试
数学参考答案
1．D【详解】因为，所以复数的实部为，故选：D．
2．A【详解】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以．故选：A．
3．D【详解】依题意，，则，故．故选：D．
4．C【详解】因为点，到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或．故选：C．
5．C【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32．故选：C．
6．A【详解】因为1是的根，所以，
又，
所以有，，整理可得，，即．因为，，，所以．则由可得，，所以．所以一定是等腰三角形．故选：A．
7．D【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角为或其补角，不妨设，因为，所以，所以为等边三角形，所以，，所以，因为为边长为的等边三角形，所以，又因为，所以在中，由余弦定理可得，故异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．
8．B【详解】解：，令，，，任取且，则，，
所以，
则，所以函数在上单调递增，故当时，，所以，又因为函数为减函数，故．故选：B．
9．BD【详解】记，，
对于A，，故A错误；
对于B，，，，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：BD
10．BC【详解】易知指数函数的增长速度更快，故C正确，D错误；
画出函数和的图象，从图象中观察，可知在这8年内先是小马的年薪低，后来超过了小李，令，则，，所以存在，当时，，由于，所以至少经过6年，小马的年薪超过小李的年薪，即A错误，B正确；故选：BC．
11．ABC【详解】对于A，由，得，
由正弦定理得，由余弦定理得，则，
当时，，即，
当时，，又，则，，，
于是，因此，A正确；
对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，由正弦定理得，
由为锐角三角形，，得，则，，因此，C正确；
对于D，由，，，得，D错误．故选：ABC
12．【详解】联立，解得，故直线的交点坐标为，
设与直线垂直的直线方程是．将交点的坐标代入该方程，得，解得．所以所求直线方程为．故答案为：
13．【详解】因为为的中点，，因为，，三点共线，可得，解得，即，又因为是边长为6的等边三角形，所以
．
14．【详解】解：以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系．如图所示，则，，，，设，得，则；设平面的法向量为，又，，于是有，不妨令，可得，，所以；因为，且，则，化简得，解得，或（舍去）．即，从而得．
15．（1） （2）或
【详解】（1）由题意可知直线，易知直线过定点，当直线过原点时，可得，当时，直线不经过第二象限．
（2）由题意可知，
直线与轴、轴正半轴的交点分别是，，
，
当时，由得：，
即：，或，即：直线的方程为或．
16．（1） （2）
【详解】（1）当时，，即，
则，
，，，
故不等式的解集为
（2）
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的取值范围是．
17．【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：因为底面，且底面，所以，又因为为正方形，可得，因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且为的中点，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面．
（2）解：以点为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为2，可得，可得，，，，，，则，，，
因为在线段上，设，其中，则，因为与所成的角为，可得，
解得，所以，所以，可得，，设平面的法向量为，则，令，可得，，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的二面角为，其中，可得，即平面与平面所成的二面角为．
18．（1）4 （2）；平均数为71；中位数为 （3）
【详解】（1）从图中可知组距为10，则，的频率分别为0.1，0.15，
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，
成绩不高于50分的人数为（人）
（2）由图可知，解得．
使用组中值与频率可估计平均数为．
因为且，
所以中位数在内，设估计的中位数为，则，得．
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于．
19．（1） （2）
【详解】（1）由二倍角公式得，．
故由正弦定理得，
即，
而，，故，则；
（2）设，，设，则，
．
在中，，
即，．
在中，，
即，．
周长
令，则
，，，
即周长最小值为．