江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高一上学期10月调研数学试卷

这是一份江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高一上学期10月调研数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题是全称量词命题的是( )
A. ∃x∈R,x2> 2B. 存在一个菱形的四条边不相等
C. 偶数的平方是偶数D. 有一个数不能做除数
2.命题“∀x∈[0,+∞),x3+x<0”的否定是( )
A. ∀x∈(-∞,0)，x3+x<0B. ∀x∈(-∞,0)，x3+x≥0
C. ∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0D. ∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0
3.若集合P={x∈N|x≤ 2026}，a=2 2，则( )
A. a∈PB. {a}∈PC. {a}⊆PD. a∉P
4.已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知x>0，y>0，且x+y=2，则( )
A. xy的最大值为1B. xy的最小值为1C. xy的最大值为 2D. xy的最小值为 2
6.下列表示集合M={x∈Z|2x∈Z}和N={x|x2-2=0}关系的Venn图中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，则ac>bcB. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若ab2>abD. 若a>b>c>0，则ab8.已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0，下列结论错误的是( )
A. 方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
B. 方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C. 方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D. 方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知x>1，则x+4x-1的最小值为5
B. 当x∈(0,2]时，x+4x的最小值为4
C. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”成立的充分不必要条件
D. 命题q：∃x∈R，x2+4x+a<0是真命题，则实数a>4
10.已知集合A={x|x2+(a+1)x+a2-4=0}，B={x|x2-3x+2=0}，若A∩B={1}，则实数a的值为( )
A. 1B. -1C. 2D. -2
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,3)，则( )
A. 7a+b+c=0
B. a+b+c<0
C. 关于x的不等式(a-b)x>c的解集为(-∞,-3)
D. 关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为(-∞,-13)∪(12,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪(∁UM)=______.
13.设集合U={2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是______.
14.集合A={x|x2-2x-a2+2a≤0}，若集合A中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|4x-2<-3}，B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}.
(1)若m=0，求集合A∪B；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
解下列关于x的不等式；
(1)-x2+5x-6<0；
(2)16x2-8x+1>0；
(3)2x- x≤1.
17.(本小题15分)
已知集合P={x|x2-4x+3≤0}，S={x|2-m≤x≤2+m}.
(1)用区间表示集合P；
(2)是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的必要不充分条件.若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
若关于x的不等式x2-4mx+m<0的解集为(x1,x2).
(1)当m=1时，求1x1-4+1x2-4的值；
(2)若x1>0，x2>0，求1x1+1x2的值，并求4x1+x2的最小值.
19.(本小题17分)
求已知集合M={1k|1≤k≤100，且k∈N*}，A={a1,a2,⋯,an}，其中n∈N*，且n≥2.若A⊆N，且对集合A中的任意两个元素aiaj，i≠j都有|ai-aj|≥130则称集合A有性质P.
(1)判断集合{13,14,15,16,17}是否具有性质P；
(2)若集合A={a1,a2,⋯,an}具有性质P.
①求证：ai-aj的最大值大于等于n-130；
②求A的元素个数n的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】AC
12.【答案】{2,3,5}
【解析】解：因为全集U={1,2,3,4,5}，
集合M={1,4}，所以∁uM={2,3,5}，
又N={2,5}，所以N∪(∁uM)={2,3,5}.
故答案为：{2,3,5}.
根据补集和并集的定义求解即得．
本题考查集合的运算，属基础题．
13.【答案】{2,4}
【解析】解：集合U={2,3,4}，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，结果为：
⌀，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}，
∴将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是{2,4}.
故答案为：{2,4}.
将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，列举出所有结果，能求出排在第6位的子集．
本题考查集合的运算，考查子集定义、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】{a|-1【解析】解：A={x|x2-2x-a2+2a≤0}={x|(x-a)(x+a-2)≤0}，
因为a+(-a+2)2=1且A中有且只有3个整数，
故这3个整数为0，1，2，
故(0-a)(0+a-2)≤0(-1-a)(-1+a-2)>0，
即a(a-2)≥0(a+1)(a-3)<0，
解得-1即实数a的取值范围为{a|-1故答案为：{a|-1由题意可知A={x|(x-a)(x+a-2)≤0}，因为a+(-a+2)2=1且A中有且只有3个整数，所以这3个整数为0，1，2，再结合二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】解：(1)由4x-2<-3⇒4x-2+3<0⇒3x-2x-2<0⇒(3x-2)(x-2)<0，
解得23当m=0时，由(x-1)(x-7)>0得x>7或x<1，∴B={x|x>7或x<1}
所以A∪B={x|x>7或x<2}；
(2)由(x-m-1)(x-m-7)>0得xm+7，
所以B={x|x>m+7或x因为A∩B=⌀，所以m+1≤23m+7≥2，解得-5≤m≤-13，
所以实数m的取值范围是[-5,-13].
【解析】(1)解分式不等式求得集合A，解一元二次不等式得集合B，再由并集定义计算；
(2)根据题意解得集合B，由两集合交集为空集可得参数满足的不等关系，从而解得其范围．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)不等式-x2+5x-6<0可化为：x2-5x+6>0，
即(x-2)(x-3)>0，
解得x<2或x>3，
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}；
(2)不等式16x2-8x+1>0可化为：(4x-1)2>0，
解得x≠14，
所以不等式的解集为{x|x≠14}；
(3)不等式2x- x≤1可化为：2( x)2- x-1≤0，
即( x-1)(2 x+1)≤0，
又因为 x+1>0，所以 x-1≤0，
解得0≤x≤1，
所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}.
【解析】(1)根据一元二次不等式的解法求解；
(2)根据一元二次不等式的解法求解；
(3)根据一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
17.【答案】解：(1)P={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}=[1,3]；
(2)P={x|1≤x≤3}=[1,3]，S={x|2-m≤x≤2+m}，
要使“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P=S，即2-m=11+m=3，
此方程组无解，所以不存在实数m，使“x∈P“是“x∈S”的充要条件；
(3)要使“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，
则S⫋P，
当S=⌀时，2-m>2+m，解得m<0；
当S≠⌀时，2-m≤2+m，解得m≥0，
要使S⫋P，则有2-m≥12+m≤3，两等号不能同时取得，解得m≤1，所以0≤m≤1.
综上可得，{m|m≤1}.
【解析】(1)解二次不等式即可求解；
(2)结合充要条件的定义即可求解；
(3)结合必要不充分条件定义即可求解．
本题主要考查了充分必要条件的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，关于x的方程x2-4x+1=0有两个根x1，x2，
所以Δ=12>0x1+x2=4x1x2=1，故1x1-4+1x2-4=x1+x2-8x1x2-4(x1+x2)+16=-41-16+16=-4.
(2)由题意，关于x方程x2-4mx+m=0有两个正根，
且由韦达定理知Δ=16m2-4m>0x1+x2=4m>0x1x2=m>0，解得m>14，
所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=4mm=4，
所以x1+4x2=14(x1+4x2)(1x1+1x2)=14(1+4+4x2x1+x1x2)，
又x1>0，x2>0，故x2x1、x1x2>0，
所以4x2x1+x1x2≥2 4x2x1×x1x2=4，当且仅当4x2x1=x1x2，即x1=2x2时等号成立，
结合1x1+1x2=4得，即x1=34，x2=38时取等号．
此时实数m=932>14符合条件，
故x1+4x2≥94，且当m=932时，取得最小值94.
【解析】(1)由方程有两个实数根即可得Δ=12>0x1+x2=4x1x2=1，再代入1x1-4+1x2-4通分后的式子即可得解．
(2)由不等式的解集为(x1,x2)和x1>0、x2>0可得Δ=16m2-4m>0x1+x2=4m>0x1x2=m>0，进而可求得m>14和求解1x1+1x2，从而结合基本不等式即可求解4x1+x2的最小值．
本题考查了韦达定理，利用基本不等式求最值，学生的数学运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵集合为{13,14,15,16,17}，
又16-17=142<130，，
∴该集合不具有性质P；
(2)①证明：∵集合A={a1,a2,⋯,an}具有性质P，
不妨设a1j)，
∴an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋅⋅⋅+(a2-a1)≥n-130，
故ai-aj的最大值大于等于n-130；
②A={a1,a2,⋯,an}，不妨设a1要使A的元素个数n最大，
则A中的元素满足an=1k，an-1=1k+1，⋅⋅⋅，a1=1k+n-1，(k∈N*)，
又由①知a2-a1=1k+n-2-1k+n-1≥n-130，
∴(k+n-2)(k+n-1)≤30，
又an-an-1=1k-1k+1≥130，
∴k(k+1)≤30，∴1≤k≤5，(k∈N*)，
当k=5时，由(k+n-2)(k+n-1)≤30，解得n≤2，n∈N*；
当k=4时，由(k+n-2)(k+n-1)≤30，解得n≤3，n∈N*；
当k=3时，由(k+n-2)(k+n-1)≤30，解得n≤4，n∈N*；
当k=2时，由(k+n-2)(k+n-1)≤30，解得n≤5，n∈N*；
当k=1时，由(k+n-2)(k+n-1)≤30，解得n≤6，n∈N*.
故A的元素个数n的最大值为6，
此时集合A={1,12,13,⋅⋅⋅,16}.
【解析】(1)由16-17=142<130，即可求解；
(2)①设A中元素a1j)，即可证明；
②要使A={a1,a2,⋅⋅⋅,an}的元素个数n最大，则A中元素满足an=1k，an-1=1k+1，⋅⋅⋅，a1=1k+n-1，(k∈N*)，再根据①可得1≤k≤5，然后组个讨论k的值即可求解．
本题考查新定义，化归转化思想，分类讨论思想，属中档题．