高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀课时训练

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知识点1 等差数列的有关概念
1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.
2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．
等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
3.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
4.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2.
【即学即练1】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；
（4）已知d＝－ SKIPIF 1 < 0 ，a7＝8，求a1和an.
【解析】（1）an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
（2）由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
（3）由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.
（4）由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，所以an＝a1＋(n－1)d＝10－ SKIPIF 1 < 0 (n－1)＝－ SKIPIF 1 < 0 n＋ SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习） 已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 .由已知条件，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
知识点2 等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），令 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 是一个常数，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
（2）由题得 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
知识点3 等差数列的性质
（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；
（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列
（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
【即学即练5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．84B．72C．75D．56
【解析】由等差数列的性质，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【即学即练6】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30B．27C．24D．21
【解析】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A
考点一 等差数列概念的理解
解题方略：
（一）等差数列概念的判断
【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（ ）．
A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，aD． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，
对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，
对于D，数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可表示为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，
故选：B
变式1：（2022·全国·高二课时练习）“a，b，c成等差数列”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“ SKIPIF 1 < 0 ”，即“a，b，c成等差数列”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件；
若“ SKIPIF 1 < 0 ”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要条件，
综上可得：“a，b，c成等差数列”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件，故选：C．
变式2：（2022·全国·高二课时练习）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d， SKIPIF 1 < 0 （c为常数且 SKIPIF 1 < 0 ），则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为d的等差数列 B．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为cd的等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为c的等差数列 D．数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以cd为公差的等差数列，故选:B．
变式3：（2022·全国·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
(1)在数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，其中p，q为常数．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． 所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差d＝3．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，不是常数，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，p为常数，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差d＝p．
（二）利用定义求等差数列的通项公式
【例1-2】（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式1：（2022·全国·高二课时练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：200.
变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，4为公差的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式3：（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
变式4：【多选】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则关于数列 SKIPIF 1 < 0 的说法正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0 为周期数列
【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确； SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；∵函数 SKIPIF 1 < 0 在x＞－1时单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，故B正确，D错误．故选：ABC．
考点二 等差数列的通项公式及其应用
解题方略：
1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式列方程(组)求解
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
【例2-1】（2022·全国·高二单元测试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公差d为______．
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
变式1：（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：10.
【例2-2】（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，那么数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列的通项为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
变式1：（2022·广东·高二阶段练习）已知在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．8B．10C．14D．16
【解析】设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
变式2：（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)2022是否为数列 SKIPIF 1 < 0 中的项？若是，则为第几项？
【解析】(1)由题意，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以，2022是数列 SKIPIF 1 < 0 中的第506项．
变式3：（2022·全国·高二课时练习）首项为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意，令该等差数列为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因数列 SKIPIF 1 < 0 从第10项开始为正数，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以公差d的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【例2-3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中各项为非负数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式1：（2022·全国·高二课时练习）如果数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 的第2021项等于______．
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以其公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【例2-4】【多选】（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）
A．-2，4，10，16B．16，10，4，-2
C．2，5，8，11D．11，8，5，2
【解析】设这四个数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB
变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所以由等差数列的通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知5个数组成一个单调递减的等差数列，且它们的和为5，平方和为165，则这个等差数列的第1项为___________.
【解析】设这个等差数列中的五个数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，x，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由题意，得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
因为这个数列单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 所以第1项为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：9
【例2-5】（2022·福建省福州第一中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（ ）
A．9.5 尺B．10.5 尺C．11.5 尺D．12.5 尺
【解析】由题意得： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故立夏的日影长为9.5尺.故选：A
变式1：（2022·安徽·高二期中）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．
【解析】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，记冬至的日晷长为 SKIPIF 1 < 0 ，清明的日晷长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以公差 SKIPIF 1 < 0 ，所以夏至的日晷长为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：1.5
考点三 等差中项及应用
解题方略：
数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a与b的等差中项．
【例3-1】（2022·北京西城·高二期末）若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
变式1：（2022·广东肇庆·高二期末）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．14B．16C．18D．28
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
变式2：（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）已知数列{an}， 则“ SKIPIF 1 < 0 为等差数列”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】“ SKIPIF 1 < 0 为等差数列”成立，一定有 SKIPIF 1 < 0 成立，即充分性成立；而只满足“ SKIPIF 1 < 0 ”成立，不能判定“ SKIPIF 1 < 0 为等差数列”成立，必须满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，才可以判定 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.故“{an}为等差数列”是“a1＋a3＝2a2”是的充分而不必要条件.故选：C.
【例3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求通项 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由题意，公差 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
变式1：（2022·江苏·高二课时练习）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．
【解析】由题设，设三边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为是直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故三边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即直角三角形三边长的比为 SKIPIF 1 < 0 .
【例3-3】（2022·全国·高二课时练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则项数n的最大值是______．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故等差数列 SKIPIF 1 < 0 递减，所以，对于等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 最大n值为8.故答案为：8
考点四 等差数列性质的应用
解题方略：
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an；
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d；
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：33.
变式1：（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=（ ）
A．45B．75C．180D．300
【解析】∵{an}为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
故选：C.
变式2：（2022·安徽·高二期中）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由等差数列性质知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
变式3：（2022·全国·高二单元测试）设 SKIPIF 1 < 0 是公差为－2的等差数列，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 是公差为－2的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：-82
变式4：（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
考点五 等差数列的判定与证明
解题方略：
等差数列的判定与证明方法
【例5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列.
变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(3)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
（3）由（2）得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
变式2：（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项.
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列..
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
设函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
变式3：（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意
∴不存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
考点六 等差数列的综合问题
解题方略：
两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数
【例6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．25B．24C．20D．19
【解析】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴ SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴两个数列有25个相同的项.故选：A.
变式1：（2022·全国·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等差数列，其中 SKIPIF 1 < 0 中首项为8，公差为3， SKIPIF 1 < 0 中首项为12，公差为4.问：数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是否有公共项？若有，求出第一个公共项，并写出由所有公共项组成的数列的通项公式.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 存在公共项，第一公共项为20，第二公式项为32，其通项公式为 SKIPIF 1 < 0
【例6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为a，公差为1的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围是______．
【解析】因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为1，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【例6-3】（2022·江苏·南京市燕子矶中学高二开学考试）若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使
ak·ak＋1<0的k值为（ ）
A．22B．21
C．24D．23
【解析】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－ SKIPIF 1 < 0 ，所以数列{an}是首项为15，公差为－ SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以an＝15－ SKIPIF 1 < 0 ·(n－1)＝－ SKIPIF 1 < 0 n＋ SKIPIF 1 < 0 ，因为ak·ak＋1<0，公差d<0,所以ak>0，ak＋1<0，
令an＝－ SKIPIF 1 < 0 n＋ SKIPIF 1 < 0 =0，得n=23.5，所以a23>0，a24<0，所以使ak·ak＋1<0的k值为23.故选：D
【例6-4】（2022·辽宁营口·高二期末）已知a，b，c三个数成等差数列，函数 SKIPIF 1 < 0 的图像过定点A，函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点A，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______________．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图像过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
【例6-5】（2022·湖南·株洲二中高二阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 的过点 SKIPIF 1 < 0 的三条弦的长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成等差数列，则该数列的公差的最大值是______.
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，
当直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且经过圆心时，该直线截圆所得弦长取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时，该直线截圆所得弦长取得最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则满足题意的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则该直线截圆所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ；
根据题意，要使得数列 SKIPIF 1 < 0 的公差最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，故最大公差 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【例6-6】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积
【解析】（1）由于 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为锐角.
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
题组A 基础过关练
1．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此数列的第四项为（ ）
A．12B．13C．10D．15
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以该等差数列的前三项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以此数列的第四项为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足______．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】若选择①， SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若选择②， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
若选择条件③ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·全国·高二课时练习） SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二课时练习）等差数列{an}中，a5+a10+a15＝30，则a22﹣2a16的值为__.
【解析】因为{an}为等差数列，所以a5+a10+a15＝3a10＝30，所以a10＝10，
则a22﹣2a16＝（a10+12d）﹣2（a10+6d）＝﹣a10＝﹣10.故答案为：﹣10.
6．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．
【解析】由题意知，设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））已知40码的鞋长25厘米，38码的鞋长24厘米，设n码的鞋长 SKIPIF 1 < 0 厘米，且数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·全国·高二课时练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 .故答案为：99
9．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为______．
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得：2d=8，得d=4，故答案为：4
10．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中．
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求公差 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
11．（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
(1)原数列的第12项是新数列的第几项？
(2)新数列的第29项是原数列的第几项？
【解析】（1）设新数列为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即原数列的第n项为新数列的第 SKIPIF 1 < 0 项．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故原数列的第12项为新数列的第45项．
（2）由(1) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即新数列的第29项是原数列的第8项．
题组B 能力提升练
12．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此数列的第四项为（ ）
A．12B．13C．10D．15
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以该等差数列的前三项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以此数列的第四项为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
13．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足______．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】若选择①， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；若选择②， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
若选择条件③ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·全国·高二课时练习） SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．（2022·全国·高二课时练习）等差数列{an}中，a5+a10+a15＝30，则a22﹣2a16的值为__.
【解析】因为{an}为等差数列，所以a5+a10+a15＝3a10＝30，所以a10＝10，
则a22﹣2a16＝（a10+12d）﹣2（a10+6d）＝﹣a10＝﹣10.故答案为：﹣10.
17．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．
【解析】由题意知，设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
18．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））已知40码的鞋长25厘米，38码的鞋长24厘米，设n码的鞋长 SKIPIF 1 < 0 厘米，且数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
19．（2022·全国·高二课时练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：99
20．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为______．
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得：2d=8，得d=4，故答案为：4
21．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中．
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求公差 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
22．（2022·全国·高二专题练习）已知实数 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离是____．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离是 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
23．（2022·全国·高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 为各项都大于0的等差数列，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选项C、D错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
24．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项和最小项，并说明理由.
【解析】(1)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列.
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，结合函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可知，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值3.
25．（2022·全国·高二课时练习）无穷数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 中的最小项，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为公差的等差数列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以数列 SKIPIF 1 < 0 无最大项，因此 SKIPIF 1 < 0 中无最小项，故 SKIPIF 1 < 0 ，又数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 中的最小项，所以 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大负项，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念.
2. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题.
通过本节课的学习，要求能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题.
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列
解答题
中的证
明问题
等差中项法
对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
(为常数,)⇔{an}是等差数列
选择、
填空题
中的判
断问题
前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列
是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
4.2.2 等差数列的前n项和公式
知识点1 等差数列的前n和公式
注：（1）等差数列的前n和公式的推导
对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))
两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\d5( ))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；
【即学即练1】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(4)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(3) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(4) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【即学即练2】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ； (2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解可得， SKIPIF 1 < 0 ，且在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，奇数项仍成等差，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的相邻两项差为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【即学即练3】（2022·全国·高二单元测试）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【解析】由题意可知：数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则有：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
知识点2 等差数列前n项和的性质
（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
（2）设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.
等差数列中，,则,.
注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)
（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；
【即学即练4】（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则其前9项的和 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．18B．27C．36D．9
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【即学即练5】（2022·辽宁·高二期中）在前n项和为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】由等差数列片段和性质： SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：27
【即学即练6】（2022·全国·高二课时练习） SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 }的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 是一个首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
各项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练7】（2022·辽宁·高二期末）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由等差数列的性质可知，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为常数，所以 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
【即学即练8】（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
【即学即练9】（2022·河北·邯郸市汇文中学有限公司高二阶段练习）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0
又已知 SKIPIF 1 < 0 不妨令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
知识点3 等差数列的前n项和的最值
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
在等差数列{an}中，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值(即所有非负项之和)； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值(即所有非正项之和)；
若已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最值时 SKIPIF 1 < 0 的值（ SKIPIF 1 < 0 ）则当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 的项数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 取最大值，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 的项数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 取最小值.
(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n( SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数, SKIPIF 1 < 0 ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.
注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．
【即学即练10】（2022·山东潍坊·高二期中）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 =21 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，属于二次函数，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，故当n=5或6时取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为66；故答案为：66.
【即学即练11】【多选】（2022·广东·大埔县田家炳实验中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；因为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选：BD
【即学即练12】【多选】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故等差数列首项为负，公差为正，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．故选：AD
【即学即练13】（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的最大正整数的n的值为________．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故要使 SKIPIF 1 < 0 ，则需 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：33.
考点一 等差数列前n项和的有关计算
解题方略：
1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．
【例1-1】（2022·河南·漯河高中高二期中（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．28B．30C．32D．35
【解析】设公差为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
变式1：（2022·全国·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：2
变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求项数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
考点二 利用等差数列前n项和公式判断等差数列
解题方略：
由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
【例2-1】（2022·江苏南通·高二期末）数列 SKIPIF 1 < 0 满足前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为_____________
【解析】∵数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， 故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
变式1：（2022·全国·高二课时练习）一个至少有3项的数列 SKIPIF 1 < 0 中，前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 充分性成立，若数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 显然成立，
SKIPIF 1 < 0 必要性成立， SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列的充要条件，故选：C．
变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知一个数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：该数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 满足条件．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
(2) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
考点三 等差数列前n项和的性质
解题方略：
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
①数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列；
②S2n－1＝(2n－1)an；
③若项数n为偶数，则S偶－S奇＝eq \f(nd,2)；若项数n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
等差数列前n项和与中项性质
【例3-1】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．15B．20C．30D．35
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
变式1：（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 = （ ）
A．96B．48C．36D．24
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
变式2：（2022·河北·元氏县第四中学高二期末）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．28B．148C．168D．248
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
变式3：（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：810.
变式4：（2022·全国·高二单元测试）已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数 SKIPIF 1 < 0 为______．
【解析】设此等差数列共有 SKIPIF 1 < 0 项， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故答案为：8.
等差数列片段和的性质
【例3-2】（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．27B．45C．18D．36
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即6，15， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
变式1：（2022·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．63B．36C．45D．27
【解析】由等差数列的 SKIPIF 1 < 0 项和的性质可知， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
变式2：（2022·全国·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，也构成等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 该等比数列首项为4，公比为2，项数为4，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：60
变式3：（2022·全国·高二期中）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为____.
【解析】由等差数列片段和的性质知： SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为：15.
变式4：（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质可得， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 故选：D
变式5：（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
变式6：（2022·湖南·高二期末）某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放（ ）
A．4000元B．4500元C．4800元D．5000元
【解析】由已知可知等差数列中 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
等差数列前n项和与n的比值问题
【例3-3】【多选】（2022·浙江·高二阶段练习）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
D．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
【解析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，对于AB选项， SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，A对B错；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，C对；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，D错.故选：AC.
变式1：（2022·全国·高二）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ﹒故选：A﹒
变式2：（2022·辽宁·高二期中）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
变式3：（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 是等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 为公差．∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
两个等差数列前n项和的比值问题
【例3-4】（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等差数列，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：D
变式1：（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________； SKIPIF 1 < 0 ________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ．∵数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
变式2：（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 分别是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和，故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
变式3：（2022·全国·高二课时练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，为使 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 可能取的值为： SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 可能取的值为： SKIPIF 1 < 0 .故选C
变式4：【多选】（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 为整数的正整数 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为整数，则只需 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：AC.
变式5：（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等差数列,故 SKIPIF 1 < 0 故选:C
变式6：（2022·安徽滁州·高二期中）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
变式7：【多选】（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，A选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，C选项错误.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.故选：AB
考点四 等差数列前n项和的最值问题
解题方略：
求等差数列前n项和最值的常用方法
1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
3. 数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】解法一（函数法）：等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，为72．
解法二（通项变号法）：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故结合 SKIPIF 1 < 0 ，可知数列 SKIPIF 1 < 0 的前6项为正，从第7项开始为负，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，
且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
变式1：（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且公差 SKIPIF 1 < 0 ，则其前 SKIPIF 1 < 0 项和取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由等差数列的公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
变式2：（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．4C．7D．8
【解析】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递增，其中 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的表达式得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小．故选：D．
变式3：（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ ）时， SKIPIF 1 < 0 最大.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等差数列性质，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；所以得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递减的数列，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大.
故选：B.
变式4：（2022·山西大同·高二期末（文））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．d＜0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； 所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最大值，故D正确．故选：C．
变式5：（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 有最大值，那么当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．10B．11C．20D．21
【解析】由等差数列的性质，知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 异号．
∵数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 有最大值，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是递减的等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最大值为20．
故选：C.
变式6：（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 中最大的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】∵等差数列前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 且单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 最大．故选：B．
考点五 等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题
（一）等差数列偶数项或奇数项的和
【例5-1】（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项是首项为1，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，偶数项是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 (负值舍去)，
SKIPIF 1 < 0 ，此时n无正整数解，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：16.
变式1：（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为377，项数 SKIPIF 1 < 0 为奇数，且前 SKIPIF 1 < 0 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故所求的中间项为29．故答案为：29
变式2：（2022·江苏·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．
【解析】设首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
变式3：（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且 SKIPIF 1 < 0 ，求通项公式．
【解析】∵等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前m（m为奇数）项的和为77，∴ SKIPIF 1 < 0 ，①
∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有 SKIPIF 1 < 0 项，公差等于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 =33，② ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，③
由①②③，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（二）含绝对值的等差数列的前n项和
【例5-2】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】设等差数列的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项为正，其余各项为负．
数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
变式1：（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 的公式．
【解析】(1)当n＝1时， SKIPIF 1 < 0 ； 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 时也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
综上可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
变式2：（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
变式3：（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)求数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项和最小项，并说明理由．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列．∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上均是单调递减．
由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（三）含取整符号的等差数列的前n项和
【例5-3】（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高二开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ；∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
变式1：（2022·上海市实验学校高二开学考试） SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，如 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则公差 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
考点六 等差数列的实际应用
解题方略：
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
【例6-1】（2022·全国·高二课时练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
【解析】设8个儿子依次分绵 SKIPIF 1 < 0 斤， SKIPIF 1 < 0 斤， SKIPIF 1 < 0 斤，…， SKIPIF 1 < 0 斤，则数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为17的等差数列，
因为绵的总重量为996斤，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则第八个儿子分到的绵 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
变式1：（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 SKIPIF 1 < 0 的宿舍楼．已知土地的征用费为2388元/ SKIPIF 1 < 0 ，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/ SKIPIF 1 < 0 ，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/ SKIPIF 1 < 0 ．试设计这幢宿舍楼的楼高层数（至少3层），使总费用最少，并求出其最少费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）
【解析】设这幢宿舍楼的楼高层数为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，总费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
则征地面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，征地费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
楼层建筑费用为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 元，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
所以当这幢宿舍楼的楼高层数为 SKIPIF 1 < 0 层时，总费用最少，最少费用为 SKIPIF 1 < 0 元.
变式2：（2022·全国·高二课时练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在 SKIPIF 1 < 0 点处里程碑上刻着“〣〤”，在 SKIPIF 1 < 0 点处里程碑上刻着“〩〢”，则从 SKIPIF 1 < 0 点到 SKIPIF 1 < 0 点的所有里程碑上所刻数字之和为（ ）
A．1560B．1890C．1925D．1340
【解析】根据题意知， SKIPIF 1 < 0 点处里程碑上刻着数字34， SKIPIF 1 < 0 点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从 SKIPIF 1 < 0 点到 SKIPIF 1 < 0 点的所有里程碑个数为 SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 点到 SKIPIF 1 < 0 点的所有里程碑上所刻数字之和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
变式3：（2022·江西上饶·高二期末（文））广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352B．387C．332D．368
【解析】设从第 SKIPIF 1 < 0 层到第 SKIPIF 1 < 0 层所走的台阶数为 SKIPIF 1 < 0 ，绕第 SKIPIF 1 < 0 层一周所走的步数为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
数列 SKIPIF 1 < 0 为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步，
故选：C.
题组A 基础过关练
1．【多选】（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列一定是等差数列的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 C．数列 SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 .
对于数列 SKIPIF 1 < 0 :当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 =定值常数.
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列.A正确.
对于数列 SKIPIF 1 < 0 :当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 定值常数.B错误
对于数列 SKIPIF 1 < 0 :当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）不恒成立时. SKIPIF 1 < 0 定值常数.C错误.
对于数列 SKIPIF 1 < 0 :当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 =定值常数.
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列.D正确.
故选：AD.
2．（2022·全国·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】若数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 也成等差数列，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A．
3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4B．8C．12D．20
【解析】根据等差数列的性质得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故该数列的项数为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
5．（2022·北京石景山·高二期末）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值， SKIPIF 1 < 0 有最小值B． SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 有最大值
C． SKIPIF 1 < 0 有最小值， SKIPIF 1 < 0 有最大值D． SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 有最小值
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 最小，无最大值. SKIPIF 1 < 0 …
SKIPIF 1 < 0 …
当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ，且为递减数列，故 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，没有最小值.故选：C
6．【多选】（2022·河北·石家庄二中高二期末）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是各项中最大的项D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最大的值
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且各项中最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 最大，故D正确；故选：ABD
7．【多选】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则使其前n项和 SKIPIF 1 < 0 取得最大值的自然数n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解析】∵在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又公差 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴使其前n项和 SKIPIF 1 < 0 取得最大值的自然数n是5或6,故选：BC.
8．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前四项和为21，末四项和为67，前 SKIPIF 1 < 0 项和为77，则项数 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前四项和为21，末四项和为67，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为77，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：7
9．（2022·全国·高二课时练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 SKIPIF 1 < 0 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 SKIPIF 1 < 0 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 SKIPIF 1 < 0 块，向外每环依次也增加 SKIPIF 1 < 0 块．已知每层环数相同，且下层比中层多 SKIPIF 1 < 0 块，问：三层共有多少块扇面形石板(不含天心石)？
【解析】设第 SKIPIF 1 < 0 环石板的块数为 SKIPIF 1 < 0 ，第一层共有 SKIPIF 1 < 0 环，则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ；设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 下层比中层多 SKIPIF 1 < 0 块， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即三层共有扇面形石板 SKIPIF 1 < 0 块.
10．（2022·全国·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由等差数列求和公式可知： SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
11．【多选】（2022·全国·高二单元测试）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 为整数的正整数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 为整数，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的正约数，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，因此，正整数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .故选：ACD.
12．【多选】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 不是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 最小D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 不成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 从第二项起以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
故数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，即A错误，B正确；
从第二项起 SKIPIF 1 < 0 为递增的等差数列，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为数列的最小项，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选：BD
13．【多选】（2022·江苏·南京市燕子矶中学高二开学考试）记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.若 SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
因为公差 SKIPIF 1 < 0 的正负不能确定，所以 SKIPIF 1 < 0 可能为最大值最小值，故B不正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误.故选:AC.
14．【多选】（2022·辽宁丹东·高二期末）记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的最小值
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A错，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即数列前5项为负，第6项起为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，故D正确.故选：BCD
15．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：20.
16．（2022·北京市房山区房山中学高二期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①： SKIPIF 1 < 0 ； 条件②： SKIPIF 1 < 0 ； 条件③： SKIPIF 1 < 0 .）
选择条件 和 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）选①②，由 SKIPIF 1 < 0 可知数列 SKIPIF 1 < 0 是以公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 选②③，由 SKIPIF 1 < 0 可知数列 SKIPIF 1 < 0 是以公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 选①③，无法确定数列.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是从第三项开始，以公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
17．（2022·全国·高二课时练习）在公差为2的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2022·全国·高二课时练习）某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公项数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示：
而一旦植完，则不会被沙化．
(1)每年沙化的土地公顷数为多少？
(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？
【解析】(1)解：依题意，每年比上一年多造林 SKIPIF 1 < 0 公顷，其中 SKIPIF 1 < 0 年新植 SKIPIF 1 < 0 公顷，
故当年沙地应将为 SKIPIF 1 < 0 公顷，实际沙地面积为 SKIPIF 1 < 0 公顷，
所以 SKIPIF 1 < 0 年沙化土地面积为 SKIPIF 1 < 0 公顷，同理可得 SKIPIF 1 < 0 年沙化土地面积也为 SKIPIF 1 < 0 公顷；
所以每年沙化的土地面积为 SKIPIF 1 < 0 公顷；
(2)解：设 SKIPIF 1 < 0 年及其以后各年的造林面积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、……， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 年造林的面积总和为 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少 SKIPIF 1 < 0 公顷，依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 年，即到 SKIPIF 1 < 0 年可绿化完全部沙地；
19．（2022·全国·高二课时练习）某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年比上一年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设 SKIPIF 1 < 0 表示前n年的纯利润（ SKIPIF 1 < 0 前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）．
(1)从第几年开始获得纯利润？
(2)若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？
【解析】(1)由题意，知每年的经费构成了以12为首项，4为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
获得纯利润就是要求 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故从第三年开始获得纯利润；
(2)①年平均利润为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故此方案获利 SKIPIF 1 < 0 （万美元），此时 SKIPIF 1 < 0 ．
② SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故此方案共获利 SKIPIF 1 < 0 （万美元）．比较两种方案，在获利相同的前提下，
第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．
课程标准
课标解读
掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项.
会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
能处理与等差数列相关的综合问题.
通过本节课的学习，要求能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
2018年
2019年
2020年
新植公顷数
1000
1400
1800
沙地公顷数
25200
24000
22400